九章算术

依术求之，即得。〕

又术曰：径自相乘，三之，四而一。

〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。

是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。

淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕

又术曰：周自相乘，十二而一。

〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。

淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕

今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。

故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备，可以验此。〕

今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。

宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。

以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。

〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕

问为田几何？答曰：二亩五十五步。

〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕

术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。

〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕

又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。

〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。

淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。〕

问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕

术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。

〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕

卷二

○粟米（以御交质变易）

粟米之法〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕

粟率五十大抃五十四稻六十粝米三十粝饭七十五豉六十三粺米二十七粺饭五十四飧九十米二十四饭四十八熟菽一百三半御米二十一御饭四十二糵一百七十五小<麦啇>十三半菽荅麻麦各四十五今有〔此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率。所谓告往而知来，举一隅而三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。〕

术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。

〔少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。一者，谓以五约之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一，以五为三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；以分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。

淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“所求之率常为母”知，脱错也。〕

实如法而一。

今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕

今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。

术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕

今有粟四斗五升，欲为米。问得几何？答曰：为米二斗一升五分升之三。

术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。

〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五而一也。〕

今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升五十分升之九。

术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

今有粟一斗，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇>二升一十分升之七。

术曰：以粟求小<麦啇>，二十七之，百而一。

〔淳风等按：小<麦啇>之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。

他皆仿此。〕

今有粟九斗八升，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大<麦啇>一十斗五升二十五分升之二十一。

术曰：以粟求大<麦啇>，二十七之，二十五而一。

〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求米，半其二率。〕

今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。

术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕

今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。

术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

〔淳风等按：此术与大<麦啇>多同。〕

今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。

〔淳风等按：<麦啇>饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕

今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。

术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

〔淳风等按：此术半率，亦与饭多同。〕

今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。

今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。

今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。

今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。

术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。

〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕

今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗三十五分升之二十四。

术曰：以粟求稻，六之，五而一。

〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕

今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。

术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。

术曰：以粟求飧，九之，五而一。

〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕

今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。

术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

〔淳风等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。〕

今有粟二斗，欲为糵。问得几何？答曰：为糵七斗。

术曰：以粟求糵，七之，二而一。

〔淳风等按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数二十五约之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕

今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？答曰：为粟二十五斗九升。

术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

〔淳风等按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之，各合其数。

以下所有反求多同，皆准此。〕

今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。

术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

今有米三斗少半升，欲为粟。问得几何？答曰：为粟六斗三升三十六分升之七。

术曰：以米求粟，二十五之，十二而一。

今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三十三斗三升少半升。

术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？答曰：为粟一十斗五升九分升之七。

术曰：以稻求粟，五之，六而一。

今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。

术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

〔淳风等按：粺米率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕

今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭一十六斗一升半。

术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

〔淳风等按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，义由于此。〕

今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗一升三十五分升之三十一。

术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

〔淳风等按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕

今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽二斗三升。

术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

〔淳风等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕

今有菽二斗，欲为豉。问得几何？答曰：为豉二斗八升。

术曰：以菽求豉，七之，五而一。

〔淳风等按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕

今有麦八斗六升七分升之三，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇>二斗五升一十四分升之一十三。

术曰：以麦求小<麦啇>，三之，十而一。

〔淳风等按：小<麦啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。〕

今有麦一斗，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大抃一斗二升。

术曰：以麦求大<麦啇>，六之，五而一。

〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。〕

今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。

〔瓴甓，砖也。〕

问枚几何？答曰：一枚八钱九分钱之八。

今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五钱四十七分钱之三十五。

经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一。

〔此术犹经分。

淳风等按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。

但以一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按：此今有之义。出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求数。一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率为法，以所出之钱为实，实如法得一枚钱。不尽者，等数而命分。〕

今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之，问斗几何？答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。

今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？答曰：一丈，一百一十八钱六十一分钱之二。

今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？答曰：一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。

今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。

术曰：以求所率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。

〔淳风等按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘之为实。实如法而一，有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之。〕

今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其四十八个，个七钱；其三十个，个八钱。

今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？答曰：其二钧八斤，斤五钱；其一石一十斤，斤六钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问各几何？答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；其二十斤九两一铢，斤六十八钱。

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；其一钧一十斤五两四铢，两五钱。

其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者，反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢。

〔其率知，欲令无分。按：出钱五百七十六，买竹七十八个，以除钱，得七，实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数，故曰实贵也。

本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢者，谓石、钧、斤、两积铢除实，又以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。〕

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

今有出钱六百二十，买羽二千一百翭。

〔翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。〕

欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱；其九百六十翭，四翭钱。

今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。

〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱，一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘钱，反其率也。

淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。

法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多，乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕

卷三

○衰分（以御贵贱禀税）

衰分〔衰分，差也。〕

术曰：各置列衰；〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕

副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。

〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。