五礼通考

于囘囘弱于授时

新法书西法岁三百六十五日四分日之一每四岁之小余成一日因而置闰百年中为整年七十五闰年二十五共为三万六年五百二十五日

蕙田案此西人旧法即古法三百六十五日四分日之一也周髀算经以三百六十五日谓之经岁余四分日之一故四年而闰一日西法之初葢本乎周髀其言地圆也亦周髀之绪余洵乎西法原出自中土故列之以志其所起

当神宗十二年甲申十三年乙酉西域测前后两春分得岁实三百六十五日二十三刻四分

【戴氏震曰每日九十六刻每刻十五分法同囘囘术以十五通九十六得一千四百四十分为日法以十五通二十三刻纳四分得三百四十九分又以万万通之满日法得二千四百二十三万六千一百一十一竒】

蕙田案此强于崇祯新书所定弱于授时

神宗十六年戊子第谷测春分时刻与前治元年戊申西域白耳那瓦所测相较定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒

【戴氏震曰每日九十六刻以分秒通之得八万六千四百秒为日法以十五通二十三刻纳三分又以六十通之纳四十五秒得二万有九百二十五秒又以万万通之满日法得二千四百二十一万八千七百五十与囘囘同】

蕙田案西洋前法本之周髀后则本之囘囘虽以为自测验得之要亦有所本而后加以测验耳

恒星依黄道东行六十九年一百九十一日七十三刻而行一度多禄某测一百余年而行一度泥谷老后多禄某一千三百八十六年又以时史所记测得六十一年而行一度第谷用前贤之成法展转防订得每年行五十一秒七十年又七阅月而行一度蕙田案西人测恒星东行或六七十年一度或逾百年一度亦如汉以来言岁差者之疏宻不一葢步算积久渐宻檡其宻者用之随时测验损益以合天可也

又案第谷所定岁实

本朝修时宪书用之其后西人奈端等又谓第谷所减太过酌定为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微有竒以万万通其小余得二千四百二十三万三千四百四十二竒在明神宗时西人前后两测之间雍正以来用之

又案岁实为推步最大节目岁实定然后所推气候始真一切诸法皆辅翼乎此者也由汉而下一法輙更一岁实时损时益莫不有因宋统天术暗藏岁实消长之法以上考下推元授时用之明大统术一从授时惟不用消长梅氏仍主授时法江氏作辨以有恒率者为平岁实均分之为恒气者也以随时实测损益者为泛岁实准于定气者也气既有恒有定则岁实有平有泛宜矣此千古未明之精义今録其辨如左

附江氏永岁实消长辨

江氏永曰岁实消长前人多论之者勿庵先生大约主授时而亦疑其百年消长一分以乗距算其数骤变殊觉不伦又谓今现行之岁实稍大于授时其为复长亦似有据因为髙冲近冬至而岁余渐消过冬至而复渐长之説葢存此以俟后学之深思永别为之説谓平岁实本无消长而消长之故在髙冲之行与小轮之改两岁节气相距近髙冲者岁实稍赢近最髙者稍朒犹定朔定望定之不能均惟逐节气算其时刻分秒而消长可勿论也管见如斯遂不能强同爰引先生之言逐节疏论于下

【梅氏文鼎答问授时以万分为日故其岁实三百六十五万二千四百二十五分其数自至元辛巳岁前天正冬至积至次年壬午岁前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此此岁实之数大统与授时并同】

