历算全书

之予所补也【详堑堵测量】

论曰此五句股形皆同角故其比例等然与弧三角真同者乙角也

第一【癸巳夘形】第二【戊丁夘形】两形皆乙角原有之八线即春秋分角也其度则两至之大距也

或先有角以求边则以此两形中线例他形中线得线则得边矣

或先有边以求角则以他形中线例此两形中线得线则亦得角矣【盖夘角即乙角也○若欲求丙角则以丙角当乙角如法求之】

第三形【丙辛壬形】以黄经之正【丙壬】黄赤距度之正【丙辛】为与股是以黄经与距纬相求

或先有乙角有黄经以求距纬【用乙角实用壬角下同】

或先有乙角有距纬以求黄经

或先有黄经距纬可求乙角亦可求丙角

第四形【子甲丑形】以黄赤距纬之切线【子甲】赤经之正【甲丑】为股与句是以距纬与赤经相求

或先有乙角有赤经以求距纬【用乙角实用丑角下同】

或先有乙角有距纬以求赤经

或先有赤经距纬可求乙角亦可丙角

第五形【酉未乙形】以赤经之正切【未乙】黄经之正切【酉乙】为句与是黄赤经度相求

或先有乙角有黄经以求赤道同升度

或先有乙角有赤道同升以求黄经

或先有黄赤二经度可求乙角亦可求丙角

又论曰诸句股形所用之夘壬丑乙四角实皆乙角何也侧望则弧度皆变正而体心夘作直线至乙为夘壬丑乙线即半径也今以侧望之故此半径直线化为一防则乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣

癸丁为乙角之度【即黄赤大距二至纬度】癸乙为黄道半径丁乙为赤道半径戊丁为乙角切线癸巳为乙角正戊乙爲乙角割线已乙为乙角余癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角

丙甲为设弧距度其正丙辛其切线子甲

丙乙为所设黄道度其正丙壬【因侧望弧度正成一线】偕距度正丙辛成句股形其乙角即壬角

甲乙爲所设赤道同升度其正甲丑【因侧望弧度正成一线】偕距度切线子甲成句股形其乙角即丑角

酉乙为所设黄经切线未乙为赤道同升度切线此两线成一酉未乙句股形在体外真用乙角

正弧三角形求余角法

凡弧三角有三边三角先得三件可知余件与平三角同理前论正弧形以黄赤道为例而但详乙角者因春分角有一定之度人所易知故先详之或疑求乙角之法不可施于丙角兹复为之条析如左【仍以黄道上过极经圏之交角为例】

假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角则爲乙丙之正与乙甲之正若半径与丙角之正也

假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角则为丙甲之正与乙甲之切线若半径与丙角之切线

假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角则为乙丙之切线与丙甲之切线若半径与丙角之余

又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度则为半径与丙角之正若乙丙之正与乙甲之正

或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度则以前率更之为丙角之正与半径若乙甲之正与乙丙之正

又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度则为丙角之切线与半径若乙甲之切线与丙甲之正

或先有丙甲距度而求乙甲同升度则以前率更之为半径与丙角切线若丙甲正与乙甲切线

又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度则为半径与丙角余若乙丙切线与丙甲切线

或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙角余与半径若丙甲切线与乙丙切线

论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余边亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变丙角为过极经圏交黄道之角随度而移【交角近大距则甚大类十字角近春分只六十六度半弱中间交角度度不同他亦然皆逐度变丙角】有时大于乙角有时小于乙角【乙角不及半象限则丙角大乙角过半象限则丙角有时小】故必求而得之又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球上大圏相交成十字者必过其极今过极经圏乃赤道之经线惟二至时则此圏能过黄赤两极其余则但过赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角【即丙角】交赤道则常为正角【即甲角】

又论曰丙角与乙角共此三边【一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度】其所用比例者亦共此三边之八线【三边各有正亦各有切线】而所成句股形遂分两种可互观也

