清史稿

，甲为天顶，丙丁为地平，乙为北极，乙丙为京师北极出地，高三十九度五十五分，戊己庚为赤道，交于地平之己点，其戊点当午正，为地平上赤道半周適中之点，戊丁为赤道距地高五十度五分，当戊己丁角，辛子壬为负黄极圈，子为黄极，乙子己丑为过极至经圈，戊丑庚为黄道，而交地平于寅点，庚为秋分，丑为冬至，戊为春分，即太阳之所在，临于午正，乃无春分距午之时分。试自黄极子点出弧线过天顶作子甲卯黄道经圈，为本时黄平象限，其辰点为地平上黄道半周適中之点，而在正午之东，即黄平象限宫度也。辰寅卯角为黄道与地平相交之角，而当辰卯弧，即本时限距地高之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有戊甲弧赤道距天顶，与乙丙北极高度等。以赤道交子午圈之戊直角九十度内减己戊丑角黄赤交角二十三度二十九分，得寅戊丁角六十六度三十一，为黄道交子午圈角；亦名黄道赤经交角。与辰戊甲角为对角，其度等。乃以半径为一率，戊角黄道赤经交角之馀弦为二率，戊甲弧赤道距天顶，亦即太阳距天顶其正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得十八度二十六分十四秒，为戊辰弧黄平象限距午正之黄道度。与戊点春分三宫相加，因黄平象限在午东，故加。得辰点三宫十八度二十六分十四秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，戊角黄道赤经交角之正弦为二率，戊甲弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为黄平象限距天顶之正弦，检表得三十六度三分九秒，为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地高，而当辰寅卯角之度也。

一率半径

二率戊角馀弦

三率戊甲弧正切

四率戊辰弧正切

一率半径

二率戊角正弦

三率戊甲弧正弦

四率甲辰弧正弦

图形尚无资料

又设太阳正当秋分点，黄道实行为九宫初度，求午正初刻春分距午时分并黄平象限及限距地高，即以秋分当于正午之戊，则庚未戊为黄道，交地平于寅，庚为春分，未为夏至，子乙未己为过极至经圈，亦自黄极子点出弧★过天顶，作子甲卯弧黄平象限，而地平上黄道適中之辰点，在正午之西。先以春分距午西之庚戊赤道半周变十二时为春分距午之时分，次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧，此形有辰直角，有戊甲赤道距天顶。以戊直角内减己戊未角黄赤交角，得辰戊甲角黄道赤经交角，亦六十六度三十一分，求得戊辰弧黄平象限距午正之黄道度，亦十八度二十六分十四秒。与戊点秋分九宫相减，因黄平象限在午西，故减。得辰点八宫十一度三十三分四十六秒，即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧8888与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为五十三度五十六分五十一秒，即本时限距地高，而当辰寅卯角之度也。

又设太阳距春分后三十度，黄道实行为四宫初度，求午正初刻黄平象限诸数。乃以黄道经度四宫初度当午正如辛点，即太阳之所在，辛壬癸为黄道，交地平于寅。丑为冬至，壬为春分，乙子丑为过极至经圈。仍自黄极子点过天顶甲点作子甲卯弧黄平象限，其黄道適中之辰点，在午正之东。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角，此形有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛太阳距春分后黄道弧三十度。乃以半径为一率，黄赤交角之馀弦为二率，黄道弧之正切为三率，求得四率，为赤道弧之正切，检表得二十七度五十四分一十秒，为壬戊弧赤道同升度，亦即本时春分距午后赤道度。变时得一时五十一分三十七秒，即本时春分距午时分。又以半径为一率，黄赤交角之正弦为二率，黄道弧之正弦为三率，求得四率，为黄赤距度之正弦，检表得十一度二十九分三十三秒，为辛戊弧太阳距赤道北纬度。又以黄道弧之馀弦为一率，黄赤交角之馀切为二率，半径为三率，求得四率，为黄道交子午圈角之正切，检表得六十九度二十二分五十一秒，为壬辛戊角黄道交子午圈角，即黄道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有辛角，与壬辛戊角为对角，其度等。以甲戊弧赤道距天顶内减辛戊黄赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，为本时太阳距天顶。乃以半径为一率，辛角黄道赤经交角之馀弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得十度四十七分二十八秒，为辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点四宫初度相加，因黄平象限在午东，故加。得辰点四宫十度四十七分二十八秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，辛角黄道赤经交角之正弦为二率，甲辛弧太阳距天顶之正弦为三率，求得四率，为黄平象限距天顶之正弦，检表得二十六度二十七分二十秒，为甲辰弧黄平象限距天顶。与甲卯象限九十度相减，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，为本时限距地高，即当辰寅卯角之度也。