江氏永曰岁实为算法大纲领得其真确之数为难四分术以前无论已魏晋以后渐知一岁小余不及四分日之一随时测验一法必更一斗分不久即有差此何以故葢步天者泥履端于始之义但以岁前冬至距今年冬至计其小余时刻并入大余以为岁实不知冬至距冬至所得者活泛之岁实而非经恒之岁实也欲得经恒岁实宜于近春分时测之【元至元时尝测定气春分】今岁春分距来岁春分苟得真时刻则得真岁实又以前后逺年测凖之春分计其日时分秒均之各岁则岁实之恒率确矣此何也太阳因有髙卑而生盈缩近数百年间春分则平行【当郭氏作律时定气春分之时正当并行之处此以前以后虽有差亦甚防】故所得岁实为恒率得其恒乃可以求其定犹之月必有平朔之防而后可求定朔也郭太史改法自言创造简仪髙表慿所测实数考正者七事一曰冬至二曰岁余其于岁实攷之详矣其求冬至也自丙子年立冬后依每日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为准得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸夘日夜半后三十三刻己夘冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻【后甲子日始五十五日零六刻气应五十五万零六百分为律元】其求岁余也自刘宋大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁余考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分减大明术一十一秒其二十五分为今律岁余合周之数愚以此二条攷之即郭氏当年所定之岁实已有防差稽之于史又多抵牾其可以是为消长之凖乎夫一岁小余二十四刻二十五分积之四岁正得九十七刻无余无欠丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确也则丁丑年宜在九刻不应只有八刻半此四年既皆实测所得则已多半刻矣而云相符不差何也【丁丑年之八刻半虽约取整数未必正是半刻然已有数十分矣其本法上考已往百年而长一刻四年所长甚微不应有半刻以下然则当时冬至岁实刻下之小余不止二十五分矣】又考刘宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较余二分二厘半为实以丁未戊申景相较余六分五厘为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻余四千五百六十五刻四十分折取其日【二千二百八十二刻七十分】加半日刻【午正测景故加半日】得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分【刘宋都建康比元大都里差应后五十七分则大都此日冬至三十二刻一十三分　案刘宋时太阳最髙冲在冬至前几半宫则取冬至前后二十余日之景折取中数以求冬至仍有差详见冬至权度】辰初三刻冬至【大都减半刻竒】大明壬寅【辛丑年之十一月即壬寅岁之始】下距至元辛巳八百一十九年以授时岁实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九万九千一百三十三日九十二刻较多三十三刻而云自大明壬寅距今每岁合得此数何也【如郭氏百年长一之法以八百一十九总乗所长之数则壬寅冬至甲申日七十九刻太较当时所测算者又先五十余刻失之愈逺矣○详冬至权度】又云减大明术一十一秒考祖冲之大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒授时减去三分一十四秒亦非一十一秒也【邢士登考谓金时赵知防重修大明术小余二十四分三十六秒实多授时一十一秒郭所减者赵法非祖法也其説是】然则授时所定岁实犹是近似活泛之数而不可以为恒欲定经恒之岁实则西法恒年表之恒率是矣案表一岁小余五小时三刻三分四十五秒【一日二十四小时一小时四刻一刻十五分一分六十秒】以分通之三百四十八分有竒以秒通之二万○九百二十五秒【一日八万六千四百秒】考其实则囘囘法已如此囘囘法一岁三百六十五日岁有十二宫宫有闰日一百二十八年闰三十一日然则一岁闰一百二十八分日之三十一正西法之岁余也【以一百二十八乗二万○九百二十五得二百六十七万八千四百以八万六千四百除之得三十一】囘囘法以春分为岁首其岁余由累测春分得之欧逻巴法遂用之至今不易虽分下之四十五秒未必无朓朒当亦甚微矣以此平率为凖随其时之最髙冲与最髙之行而进退焉冬至近髙冲则两岁冬至之距必多于平率【今时多一分弱】夏至近最髙则两岁夏至之距必少于平率【今时少一分弱犹之太阴当朔时入转两朔相距之日时必多当望时近月孛两望相距之日时必少若朔时近月孛望时近入转两朔相望相距反是】又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日则加减均数亦大而冬至岁实当更增至元辛巳间髙冲约与冬至同度则岁实尤大其小余刻下之分约有三十分而授时定为二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之间即有半刻之差而郭氏未之觉也【一年少五分四年少二十分几于半刻之半矣丁丑年之八刻半本为约略之数半刻以下固难测算真的也　以西法岁余依授时万分日较之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授时岁余三分一十二秒半当时冬至为盈初小轮半径差又大其多于平率必不止三分有竒也梅氏又曰然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则岁实当消一分若自辛巳元逆推至一百年则岁实当长一分每相距増一百年则岁实消长各増一分以是为上考下求之凖大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也】江氏永曰案冬至相距之岁实大于平率最髙冲有行度而小轮均数又有大小宜其岁实有消长分数然必当时测定之岁实已真确又知其无可复加而后知将来之渐消若授时岁余刻下之二十五分尚非确数其差分已见端于丁丑辛巳四年之间则辛巳以后能必其果消乎郭太史律考正者七事创法者五事皆不数岁实消长葢未能真知所以消长之故但暗用杨忠辅统天术为活法以推往古意谓下考将来亦如是耳明大统术悉遵授时独不用消长之法当时术官元统非有确见实测知其不当用消分也以今观之犹幸大统不用消分冬至纵有先天尚未甚逺倘遽改二十五分为二十四分其先天不愈多乎【当至元时刻下小余约有三十分授时一岁少五分百年约先天五刻】

