历算全书

无纬度若合伏过正交若干度则正交上之合伏后若干度【即合伏防距枢线之度】此处无纬度而合伏反有纬度矣是纬度之变动全系乎枢线之移也【即轮心所到】

论五星以髙卑变纬度

本天髙卑能变纬度理宜有之然按图详审其法有三其一于本天之斜交径上作嵗轮三径线与黄道面平行逺近不同纬度自异其二于本天斜径上只作一嵗轮径线而最髙卑之嵗轮心有时而移即其周之长短随之逺近其三亦只作一径线而行最髙时嵗轮圏大行最卑时嵗轮圏小三者虽同用最髙卑立算而加减各异此必徴之实测乃可定之

第一法用三线则交角虽不变而嵗轮面与黄道面之逺近顿殊【角既同矣纬何得异曰所用之本天径线不同也假如中距时交角为三度其所得正乃中距时径线为全数也若最髙时则其全数大矣虽亦三度角之正而其实数则大矣故纬亦大最卑时全数小而正亦小彷此论之其留际上下角不同者又在其外也】

又有异者若用三线则交防亦当有变何也中距面线至正交时与黄道面径合为一线其余两嵗轮面线必一在北一在南【按至交防则三线合一此一节可以勿论】

第二法嵗轮只用一线其面之距纬本无不同而最髙卑时轮心有动移最髙时轮心在上则正线如故而角变小矣【谓小于中距之角】最卑时轮心近下则正如故而角变大矣【大于中距角】何则正虽同【谓嵗轮面与黄道面平行之纬】而轮心在上则逺于地心而见小矣轮心在下则近于地心而见大矣【又法用不同心于黄道则不但正不变角亦不变但人在地心视之则有大小与上法二而一者也】

第三法只作一嵗轮径线【凡言径线皆因旁视而面变为线】而其两端并作三层线折半为嵗轮心而两端无参差尽其轮边【即径线两锐尖尽处】为最大圏之径乃最髙时所用两端各缩进为界则中距时径也两端又缩进为界则最卑时圏径也西厯论火星嵗轮有大小之故解之以髙卑而王寅旭亦取之用此法也

以上三法不知谁为定法故曰必徴诸实测

又按三法在上三星其用皆同至金水则又大异何则金水嵗轮大于本天【以其径同太阳天故】则包过地心退合时轮心在人之背而星在轮周跨过地心在人之上星之下星在轮周与其轮心如月之望而人居其间故最髙时轮心逺于地而星在轮周反近于地纬反变大矣若最卑时轮心近地而星在轮周反逺于地纬反变小矣此自然之势不得不然者也【此在第一法第二法并同】

若用第三法则虽有髙卑而两端之逺近不变与前二法相反故必徴之实测乃取其合者用之

杨学山曰西法歩五星土木火有嵗轮金水有伏见轮虽两轮行度求角之法皆同然嵗轮上为星离日之虚度轮心在本天伏见轮则自有行度轮心即太阳细按厯书之説盖谓上三星本天包太阳天外星离日而又与日有定距是生嵗轮其半径恒与太阳天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距地亦与太阳等【俱一千一百四十二地半径】而此伏见一轮以日为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏见【以平行同太阳故也】故名伏见轮之半径皆有定度【金星七千二百竒水星三千八百竒】是其意原非以伏见轮当嵗轮若果即为嵗轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即嵗轮者盖因行法相同而混言之耳今勿庵之説又异是谓五星皆同一法皆有嵗轮上三星因本天大故用嵗轮金水因嵗轮大难用故用绕日圆象【即伏见轮如上三星围日之圏】如此可明金水自有本天因得自有髙卑亦自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道因有正交中交之名诸根底俱有着落且五星一贯但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度分南纬北纬之大小皆与厯书数迥异騐之于天末识合否余尝疑厯指论五星纬説多混淆金水尤略因作五星纬行解一巻明之勿庵之説不敢遽定其是非存之以待参攷焉