乙角所成诸句股皆以戊丁夘为例

内角所成诸句股皆以亥辰夘为例

并如后图

如图丙角第一层句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角两正交于丙在丙角两正交于乙皆与股之比例而同不同股【乙角丙角并以乙丙黄道正为而乙角所用之股为丙甲正丙角所用则乙甲正皆正也而同股别】

丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角并以一正一切线交于甲为句与股之比例而所用相反【乙角于乙甲用正于丙甲用切线丙角则于乙甲用切线于丙甲用正皆乙甲丙甲两弧之正切线而所用逈别】

丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以两切线聨于乙在丙角以两切线交于丙皆与句之比例而同不同句【乙丙两角并以乙丙切线为而乙角以乙甲切线为句丙角以丙甲切线为句皆切线也而同句别】

球面弧三角形弧角同比例解

第一题

正弧三角形以一角对一边则各角正与对边之正皆为同理之比例

如图乙甲丙弧三角形【甲为正角】　法为半径与乙角之正若乙丙之正与丙甲之正更之则乙角之正角与对边丙甲之正若半径与乙丙之正也又丙角之正与其对边乙甲之正亦若半径与乙丙之正也合之则乙角之正与其对边丙甲之正亦若丙角之正与其对边乙甲之正

论曰乙丙两角与其对边之正既并以半径与乙丙为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正皆为同比例

又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之边也半径者即九十度之正也以半径比乙丙之正即是以甲角之正比对边之正故以三角对三边皆为同比例

第二题

凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之首末二率为互视之同比例【即斜弧比例之所以然故先论之】

假如有甲乙丙丁四率甲【四】与乙【八】若丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也

又有戊乙丙辛四率戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也

此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍之比例也】

论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实惟甲【四】为法则得十二若戊【二】为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也

试以先理之四率更为首率其理亦同【丁与辛若戊与甲皆加倍比例】若反之令两四率并为首率亦同【甲与戊若辛与丁皆折半比例】并如后图

第三题

斜弧三角形以各角对各边其正皆为同比例

乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角

依前正角形论各对边之正与所对角之正比例皆等

乙甲丁形丁角正与乙角正若半径【即甲角正】与丁乙正是一理也

乙甲丙形丙角正与乙甲正若半径与乙丙正是又一理也

两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正与乙丙之正若丙角之正与丁乙之正也

又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正与丁丙正亦若丙角正与乙丁正　又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙

一　丁角正　　　丙角正

乙丙丁斜弧三角形丁为钝角　法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧防于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角

乙甲丁形丁角之正与乙甲边若半径与乙丁边正一理也　乙甲丙形丙角之正与乙甲边若半径与乙丙正又一理也　准前论两理之第二第三既同则丁角正与乙丙正若丙角正与乙丁正也

论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰凡钝角之正与外角之正同数故用外角如本形角也

若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如前法并同

用法

凡弧三角形【不论正角斜角】但有一角及其对角之一弧则其余有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知对弧之角皆以其正用三率比例求之

假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其余但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此为弧求角也

一　丁角正　　　　　一　乙丙正

二　乙丙正　　　　　二　丁角正

三　丙角正　乙角正　三　乙丁正　丁丙正四　乙丁正　丁丙正　四　丙角正　乙角正

厯算全书巻七

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书巻八

宣城梅文鼎撰

弧三角举要巻三

斜弧三角形作垂弧説

正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也

斜弧三角用垂弧法

垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形

总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二鋭或在形内或在形外【自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外】两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外【次形无钝角垂弧在其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内】

第一法垂弧在形内成两正角【内分五支】

设甲乙丙形有丙鋭角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角

法于乙角【在先有乙丙边之端乃不知之角】作垂弧【如乙丁】至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角【凡垂弧之所到必正角也角不正即非垂弧故所分两角皆正后仿此】　一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边【乃丙甲之分】乙丁边【即垂弧】及丁乙丙角【即乙分角】　次乙丁甲形有丁正角甲丁边【甲丙内减丁丙其余丁甲】乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角　末以两乙角并之成乙角