【梅氏又曰岁实即一年之日数自一年以至十百年共积若干是为积日亦谓之中积假如今康熈庚午岁相距四百零九算依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分大统不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分两法相差一十六刻三十六分】江氏永曰天行盈缩进退必以渐无骤增骤减之理郭氏百年消长一分则是百年之内皆无所差至一百零一年骤増减一分又越百年皆平差一分至二百零一年又骤增减一分岂有此数与法乎即如其法算数百年后亦当逐节计其消分积而数之不当总计当消之分而以距算总乗之也【自一百一年至二百年各消一分积一百分自二百一年至三百年积消二百分并前为三百分自三百一年至四百年积消三百分并前为六百分又自四百一年至四百九年积消三十六分并前总消六百三十六分为六刻三十六分若如郭氏总计消分以乗距算之法遂消去一十六刻三十六分较差一十刻而先天愈多矣此分算总算两者皆不成法而总算尤为无理】如大统厯康熈庚午冬至癸夘日夘初三刻授时则丑初三刻查时宪书乃是巳初一刻大统授时用消分不用消分均无当天行何哉当年所测岁实刻下小余其数不真故也嵗实已弱矣而又消之安得不先天乎使当年改二十五分为三十分由辛巳以后渐而消之或庶几耳曰至元岁余若果二十四刻三十分则上考当长乎消乎曰上考亦消也葢至元时髙冲与冬至同度小轮均数又大故冬至岁实为长极之时而上考下考皆当消但消于三十分之内非消于二十五分之内也【今时髙冲在冬至后七八度小轮又渐小冬至岁余以万分日计之约二十四刻二十八九分之间刘宋大明时髙冲在冬至前半宫以祖冲之纪法除其岁周当时岁实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可见至元前后皆消于三十分之内其消甚遅约四百余年始消一分葢小轮均数在初宫有若平差故也至一宫以外则渐疾矣】若以春分平岁实相较则冬至岁实上下数千年皆在长限之中而至元时尤为长之极必俟髙冲行至春分则冬至岁实始平【如今之春分】又数千年髙冲行至夏至最髙行至冬至则冬至岁实始为消之极耳【如今之夏至】然冬至嵗实消则春分岁实长冬至岁实消之极则夏至岁实又为长之极矣抑今日本轮差小古时差大则消长中复有消长茍知此理则后之推步者但随时测髙冲之行与小轮之差以算定气而岁实消长俱可勿论犹之太阴但实算定朔定望定不必复计此月与彼月多于朔防几何少于朔防几何也

【梅氏又曰问岁实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋统天之法然亦非统天亿创之法而合古今累代之法而为之者也】

江氏永曰统天术宋宁宗时杨忠辅所造其岁实与授时正同以斗分乗距差为躔差暗藏加减之法约百年加减一分零六秒弱然行之未久鲍澣之造开禧术臧元震造成天术皆增岁实改各率纷纷迄无定论云

【梅氏又曰古法周天三百六十五度四分度之一一岁之日亦如之故四年而增一日其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之】

江氏永曰古法四年而增一日其术甚踈虽古斗分宜多亦约百数十年即当后天一日何以自周迄汉久而后觉曰周之法却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日积数百年以有余之岁实盈其所先天之数乃适得其平【约在周秦间】厥后犹执四分之术渐失之后天故久而后觉耳