一率半径

二率壬角馀弦

三率壬角弧正切

四率壬戊弧正切

一率半径

二率壬角正弦

三率壬辛弧正弦

四率辛戊弧正弦

一率壬辛弧馀弦

二率壬角馀切

三率半径

四率辛角正切

一率半径

二率辛角馀弦

三率甲辛弧正切

四率辛辰弧正切

一率半径

二率辛角正弦

三率甲辛弧正弦

四率甲辰弧正弦

又设太阳距秋分前三十度，黄道实行为八宫初度，求午正初刻黄平象限诸数。乃以辛点太阳实行当正午，其申点为秋分，而在午东，壬为春分，未为夏至，子乙未为过极至经圈，亦自黄极子点过天顶，作子甲卯弧本时黄平象限，而在午西。法用辛戊申正弧三角形，此形戊为直角，申角为黄赤交角，申辛黄道弧亦为三十度，求得申戊赤道同升度，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与壬申赤道之半周相减，得壬戊弧五宫二度五分五十秒，为本时春分距午后赤道度。变时得十时八分二十三秒，即本时春分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，辰为直角，其辛角黄道赤经交角及甲辛弧太阳距天顶，皆与前图之度等。求得辛辰弧黄平象限距午正黄道度，亦为十度四十七分二十八秒。与辛点八宫初度相减，因黄平象限在午西，故减。得辰点七宫十九度十二分三十二秒，即本时黄平象限之经度。又求得甲辰弧与甲卯象限相减，得辰卯弧，亦为六十三度三十二分四十秒，即本时限距地高，亦当辰寅卯角之度也。

又设太阳当正午实行距春分前三十度为二宫初度，乃以辛点太阳当午正，则春分壬点在午正之东，申为秋分，丑为冬至，乙子丑为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限亦在午正之东。法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角黄赤交角，有壬辛黄道弧三十度。求得壬戊赤道弧，亦为二十七度五十四分一十秒。乃与赤道全周相减，得十一宫二度五分五十秒，为本时春分距午后赤道度。变时得二十二时八分二十三秒，即本时春分距午时分也。又求得辛戊弧亦为十一度二十九分三十三秒，为太阳距赤道南纬度，并求得壬辛戊角亦为六十九度二十二分五十一秒，为本时黄道赤经交角。次用辛辰甲正弧三角形，此形有辰直角，有辛角，以甲戊赤道距天顶与辛戊黄赤距度相加，得甲辛弧太阳距天顶五十一度二十四分三十三秒。乃以半径为一率，辛角之馀弦为二率，甲辛弧之正切为三率，求得四率，为黄平象限距午之正切，检表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧黄平象限距午正之黄道度。与辛点二宫初度相加，得辰点二宫二十三度四十八分四十秒，即本时黄平象限之经度也。又以半径为一率，辛角之正弦为二率，甲辛弧之正弦为三率，求得四率，为甲辰弧黄平象限距天顶之正弦，检馀弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本时限距地高之度也。

一率半径

二率辛角馀弦

三率甲辛弧正切

四率辛辰弧正切

一率半径

二率辛角正弦

三率甲辛弧正弦

四率甲辰弧正弧

又设太阳当午正实行距秋分后三十度为十宫初度，乃以辛点太阳当午正，则申点秋分在午正后，而春分必在午正前，未为夏至，子乙未为过极至经圈，其子甲卯本时黄平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，此形边角之度与前图之辛戊壬形同，惟申戊弧所变之一时五十一分三十七秒，乃秋分距午后之时分，是以加赤道半周之十二时，得十三时五十一分三十七秒，始为本时春分距午时分也。次用辛辰甲正弧三角形，此形边与角之度亦与前图之辛辰甲形同，惟因辰点在辛点之西，是以十宫初度内减辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宫六度十一分二十秒，即本时黄平象限之经度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，亦与前数相同也。由此则逐度皆以距春、秋分前后各相对之度推之，其求午正太阳距天顶之加减，则以纬南、纬北而分。求黄平象限宫度之加减，则以冬至、夏至为断。盖冬至过午西，黄平象限恆在午正之东，夏至过午西，黄平象限恆在午正之西，此加减所由定也。

