几何原本

若丁乙甲丁甲乙两角等即甲乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等【一卷】

【五】今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必等【一卷六】丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁

为圜心【本篇九】

后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分

即知圜心在乙丁线内【本篇一之系】而丁防在心之外则所出丁乙为过心径线至大【本篇七】故对大边之丁甲乙大于对小边之丁乙甲也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜心

论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等【一卷四】夫乙戊与甲戊以对角等故既等【一卷五】戊丙与甲戊亦等则从戊至界三线皆等而戊为心【本篇九】

増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线联之各两平分于丁于戊从丁从戊作

甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即已为圜心

论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两线即圜之心当在两垂线内【本篇一】而相遇于已即已为圜心

其用法圜界上任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作直线引长之

交于壬即壬为圜心

论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各为同圜等圜之半径各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角之乙癸边亦等【一卷八】则甲癸己乙癸己俱为直角而戊己线必过心【本篇一】依显庚辛线亦过心而相遇于壬为圜心

第二十六题【二支】

等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等

先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任取两防于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊作戊丁戊己各两线次作甲丙丁己两线相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角即乙与戊自相等【本篇二十】而所负甲乙丙与丁戊己两圜分相似【本卷界説十】又甲庚丙角形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁

辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己两边亦等【一卷四】而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分在等线上亦等【本篇卄四】夫相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乗之圜分等后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等

论曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚辛自相等【本篇二十】依前论甲丙丁己两边亦自相等而甲乙丙与丁戊己两圜分亦等【本篇廿四】今于相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等

注曰后解极易明葢庚辛角既各倍于乙戊则依先论甲丙丁己自相等【在心之乘圜角即分圜角随类异名】

第二十七题【二支】

等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等

先解在心者曰甲乙丙丁戊己两

圜等其心为庚为辛若甲庚丙乘

圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等题言甲庚丙丁辛己两角等

论曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角与丁辛己角等即甲壬圜分宜与丁己圜分等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎

后解在界者曰甲丙丁己两圜分等题言其上乙戊两角亦等

论曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角与戊角等其甲乙壬与丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎増题从此推显两直线不相交而在一圜之内若两线界相去之圜分等则两线必平行若两线平行则两线界相去

之圜分等

先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两线其相去之甲乙丁丙两圜分等题言两线必平行

论曰试自甲至丙作直线相联其甲乙丁丙既等即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等【本题】既内相对之两角等即两线必平行【一卷廿七】

后解曰甲丁乙丙为平行线题言甲乙丁丙两圜分必等

论曰试作甲丙线其甲丁乙丙既平行

即内相对之两角甲丙乙丙甲丁必等【一卷廿七】而所乘圜分甲乙丁丙亦等【本篇廿六】

第二十八题

等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等

解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛圜内有甲丙丁己两直线等题言甲乙丙与丁戊己两大分甲丙与丁己两小分各等

论曰试于甲庚庚丙丁辛辛己各作直线其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之

丁己两底既等而甲庚庚丙两腰与丁辛辛己两腰又等即庚辛两角亦等【一卷八】其所乘之甲丙丁己两小分必等【本篇廿六】次减相等之甲丙丁己两小分则所存甲乙丙丁戊己两大分亦等

第二十九题

等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等

解曰依前题两圜之甲乙丙丁戊

己两圜分等而甲丙丁己两圜分

亦等题言甲丙丁己两线必等

论曰依前题作四线其甲庚丙角形之甲庚庚丙两腰与丁辛己角形之丁辛辛己两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两圜分等即庚辛两角亦等【本篇廿七】而对等角之甲丙丁己两线必等【一卷四】

注曰第二十六至二十九四题所説俱等圜其在同圜亦依此论

第三十题

有圜之分求两平分之

法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次两平分于丁从丁作乙丁为甲丙之垂线即乙丁分甲乙丙圜分为

两平分

论曰从乙作乙甲乙丙两线其甲乙丁角形之甲丁与丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙与丙丁乙两直角又等即对直角之甲乙乙丙两底亦等【一卷四】而甲乙与乙丙两圜分亦等【本篇十八】则甲乙丙圜界两平分于乙矣

第三十一题【五支】

负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙

大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙为直角二言负大分之乙甲丙角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙甲大圜分角大于直角后言丙乙戊小圜分角小于直角