【梅氏又曰自汉而晋而唐而宋每次改法必有所减以合当时实测之数故用前代之法以顺推后代必至后天以斗分强也若用后代之法据近测以逆溯徃代亦必后天以斗分弱也】

江氏永曰汉以前之冬至非实测先后天或至二三日后汉末刘洪始觉其后天而减斗分东晋虞喜始立岁差法后秦姜岌始知以月蚀冲检日宿度所在而刘宋之初冬至犹后天三日大明时祖冲之始详于测景以冬至前后二十余日之景比对取中而定冬至然后冬至日躔渐得其实犹不能尽合也故唐一行谓麟徳术已前实録所记乃依时书之非候景所得郭太史谓自大明术以来测景验气得冬至时刻真数者有六然则实测之能合天者亦鲜矣【梅氏又曰统天术见其然故为之法以通之于岁实平行之中加一古多今少之率则于前代诸法不相乖戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然统天术藏其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也】

江氏永曰授时术实暗用统天之法者也其岁余二十四刻二十五分与统天同而上推百年长一之法亦相似故授时术议谓自鲁献公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授时法合者三十九不合者十统天不合者唯献公戊寅与授时异余三十八与授时同二术推冬至略相似也然而刘宋大明壬寅岁前冬至乙酉夜半后三十二刻七十分则当时祖冲之测景推算所得者纵有未确亦不甚逺【当时所算约后天十六刻详见冬至权度】依授时统天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多岂可谓大明非而授时统天是欤郭氏谓自大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距既以大明壬寅之冬至为得真数之首矣及用法推算即失此至乃谓日度失常其可乎以今观之一由授时所定岁余本未真一由长数当渐积不当总计长分而以八百一十九距算总乗之也【统天距差乗躔差减泛积失亦略同】

【梅氏又曰然则大统术何以不用消长曰此则元统之失也当时李徳芳固已上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇正律书谓元统得之测验窃不谓然何也元统与徳芳辩但言未变旧法不言测验有差又其所着通轨虽便初学殊昧根宗间有更张輙违经防岂能于冬至加时先后一刻之间而测得真数乎】

江氏永曰明初李徳芳与元统争岁实消长为术家一段公案闗系有明二百余年之法邢士登恨元统不用消分致明神宗间节气后天九刻有竒愚有以断之据授时岁实上考固宜有长分矣然而授时之岁余本未确则所据以为长之端者亦未真既言每百年长一分则当以渐而长乃总计长分以乗距算则又无此算法观其推至大明壬寅已违当时之实测又何论春秋已前乎徳芳所据者谓鲁献公十五年戊寅天正甲寅冬至依授时法推得甲寅日夜子初三刻依大统法推得己未日午正三刻【己未史误作丁巳】相差四日六时五刻当用至元辛巳为元及消长之法方合天道夫鲁献公之年史有舛错本难慿信汉志谓献公十五年甲寅冬至此自刘歆三统术逆推当年冬至是甲寅耳岂有实测纪之信史哉而徳芳以此驳元统其无卓识可知矣然元统之不用消长也初无实据但云上考下推不用消长以合天道又云天道无端惟数可以推其机天道至妙因数可以明其理理因数显数从理出故理数可相倚而不可相违夫既未尝实测而慿虚以言天道言理数宜其不能服徳芳也今日数学大明由后观之前此二百余年犹幸元统不用消分冬至加时先天尚未甚逺葢授时岁余一岁约少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大统减一分又越百年二百年而更减之先天不愈多乎邢士登谓明神宗间大统术后天九刻此非有所测验但据用消分与不用消分积算如此岂知明法皆失之先天乎观前所举康熈庚午年时宪书癸夘日巳初一刻冬至依大统算夘初三刻则先天一十四刻若依授时算丑初三刻则先天三十刻自辛酉溯戊辰五十余年约减二三刻则戊辰以前大统率先天十一二刻若用授时法先天遂至二十七八刻矣此岂可厚非大统乎

【梅氏又曰然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大统法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎】