厯算全书卷十六

钦定四库全书

厯算全书巻十七

宣城梅文鼎撰

火纬本法图説

荧惑一星最为难算至地谷而其法始宻图表具在可攷而知也何尝云火星天独以太阳为心不与余四星同法乎作厯书者突发此语遂令学者沿譌是执图以观图而不以算理观图也不知厯算家有实指之图有借象之图地谷氏之图火星所谓借象也非实指也钱唐友人袁惠子士龙受黄三和先生宪厯学以厯指为金科余故为作此以极论之而徴之切线分角之法以着其理袁子虚懐见从已复质诸睢州友人孔林宗兴秦亦以为然而手抄以去又旁证诸穆氏天歩真原王氏晓庵厯法大防亦多与余合

火星本法【发厯书之覆】

据厯指万厯癸丑年太阳在降娄宫一十四度有半

地谷测火星体防合于井宿第五星

经度为鹑首四度半

纬度在黄道北二度十一分

火星平行在壬

距冬至二百一十七度半强

火星最髙在丙

引数自丙厯丁至壬三百三十八度半弱

图説　乙为地心　即为各天平行之心【亦黄道心】大圈为火星平行之天　内圈为太阳平行天皆以地为心【其度皆应黄道】　太阳在本天自春分壁向娄顺行　火星嵗轮心在本天自丙过丁至壬顺行太阳行速而火星行迟今太阳在后火星在前是

太阳与星已过相冲之度而从后逐星也　火星在嵗轮上亦自戌顺行过亢至申　合伏时星在戊冲日时星在亢今在申是星己过冲日之限而复向合伏也　太阳距星实行为娄张【亦即心氐】以减半周为张角为黄道上星距日冲之度【亦即氐未】太阳在黄道上自娄仍顺行其冲亦自角顺行星亦自氐顺行而日速星迟故其距渐近而星距日冲渐逺则星在嵗轮上距合伏之度亦渐近距冲日之度亦渐逺其嵗轮上渐逺渐近之度皆与黄道上距度相应然黄道上娄张是日在后追星嵗轮上是星向合伏【申戌】黄道上日冲度渐离星【角张】嵗轮上是星离冲日【申亢】

本法以平行壬为心作子癸小轮自最髙子过癸左行为引数之数至丑　又以丑为心作夘辰小均轮自辰最近右行过夘歴寅复过辰歴夘至寅为引数之倍减去全周得嵗轮之心到寅

先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅线次以寅壬乙形求得寅乙线为嵗轮心距本天心之数　又求得壬乙寅角为平行实行之差即前均也因在后六宫其号为加得寅乙申角为实行视行之差

此以上厯书之法并同以下则异

次以寅为心作嵗轮戊申亢圏也戊为最逺合伏之度也亢为最近冲日之度也今太阳在降娄火星在鹑首是已过冲日之度而日反在后以逐星也其日星之距为降娄至鹑首之度在嵗轮上则为申戊弧乃星行嵗轮末至合伏之度也【厯家谓之距余盖顺数自戊合伏过亢冲日至申为距合伏行度以全周得申戊为距余】以申戊减半周得申亢为巳过冲日之度即申寅亢角【或申寅乙角】

末以申寅乙三角形求申寅半径　此形有先求得寅乙距心线又有申乙寅角为先测火星视行与所算实行之差度有申寅乙角为嵗轮上己过冲日之度有两角自有寅申乙角法为申角之正与乙角之正若寅乙线与申寅线也【此以测得视差而求半径】若先有申寅半径而无视差度求乙角者则以切线法求之以申寅邉乙寅邉并之得戊乙为总数【一率】又以申寅减乙寅得亢乙为较数【二率】以申戊度半之为距余半求其切线【为三率】法为总数与较数若半距余角【即半总角】之切线与半较角之切线也求得四率查切线得其度以减距余半之度余为申乙寅视差角乃以视差角减实径为视径【已过日冲其差为减】此本法也厯书所载求法得数并同而其图迥异盖巧算耳下文详之

厯书之法亦是用两角一邉以求余邉【星过日冲弧度是一角测得视行与实行之差是一角算得寅乙距心线是一边今以法取嵗轮半径为所求一边】然不正作申乙寅视差角而反作乙寅甲为视差角故亦不正作申寅乙星过冲日角而作寅乙甲为星距冲日角然则用本法者惟寅乙距心一线耳

