皇朝经世文统编

为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然析小各率则不然倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如０五即折小第二率之率数０三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数为一率为一０故一０之对数为一即一率之一而一００为本数倍大第二率其对数亦为二一０００为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一０以下自二至九则不满一率故对数首位为０而下带畸零一０以上一００以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣

倍大率

率数一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００

一率

方根

二率

平方积

三率

立方积

四率

三乘方积

五率

四乘方积

六率

五乘方积

七率

六乘方积

八率

七乘方积

九率

八乘方积

十率

九乘方积

率分一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００

折小率

率数一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００

一率

方积

二率

平方根

三率

立方根

四率

三乘方根

五率

四乘方根

六率

五乘方根

七率

六乘方根

八率

七乘方根

九率

八乘方根

十率

九乘方根

率分一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００

以本数为积求折小各率

第一术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法以初商实减本数其减余数为乘法其所求第几率名为率分乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正　以乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃并诸正数得所求

按此术项氏所定

第二术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法以初商实减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃并诸正数并又诸负数减之得所求

按此术予所定

第三术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃并诸负数减第一正数得所求

按前开平方七术即此法

第四术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第一数负　乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃并诸正数又并诸负数减之得所求

按前二术予所定与项氏所定暗合

以本数为根求倍大各率

第一术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为一数正　次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃并诸正数得所求

第二术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃并诸正数得所求

第三术

法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃并诸正数又并诸负数减之得所求

第四术

法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正　次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃并诸正数又并诸负数减之得所求

按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除

论对数根

对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一０为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一０为积开方五十四次即以一０为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也

今定一０之对数为单一求对数根

法先以一０开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四０三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法　递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六为第一数正　除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０为第二数正　除法除第二数二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二为第三数正　除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五为第四数正　除法除第四数四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三为第五数正　如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正０三五五四六一六三一三为第七数正　二一五九四一０四六为第八数正　一三三二六五三０为第九数正０八三二七一０为第十数正　五二五五七为第十一数正　三三四五为第十二数

正　二一四为第十三数正　一四为第十四数正　一为第十五数正　乃并诸正数得二三０二五八五０九二九九四０四五七七为首率单一为中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即对数根也

用数　　一０七四六０七八二八三二一三一七四九七

除法　　一四四０三四一九二一八八六八六五三九

第一数　　二二二一六九四六九０二四九六三二六六　除法除之一乘二除得

二　　　　　七七一二三八六四０一０六七八三０　同　　　二　三

三　　　　　　三五六九七０一六四九二五一二二　同　　　三　四

四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八０五　同　　　四　五

五　　　　　　　　一０三二四０九四四二０八三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　二一五九四一０四六　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三０　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一０　同　　　十　十一

十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二

十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三

十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四

十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五

十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　首率　二三０二五八五０九二九九四０四五七七

中率　一

末率　０四三四二九四四八一九０三二五一八一一

按此即以一０为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣苴非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子并此减差而无之稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方并此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六倍若欲增求一位必须再开[三四]次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名其折小第一无量数率耳

论用数

前言有本数求折小第一无量数率可以径求此立法也而法有所穷必须先求三十二率何也多率之开方初商表其数极繁惟初商单一则任折小至多率而初商实亦必仍为单一幸而求折小多率者其首位必为单一故用第一第二两术其第一数必为单一而初商实犹可知若用第三四术则初商必为二而初商实即极繁而不可求矣然即用第一二术而其中又有窒今试以一０为本数依第一术求之则以一０为除法初商实一减一０得九为乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能递求依第二术则一除九乘位不惟不降而反升尤不能递求是窒也夫求折小多率者其本数必须单一下有空位空位后带零数则减余数小而可求今本数一０既非单一又无零数则必假一单一下有空位带零数之数以求之此用数之所由来也而求用数约有四法以本数先求折小第几率为用数其第一数以折小率若干乘之然后递求此一法也以本数首位降为单位以自二至九自一一至一九诸数累除之为用数求得数后以除法对数加之视降几位再首位加几又一法也以本数先求倍大第几率以首位降为单位为用数求得数后视降几位则首位加几然后以倍大率若干除之又一法也置本数以自二至九累乘之以首位降为单位为用数求得数后视降几位首位加几然后以乘法之对数减之又一法也然第一法取数不易而有畸零惟求对数根不得已而用之第二法亦有畸零第三法虽无畸零而不得必得诸数之倍大率不能辄得首位为一而下有空位也惟第四法既无畸零且可必得故求用数可以倍大率求者则用倍大率其不可用倍大率者则用借数累乘法为便也

假如以倍大率求二之用数

法以二自乘九次得一千零二十四为二之倍大第十率降三位得一０二四为二之用数

假如以累乘法求七之用数

法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八为七之用数

假如兼用倍大率及累乘法求三之用数

法以三自乘再乘得二十七为三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八为三之用数

论借数

借数者自二至九共八数借为累乘之数也凡诸数择八数内之数乘之皆可得首位为一而下有空位故借数不必广求即八数而已足但由用数求得之对数必以乘法之对数加之则必先求借数之对数而借数虽有八数实止三数何也二五四八本通为一数三六九亦通为一数惟七则自为一数故有三数之对数而八数之对数已备有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣

假如有对数根求二与四与五与八之对数

法依前求得二之用数一０二四减去单一得００二四为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在单位下则乘得数小于原数为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得三六０二二一二一五０七为第四数负　如是递求得六九一六二四七三三为第五数正０一三八三二四九五为第六数负　二八四五五四为第七数正　五九七六为第八数负　一二七为第九数正　三为第十数负　乃并诸正数得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并诸负数得００００一二五一一二八四六七四八一一八以负减正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九为一千零二十四之对数以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小余四九为二之对数也

求四之对数者以四即二之倍大第二率乃以二之对数二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三０００

求五之对数者００００相乘即十乃以十之对数单一内减二之对数得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之对数

求八之对数者以八即二之倍大第三率乃以二之对数三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之对数

用数　　一０二四

乘法　　００二四

第一数　００一０四二三０六七五六五六七八０四三　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　一二五０七六八一０七八八一三七　同　　　二　三

三　　　　　　　　二００一二二八九七二六一０　同　　　三　四

四　　　　　　　　　　三六０二二一二一五０七　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三

正数　　　００一０四二五０六九四八六五六００六七

负数　　　００００一二五一一二八四六七四八一一八

减得　　　　００一０二九九九五六六三九八一一九四九

首位加三　　三０一０二九九九五六六三九八一一九四九

十除之　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　二之对数

二乘之　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八　四之对数

以减单一　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一　五之对数

三乘之　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七　八之对数

假如求三与六与九之对数

法依前求得三之用数一０八减去单一得００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三为四数负　如是递求得二八四六一九二三一六六０一为第五数正０一八九七四六一五四四四０为第六数负０一三０一一一六四八七六为第七数正　九一０七八一五四一为第八数负　六四七六六六八七为第九数正　四六六三二０一为第十数负　三三九一四二为第十一数正　二四八七０为第十二数负　一八三七为第十三数正　一三六为第十四数负　一０为第十五数正　一为第十六数负乃　并诸正数得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并诸负数得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以负减正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为用数之对数以用数系降二位于乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为一百零八之对数以系借四乘再减四之对数得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四为二十七之对数以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之对数也

求六之对数者以二三相乘即六乃以二之对数加三之对数得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之对数

求九之对数者以九系三之倍大第二率乃以三之对数二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之对数