或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同

右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支【此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为鋭角】

设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边

法于不知之乙角【在先有二边之中】作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角　次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边　末以两分角【丁乙丙及丁乙甲】并之成乙角以两分边【丁丙及丁甲】并之成甲丙边

右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支

设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边【在两角之间】求甲角及余边

法于乙角作垂弧分两形并如前【但欲用乙丙边故破乙角存丙角】一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角　次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角【原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲】可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边

或于丙角作垂弧亦同

若角一钝一鋭即破钝角作垂线其法并同

右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支【此必未知之角为锐角则垂弧在形内】

设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边【与丙角相对与甲角相连】求乙角及余二边

法于乙角【为未知之角】作垂弧分为两形而皆正角　一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角　次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角　末以甲丁丁丙并之成甲丙边　以两分角【丁乙甲丁乙丙】并之成乙角

右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支【此先有二角必俱锐则垂弧在内】

设乙甲丙形有三边而内有【乙甲乙丙】二边相同求三角

法从乙角【在相同二边之间】作垂弧至丙甲边【乃不同之一边】分两正角形【其形必相等而甲丙线必两平分】　乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边【即甲丙之半】可求丙角乙分角【乃乙角之半】倍之成乙角而甲角即同丙角【不须再求】

右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支【此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角必俱钝当用次形详第三又法】

第二法垂弧在形外补成正角【内分七支】

设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边【乙丙甲丙】求乙甲边及余两角

法自乙角【在先有边之一端】作垂弧【乙丁】于形外引丙甲边至丁补成正角形二【一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形】　先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角【半虚半实】乙丁边【形外垂弧】丁丙边【丙甲引长边】　次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边【丁丙内减内甲得甲丁】可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支【此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角】

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之【丙甲乙甲】二边求乙丙边及余二角

法于乙角作垂弧【乙丁】引丙甲至丁补成正角　先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角【即原设甲角减半周之余亦曰外角】有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角　次丁乙丙形有乙丁边丁丙边【甲丙加丁甲得之】丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角　末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角

或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同

右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支

设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角

法从乙角作垂弧至丁成正角【亦引丙甲至丁】　先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数【乙丁边丁丙边丙乙丁角】　次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数【乙甲丁角甲乙丁角甲丁边】　末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲

右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支【此必甲为钝角故垂弧在外】

设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角

法于丙角作垂弧至戊补成正角　先算虚形【甲丙戊】有戊正角甲角【甲钝角减半周之余】甲丙边可求诸数【丙戊边甲戊边丙虚角】次虚实合形【乙丙戊】有戊正角丙戊边乙丙边可求原

设乙角及诸数【乙丙戊角乙戊边】　末以先得虚形数减之得原设数【丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边】

右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支【此先得钝角垂线必在外】

设乙甲丙形有丙甲二角【一锐一钝】有丙甲边在两角之中

法于丙锐角作垂弧至丁【在甲钝角外】补成正角　丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数【丙丁边甲丁边丙虚角】次乙丙丁形【半虚实】有丁正角丙丁边丙角【以丙虚角补原设丙】

【角得丁丙乙角】可求原设乙丙边乙角及乙甲边【求得乙丁边内减虚形之甲丁边得原设甲乙边】

右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支【此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支】

设乙甲丙形有乙甲二角【乙锐甲钝】有丙甲边与乙锐角相对【钝角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在丙甲边外】补成正角　甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角【原设形之外角】可求诸数【丙戊甲戊二边丙虚角】　次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角【求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角】乙丙边乙甲边【求到乙戊边内减甲戊得乙甲】右二角一边而边对鋭角为形外垂弧之第六支

设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对【锐角相连】

法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角　乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】　次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】

右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支

第三垂弧又法　用次形【内分九支】

设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角

法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】

右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支

论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】

又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为防乎此尤易见

设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边

如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】

右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同

设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中

法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支

或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条

设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对

法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】

右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同

论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形

设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角

法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支　若甲为鋭角亦同

以上垂弧并作于次形之内

设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间