然既有寅乙线为主又有寅乙甲为星距日冲度有乙寅甲角为视差度则乙寅甲三角形与申乙寅三角等而甲乙邉必与申寅半径同矣此倒算防法与加减差法不作角于心而作角于邉同一枢轴也

其法以先得寅乙线为三角之底其两端各作角【即先得两角】

各引其邉遇于甲则甲乙为半径【寅甲亦即为星体距心与申乙之距同矣又大阳心在降娄其冲未在寿星星实行在氐氐末为氐乙未角即星实行己过日冲之真距也正与嵗轮上申亢度等故用氐乙未角为黄道上星距日冲之度与用嵗轮上申寅亢同此为借象之一根】

然又以甲为地心而作圏周分十二宫何也曰此则借象也其法妙在作甲己线与寅乙平行何也先依寅乙线作三角形其寅甲原与申乙平行今己甲又与寅乙平行则寅甲己角与申乙寅角等度而且等势矣【寅甲线斜交于寅乙及甲己两平行线中则所作寅甲己及甲寅乙两角等寅乙线斜交于申乙及寅甲两平行线中则甲寅乙与申乙寅角亦等而寅甲己角与申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙线即原用之线也今巳甲与寅乙平行故不惟等度而且等势也】由是而自甲心作春秋分横线井箕直线即与乙心所作大圏上降娄夀星横线及冬夏至直线悉为平行而等势【横与横平行直与直平行则其势等】于是而匀分十二宫即无一不与乙心所作大圏等

十二宫既与大圏等势而寅甲己角又与大圏之申乙寅角等度等势则己甲线即指星实行度寅甲线即指星视行度而可以命其宫度不爽矣推此而辛甲为星最髙指线及作平行线于己甲实行之内一一皆真度矣

又以乙为太阳体何也曰太阳实行降娄宫度原在大圏其离降娄之度为乙角今太阳指线过乙至甲则甲角与乙角等度而乙防在次圏上【甲心所作之甪】距春分之度与大圏等【圏有大小而角度等】即太阳真度可以命之为日矣乙既命为日则次圏可命为太阳所行之天而乙心所作大圏以太阳之冲处割小圏有火星行嵗圏最近侵入太阳天内之象故遂以大圏命为星行之圏也【又寅乙甲角原为星距日冲之度与申寅乙角同而甲己既与寅乙平行甲未即甲乙之截线则己甲未角又与寅乙甲角同而己亥与嵗轮上申亢同为星距日冲之】

此一图也有嵗轮半径之数【甲乙】有火星实行视行差度【寅甲己角】有周天宫度有太阳度及火星最髙卑度又有火星行最近入太阳天内之象可谓简而该巧而妙矣非地谷精于测算神明于法不能为也

然则何以谓之借象曰以其一图而备数端故知之也何以言之甲乙者嵗轮之半径也不得与日距地心同数一也寅乙距心之线从两小轮求出而两小轮在火星本天是从乙心起算不从甲心起算二也因寅乙距心之线以得视差之角亦为乙心之角非甲心之角三也若甲真为地心则与乙太阳有距数太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也视行实行之差角为地面实测非乙心之数不得两处悉同五也又大圏既为本天而侵入太阳天内则将为嵗轮之心若冲日之时嵗轮心既在太阳天内星又在嵗轮最近将越过地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是观之此图但为借象巧算之用而非以是为真象也或者不察遂真以乙为日体则死于古人句下矣

或问五星新图亦以火星天用太阳为心而冲日之处割入太阳天内又何以説焉曰火星之行围日而能割太阳天者乃嵗轮上周行之迹耳非本天也盖火星本天在太阳之外能包太阳之天因嵗轮之行合伏时在嵗轮之顶去太阳益髙合伏以后离太阳渐逺则行于嵗轮中半与本天齐及其冲日则行嵗轮之底而在本天之内去地益近其去地益近者为日所摄也此理五星所同故土木火三星皆可为围日之象今新图五星不以地为心者是也火星则嵗轮最大冲日时稍侵入太阳之天其实嵗轮之心仍系本天在太阳天外耳七政小轮周行于天遂成不同心之圏嵗轮周行于天成围日之形一而已矣今以实数攷之火星嵗轮半径约为本天半径十之六其合伏时则两半径相加成十六冲日时两径相减只余十之四其侵入太阳天内约为一二分则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒而火星合伏时在太阳上约为十分冲日时在太阳下亦约十分而成围日之形矣是故以日为心者嵗轮上星行之轨迹也非本天也【图见下】