先论曰试作乙丁线次以甲乙线引长之至已其丁乙丁甲两线等即丁乙甲丁甲乙两角等【一卷五】依显丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角与乙甲丙甲丙乙两角并等又己乙丙外角亦与相对之乙甲丙甲丙乙两内角并等【一卷卅二】则己乙丙与甲乙丙等为直角

二论曰甲乙丙角形之甲乙丙既为直角则乙甲丙小于直角【一卷十七】

三论曰甲乙戊丙四边形在圜之内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本篇廿二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙大于直角

四论曰甲乙丙直角为丙乙甲大圜分角之分则大于直角

后论曰丙乙戊小圜分角为己乙丙直角之分则小于直角

此题别有四解四论先解曰甲乙丙半圜其心丁其上任作甲乙丙角题言此为直角论曰试作乙丁线其丁乙丁甲两线既等即

丁乙甲丁甲乙两角亦等【一卷五】而乙丁丙外角既与丁乙甲丁甲乙相对之两内角并等【一卷卅二】即倍大于丁乙甲角依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等两直角【一卷十三】则甲乙丙为直角二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙丙角题言此小于直角

论曰试作甲丁戊径线次作乙戊线相联

其甲乙戊既为直角【本题一论】即甲乙丙为其分而小于直角

三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙丙角题言此大于直角

论曰试作甲丁戊径线而引乙丙圜界至

戊次作乙戊线其甲乙戊既负半圜之直角而为甲乙丙角之分则甲乙丙大于直角

四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊题言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角

小于直角

论曰试作乙戊丙径线次作乙甲线引长之至己其乙甲丙直角为丙甲乙大

圜分角之分而丙甲丁小圜分角又为己甲丙直角之分则大分角大于直角小分角小于直角

一系凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角

二系大分之角大于直角小分之角小于直角终无有角等于直角又从小过大从大过小非大即小终无相等依此题四五论甚明与本篇十六题増注互相发也

第三十二题

直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等

解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙从丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角题言甲丙戊角与丙庚戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等

先论割圜线过心者曰如前图甲丙戊乙丙戊两皆直角【一卷十八】而丙庚戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本篇卅一】则交互相等后论割圜线不过心者曰如后图试作丙己过心直线次作戊己线相联其己丙为甲乙之垂线【一卷十八】而丙戊己为直角【本篇卅一】即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦

等于甲丙己角矣此两率者各减同用之戊丙己角即所存戊己丙与甲丙戊等也夫戊己丙与丙庚戊元等【本卷廿一】则甲丙戊与丙庚戊交互相等又丙丁戊庚四边形之丙丁戊丙庚戊两对角并等两直角【本篇廿二】而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角【一卷十三】此二率者各减一相等之甲丙戊丙庚戊则所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等

第三十三题

一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜分角与丙等其丙角或直或鋭或钝若直角先以甲乙两平分于丁次以丁为心甲乙

为界作半圜圜分内作甲戊乙角即负半圜角为直角【本篇卅一】如所求

次法曰若设丙鋭角先于甲防上作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线于甲乙之上次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与甲戊线遇于己

即己乙己甲两线等【一卷六】末以己为心甲为界作甲庚圜必过乙即甲庚乙圜分内甲乙线上所作负圜角必为鋭角而与丙等

论曰试作甲庚乙角其甲己戊线过己心而丁甲又为戊甲之垂线即丁甲线切甲庚乙圜于甲【本篇十六之系】则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等【本篇卅二】如所求后法曰若设辛钝角依前作壬甲乙钝角与辛等次作戊甲为壬甲之垂线余仿第二法而于甲乙线上作甲癸乙等即与辛等

后论同次

第三十四题

设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等

法曰设甲乙丙圜求割一分而负圜分角与丁等先作戊己直线切圜于甲【本篇十七】次作已甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等

何者已甲乙角与丁等亦与甲丙乙交互相等故【本篇卅二】

第三十五题

圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两线交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等其两线或俱过心

或一过心一不过心或俱不过心若俱过心者其各分四线等即两矩内直角形亦等

先论曰圜内线独丙丁过己心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊即丙戊线在甲乙上为两直角【本篇三】试作已乙线相联其丙丁线既两平分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与等已