今设太阳黄道经度三宫十六度四十四分，用时为戌正二刻八分十九秒，求春分距午时分及黄平象限宫度、限距地平高度。如申辛壬癸为黄道，交地平于寅，壬为春分，丑为夏至，申为秋分，子乙丑亥为过二极二至经圈。乃自黄极子点过天顶甲点作子甲卯黄道经圈，其黄道適中之辰点，乃在午正之西。今太阳在春分后之未点，当赤道之午点，自子正计之，即用时之时刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，此形午为直角，有壬角黄赤交角二十三度二十九分，有壬未弧太阳距春分后黄道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，为太阳距春分后赤道度。变时得一小时一分四十秒，与午点用时相加，得二十一小时三十九分五十九秒，为壬点春分距子正后之时分。内减十二时，得九小时三十九分五十九秒，即壬戊弧本时春分距午时分。次用甲戊辛正弧三角形，因壬戊春分距午后之度已过象限，故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊为直角，有申角黄赤交角，有申戊弧秋分距午前时分所变之赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，为本时正午之黄赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，为黄道交子午圈角，即黄道赤经交角。与甲辛辰角为对角，其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，为秋分距午正前黄道度。与申点秋分九宫相减，得七宫二十二度三十八分一十秒，即辛点正午黄道经度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形辰为直角，有辛角黄道赤经交角。以甲戊弧京师赤道距天顶三十九度五十五分，内减辛戊正午黄赤距度，得甲辛弧二十五度五十五分二十秒，为本时正午黄道距天顶度，求得辛辰弧九度零五十三秒，为黄平象限距午西之黄道度。与辛点正午黄道经度相减，得辰点七宫十三度三十七分十七秒，即本时黄平象限之经度，并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，为黄平象限距天顶之度。与甲卯象限相减，得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，为本时黄平象限距地平之高度，即当辰寅卯角之度也。

求距限差

距限差者，乃月距黄平象限之差度也。盖旧法月距限以九十度为率，因黄道丽天，其向随时不同，而出于地平之上者，恆为半周，其適中之点，距地平东西皆九十度。故以九十度之限，以察月在地平之上下，若月距限逾九十度者，为在地平下，遂不入算，然此以黄道为立算之端也。顾白道与黄道斜交，月行白道，不无距黄道南北之纬度。纬南者早入迟出，月当地平时，其距黄平象限不及九十度；纬北者早出迟入，月当地平时，其距黄平象限已过九十度；是则九十度之率未足为据也。于是立法以求其差，犹五星伏见距日限度有距日加减差之义也。其法以限距地平之高及月距黄道之纬，依正弧三角形法求之。盖黄道之势，随天左旋，其升降正斜，时时不同。正升正降者，京师限距地高至七十三度馀，高度大，则月纬所当之距限差转小；斜升斜降者，京师限距地高只二十六度馀，高度小，则月纬所当之距限差转大。若值月纬最大，其差可至十度有奇，此距限差之不可不立也。故依京师黄平象限距地平高度，逐度求其太阴黄道实纬度所当距限差以立表。