江氏永曰春秋算法最踈置闰或踈或宻日食或不在朔则步冬至违天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳时定冬至在甲寅即令此时小轮均数大能使定气移前一日半亦不过癸丑日之夜刻辛亥实先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘当时推己丑亦先天二日且己丑为此年正月朔安得为二月也授时推僖五年冬至以岁余长十九分乗距算一千九百三十五加于中积得辛亥日寅初二刻是以总长分数乗距算而非积渐而长亦因传有辛亥日南至之文强为此算以求合不知辛亥非实测也【唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度愚谓傅言书云未尝言测景】其推昭二十年冬至以十八乗距算一千八百零二则不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足为据且既能上合一千九百余年之冬至矣何以刘宋元嘉丙子十一月甲戌景长而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至【即壬寅天正冬至】而推丙申此二事皆八百余年反先天一日岂非总分乗距算之法非法故失之乎

【梅氏又曰然则统天授时之法同乎曰亦不同也统天逐年迭差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如统天矣】

江氏永曰统天以距差乗躔差其失亦与授时等【由其根数未确】

【梅氏又曰夫必百年而消长一分未尝不是乃以乗距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄钟推法所以有所酌改也】

江氏永曰授时之误勿庵先生亦既觉之矣抑不唯如此而已年愈逺则失愈甚如推至春秋时一千九百年则岁余二十四刻四十四分若一千九百零一年岁余增一分此一分乗距算一千九百零一前一岁忽增一十九刻有竒则岁实有三百六十五日四十三刻有竒岂不甚可笑乎况又有逺于此者乎【梅氏又曰问岁实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其説安在岂亦有所以然之故与曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧法而合耳初未尝深言其故也惟新书则为之説曰岁实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其説今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于天周三百六十度之中非有所增损于其外也如最髙则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣减度则加时矣然皆以最卑之所减补最髙之所加及其加减既周则其总数适合平行畧无余欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为遅速相补而归于平行一也岂有日轮心逺地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣】

江氏永曰冬至相距之日时古今有多少不过泛岁实与平岁实相差其相差又有舒疾之渐耳若知冬至有平有定本必不言消长必欲言其消长则其故有二一由髙冲离冬至有逺近一由日小轮古今有大小也髙冲自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至后总此六宫上下约万年【以今时最髙冲行约之】皆在长限以其冬至泛岁实皆多于平岁实故也惟髙冲正当秋分春分此两岁岁实皆平【即西法三百六十五日五小时四十八分四十五秒是也】离此则渐有差前三宫由平而渐增多是为长中之长至髙冲与冬至同度则定冬至与平冬至同日同时是为长之极当郭太史定法正其时也后三宫由极多而渐减以至于平是为长中之消今时髙冲在冬至后八度其消尚未多也若髙冲过春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至后自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前总此六宫亦约万年皆在消限以其冬至泛岁实此少于平岁实故也前三宫由平而渐减是皆消中之消至髙冲与夏至同度则定冬至亦与平冬至同日同时是为消之极后三宫由极少而渐増以至于平是为消中之长此通髙冲行一周天而总论其消长也然而太阳两小轮半径三千五百八十四古多而今少多则小轮稍大日躔加减均亦稍大小则小轮稍小加减均亦稍小髙冲之行一年一分一秒十防【西士后测】此一分一秒十防若在均数稍大之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍多若在均数稍小之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍少【如崇祯戊辰所立之加减差表初宫之初度十一宫之末度每一十分均数二十二秒髙冲一年行一分一秒十防约均数二秒有竒此二秒有竒变为时约五十七秒以加于平岁余五小时三分四十五秒得五小时四分四十二秒如小轮稍大则初度一十分之均不止二十二秒而一岁髙冲之行不止得均二秒有竒其变时亦不止五十七秒矣如小轮稍小则初度十分不及二十二秒髙冲之行得均数不及二秒则变时亦不及五十七秒矣此略举初度之均以为例其他可类推】古今小轮之大小虽不可尽知以刘宋元嘉大明间屡年之实测算当时之不同心差葢四千有竒【详冬至权度】则均数必稍强至元时授时术冬至盈初如分多于今日之加分则当时小轮半径不止三千五百八十四自此以后至今日小轮渐小均数亦渐少髙冲行度所得之均数以减度加时者亦稍弱焉此又因轮毂渐近地心而微有消分也