丁之已乙上直角方形等【二卷五】夫已乙上直角方形与已戊戊乙上两直角方形并等【一卷四七】即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙上直角方形等乎戊乙与甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直角【本篇三】其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等【二卷五】而已戊上直角方形与已

庚庚戊上两直角方形并等【一卷四七】已乙上直角方形与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上直角方形等【二卷五】此二相等率者每减同用之庚戊上直角方形则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内直角形等矣

后论曰圜内两线俱不过心者又有二种或一线平分或两俱任分皆从已心与戊相聨作直线引长之为庚辛线依上论甲戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形

不论丙丁线平分任分亦与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等

第三十六题

圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等

解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙【本篇十七】作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等

先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁乙之垂线【本篇十八】其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形

及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方形等【二卷六】而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等

后论丁甲不过戊心者曰试

以甲丙线两平分于已次从

戊心作戊已戊丙戊丁戊乙

四线即戊乙为丁乙之垂线【本篇十八】戊已为甲丙之垂线【本篇三】其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并与已丁上直角方形等【二卷六】次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上两直角方形并与己丁戊己上两直角方形并等夫己丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊

乙上直角方形等【一卷四七】而戊丁上直角方形与己丁戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与

丁乙上直角方形等

一系若从圜外一防作数线至规内各全线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作

甲丙甲丁甲戊各线截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲乙上直角方形俱等故【本题】

二系从圜外一防作两直线切圜此两线等如甲防作甲乙甲丙两切圜线即甲丙与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界

于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊矩内直角形等【本题】则此两直角方形自相等

三系从圜外一防止可作两直线切圜若言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两

线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角【本篇十八】试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大于甲乙戊角【一卷廿一】安得为直角也又甲乙甲丁若俱切圜即两线宜等【本题二系】试作甲戊线截圜于己则甲丁为近己线甚小当小于逺己之甲乙线【本篇八】又安得相等也故一防上止可作切圜线两也

第三十七题

圜外任于一防出两直线一至规外一割圜至规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外之线必切圜

解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外之线遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等题言丁乙为切圜线论曰试从丁作丁己线切圜于己【本篇十七】次作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心者又作丁戊直线其丁己上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形等【本篇卅六】而丁乙

上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊与丁己戊角形之丁己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等【一卷八】而对丁戊底之丁己戊为直角【本篇十八】即丁乙戊亦直角故丁乙为切圜线【本篇十六之系】

几何原本卷三

钦定四库全书

几何原本卷四之首

西洋利玛窦译

界说七则

第一界

直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形

此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故解形之切在形内及切在形外者先以直线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三邉则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角形之庚辛壬庚两邉而丑角不切辛壬邉

则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形

第二界

一直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形

如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形　其余各形仿此二例

第三界

直线形之各角切圜之界为圜内切形

甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也

第四界

直线形之各邉切圜之界为圜外切形

甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊是也

第五界

圜之界切直线形之各邉为形内切圜

同第四界图

第六界

圜之界切直线形之各角为形外切圜

同第三界图

第七界

直线之两界各抵圜界为合圜线

甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为合圜线

几何原本卷四之首

钦定四库全书

几何原本卷四

西洋利玛窦撰

第一题

有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线【径为圜内之最大线更大不可合见三卷十五】先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与

丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等

第二题

有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角

法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲【三卷十七】次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与

辛甲丙两角亦等【三卷卅二】而庚甲乙辛甲丙两角既与所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各等而乙甲丙必与丁等【一卷卅二】则三角俱等

第三题

有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角

法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己一邉引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作

癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙【三卷十六之系】而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余二仿此】此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等

论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一卷卅二题内】而壬甲子壬乙子两为直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊

庚丁戊己两角并亦等两直角【一卷十三】此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等【一卷卅二】而癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等

第四题

三角形求作形内切圜

法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之【一卷九】作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形

之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙丁同邉即丁戊丁己两邉亦等【一卷廿六】依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两邉亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚【三卷十六之系】此为形内切圜

第五题

三角形求作形外切圜

法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉【若形是直角钝角则分直角钝角之两旁邉】于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己【若自丁至戊作直线即己丁戊角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两线必相遇】其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙邉上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即甲己己乙两底必等【一卷四】依显甲己戊丙己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