设京师限距地平高度三十四度，太阴距黄道实纬度南北各五度，求距限差。如图甲为天顶，乙丙为地平，丁为黄极，甲丁乙丙为黄道经圈，戊己庚为黄道，交地平于己点，其戊点即黄平象限。戊丙为限距地高三十四度，与甲丁黄极距天顶之度等，而当戊己丙角与乙己庚角为对角，其度亦等。如月恰在正交或中交，合于黄道之己点，正当地平，则戊己为月距限九十度，若过九十度，自必在地平之下。今设月在黄道南五度，则辛壬癸为黄道距等圈，月在地平时为壬点，当于黄道之卯，其戊卯月距限乃不及九十度。又设月距黄道北五度，则子丑寅为黄道距等圈，月在地平时为丑点，当于黄道之辰，其戊辰月距限乃已过九十度，故必求其差数以加减之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧，此形有卯直角，有己角，当限距地高，有卯壬弧月距黄道纬度。乃以己角之正切为一率，半径为二率，卯壬弧之正切为三率，求得四率，为距限差度之正弦，检表得七度四十二分，即己卯弧为所求之距限差，而与己辰弧之度分等，盖己辰丑正弧三角形与己卯壬形同用己角，而辰丑弧月距黄道纬度，亦与卯壬等是两正弧形为相等形，故所得之己卯弧必与己辰弧相等无疑矣。既得己卯距限差，与戊己九十度相减，得八十二度十八分，即戊卯距限，而与距等圈辛壬之度相应，为月在纬南之地平限度。以己辰距限差与戊己九十度相加，得九十七度四十二分，即戊辰距限，而与距等圈子丑之度相应，为月在纬北之地平限度也。

一率己角正切

二率半径

三率卯壬弧正切

四率己卯弧正弦

图形尚无资料

求黄经高弧交角及月距天顶

旧法推日食三差，原以黄平象限为本。自考成前编谓三差并生于太阴，而太阴之经纬度为白道经纬度，用白道较之用黄道为密，故求三差则按月距白平象限之度，以白道高弧交角及太阴高弧为据。后编变通其法，乃以白经高弧交角及日距天顶以求三差，而求白经高弧交角，系赤经高弧交角加减赤白二经交角而得，并不求月距白平象限之度，是法较前颇为省算。今推视差者，乃求其星月黄道同经之视距视时，故三差应由黄平象限而定也。是则其法原可仿于后编不求黄平象限而竟求黄经高弧交角之术，即黄道高弧交角之馀度。然非月距黄平象限度与地平限度相较，其月在地平之上下无由可知。故今求交角，乃先求得月距黄平象限之东西、黄平象限去地之高下、太阴距黄极之远近，然后按后编用斜弧形求赤经高弧交角日距天顶之法，则黄经高弧交角及月距天顶之度可得矣。

设星、月黄道经度同为申宫二十六度二十二分十一秒，月距正交前四十三度四十八分五十六秒，黄白交角五度四分一十秒，黄平象限七宫十三度三十七分十七秒，限距地高六十五度三十五分三十六秒，求太阴实纬黄经高弧交角月距天顶。如图甲为天顶，甲乙丙丁为子午圈，丙丁为地平，乙为北极，戊己庚为赤道，戊为午正，己为酉正，庚为子正，卯为黄极，辛壬癸子为黄道，壬为春分，癸为夏至，午为黄道交地平之点。午未弧为九十度，其未点即黄平象限，宫度为七宫十三度三十七分十七秒。未辰弧当午角为六十五度三十五分三十六秒，即限距地高度，而与甲卯黄极距天顶之度等。巳寅丑为白道，寅为正交，寅角为黄白交角五度四分一十秒，申为太阴当黄道于酉，申寅为月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉为月距黄道纬度，其酉点为星月所当之黄道经度五宫二十六度二十二分十一秒，与未点黄平象限宫度相减，得未酉弧四十七度十五分六秒，为月距黄平象限西之度。乃当未卯酉角，甲申戌为高弧，卯申甲角为黄经高弧交角，甲申为月距天顶。求法，先用寅酉申正弧三角形，此形酉为直角，有寅角黄白交角，有寅申弧月距正交前白道度，求得申酉弧三度三十分二十七秒，即太阴距黄道南实纬度。与卯酉象限相加，得卯申弧九十三度三十分二十七秒，为月距黄极。次用甲卯申斜弧三角形，此形有甲卯边黄极距天顶，有申卯边月距黄极，有申卯甲角当酉未弧月距限度为所夹之角，求申角及甲申边。乃自天顶作甲亥垂弧，分为甲亥卯、甲亥申两正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，此形亥为直角，有卯角，有甲卯边，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，为距极分边。与申卯弧月距黄极相减，得申亥弧三十七度十六分十二秒，为距月分边。次用甲亥申正弧三角形，此形亥为直角，有申亥边，兼甲亥卯正弧三角形之亥卯边及卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，即黄经高弧交角。仍以甲卯申斜弧形，用对边对角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，即月距天顶之度也。

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求太阴距星及凌犯视时

太阴距地平上之高弧，自地心立算者为实高，在地面所见者为视高，其相差之分，即地半径差也。月当地平时，距天顶为九十度，其相差之数最大，而角之正弦即当地之半径。迨月上升，则距地渐高，距地愈高，则差数愈小，其所差之分，皆与本时月距天顶之正弦相应，故用比例法而得本时高下差也。夫高下既差，则有视经、视纬之别。其视经、实经之差者，东西差也；视纬、实纬之差者，南北差也。今求三差，乃依后编日食求三差法用直线三角形算之。然后编三差图乃写浑于平，今则用以浑测浑之图，求其三差，其所得之南北差，与本时太阴实纬之度相较，而得视纬。得以视纬与星纬相较，观其纬之南北而定相距之上下也。其所得之东西差，与一小时之太阴实行为比例，而得用时距视时之距分。辨其月距限之东西加减凌犯用时，而得凌犯之视时也。

前求得道光十二年壬辰三月初六日癸丑，月距司怪第四星凌犯用时戌正二刻八分十九秒，黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天顶五十三度四十三分二十四秒，本日太阴最大地半径差六十分七秒，太阴黄道实纬度南三度三十分二十七秒，司怪第四星黄道纬度南三度十一分四十四秒，一小时太阴实行三十六分三十三秒，求星月相距分秒凌犯视时。如图甲为天顶，甲未辰巳为黄道经圈，辰午巳为地平，卯为黄极，未午辛为黄道，未点即黄平象限宫度，未辰弧即限距地高，与卯甲黄极距天顶之度等。申点为太阴，子点为司怪第四星，同当黄道于酉。其酉点即月与星之黄道经度，酉未弧即月距限西之度，子酉为星距黄道南纬度三度十一分四十四秒，申酉为太阴距黄道南实纬度三度三十分二十七秒，申卯弧即月距黄极，甲申戌为高弧，申甲为月距天顶度五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角为黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，而与戌申亥角为对角，其度等。此皆自地心立算之实度也。然人居地面高于地心，故视高常低于实高，而月当地平时，其地半径差为最大，今乃六十分七秒。于是依后编求本时高下差之法，以半径与甲申弧正弦之比同于最大地半径差与本时高下差之比，得本时高下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火点即太阴之视高，自火点与黄道平行，作火木线，遂成申木火直角三角形。因弧度甚小，乃作直线算，与后编求日食三差之理同。此形木为直角，有申角黄经高弧交角，有申火边本时高下差，求得木火边四十分十二秒为东西差，求得申木边二十七分四秒为南北差，加于申酉太阴实纬，得木酉太阴视纬三度五十七分三十一秒。内减子酉星纬，得子木弧四十五分四十七秒，为人目仰视太阴距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同当酉点之经度，固为相距。今太阴视高在火，其视纬虽差至木，而距星之子点尚在一度内，其火点当黄道之视经度则差至土，是用时时星经度虽在酉，而太阴视经度之土点乃在其西，是为未及。然土酉之分与火木等，故以一小时太阴实行与火木东西差为比例，得距分一时六分，为月行火木之时分。加于月视高临火点之用时，得亥初二刻十四分十九秒，即人目视太阴临于木点与星，同当酉点经度之视时也。

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求视时月距限

视时月距限，必大于用时月距限，因其视经差所当之距分既有加减，则太阴与星随天西移自有进退也。盖太阴以地半径差由高而变下，则视经之差于实经、视纬之差于实纬必矣。兹据黄平象限在天顶南之地面而言之，视纬恆差而南，如实纬北者，视纬常小于实纬，其差为减；实纬南者，视纬常大于实纬，其差为加。故纬南之星、月实距虽在一度内，而视距转在一度外者有之；纬北之星、月实距虽在一度外，而视距转在一度内者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限，故不取用。至若视经之差，所当月行距分之最大者或至二小时，而二小时之际，诸曜随天左旋，几至一宫，故视经之差，关于月行之进退矣。