火星嵗轮上轨迹围日之图　【土木二星因嵗轮之度而成围日之形与此同理但其天更大而嵗轮小故不致侵入余里之天】

丁庚寅辛为太阳天　戊癸己壬为火星本天甲丑嵗轮以戊为心　丙子嵗轮以己为心

丁为日体　甲丙皆星体

甲癸丙壬为嵗轮上星行轨迹成一大圈而以丁日为心

星天日天各有小轮髙卑其本天则皆以地为心星在嵗轮甲为合伏而去地极逺　星在丙为冲日冲日之时庚丙辛割入太阳天庚寅辛之内而去地极近

星在嵗轮丙时已割入日天然嵗轮心则在本天已若如众説以割入日天内者为本天则冲日时当以丙为嵗轮心矣而星在嵗轮之上又当向日岂不越地心乙而过之乎必不然矣

切线法解在后

火星次均解　【火星次均用切线求嵗轮上视差角乃三角法也】

欲明火星次均用切线之法当先明三角形用切线之法

甲夘乙三角形有甲钝角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角

法曰以甲角减半周得余三十度为癸甲乙外角　半之得十五度为丙甲辛角　其切线辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲夘【一百】共得丙夘一百六十为首率【总数】　以甲乙减甲夘余得辰夘四十为二率【较数】　半外角之切线辛癸为三率　二率乗三率为实首率为法除之得辛夘【六六九八】为四率即辛甲壬减之切线也　以四率查切线表得三度五十分弱为辛甲壬减角　以所得辛甲壬减角三度五十分减半外角十五度余壬甲丙角十一度一十分即夘角也

今以火星言之丙乙辰圏则嵗轮也甲为嵗轮之心丙甲辰夘过心线即星实行度分也

夘为本天之心　甲夘者距心线也【即表中距日数】　甲丙甲乙甲辰皆嵗轮半径也【即表中半径合日差而成星数也】

先以前均求到星之实行在甲矣然此嵗轮之心而非星也星则自丙合伏顺行过辰冲日而渐近合伏其体在乙则丙辰乙为星在嵗轮上行之度【与星距太阳实行之度相等】即相距度也

乙丙则距余度半之为辛丙则距余半也　乙辰为星巳过冲日之度则甲角度也

今已知嵗轮心实行之度又已知星在嵗轮上行之度所不知者视差角耳盖自本天心夘作实行线过甲心至黄道又从夘作视行线过乙星体至黄道其差为夘角是故求次均者求此夘角也

用上法以距日【即距心】为一邉【甲夘】以星数为一邉【甲乙】以星行过冲日之度【即乙辰】为一角【甲角】成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也

一率　距日与星数之总【即甲夘并甲乙亦即甲丙】二率　星数减距日之较【即辰夘】

三率　距余半之切线【即半夘角之切线辛癸盖乙甲丙角为距余即乙甲夘角之余度半之为辛甲丙角即距余半】

四率　减之正切线【即辛壬其角为辛甲壬】

末于辛甲丙【距余半角】内减去辛甲壬【减角】余成壬甲癸角与夘角等得视差之度如所求

既知三角形用切线之法尤当进而明其所以用切线之理

如后图乙甲夘三角形　甲角一百五十度　甲乙邉六十甲夘邉一百　两邉之总一百六十为首率两邉之较四十为次率　甲角之余角半之求切

线为三率【即率癸】　求得四率为半较角之切线辛壬求其度以减半余角得夘角

何以用切线也曰此分角法也凡外角【乙甲丙为乙甲夘之余角亦为外角】内兼有形内余两角之度【乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度】试作壬甲线与乙夘平行分外角为两则壬甲丙角如

夘角矣【以壬申及乙夘皆平行线而丙甲夘未一直线故其作角必等】

外总角内减去同夘角之壬甲丙角则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣

今但有外角为总角而不知其分角故以比例分之而切线则其比例也

又试作乙丙线为外角之通又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正而通遇壬甲分角线于子成乙子及子丙两线此大小两线之比例与大小两角之正比例等何也乙子丁勾股形与丙子戊勾股形以子为交角则相似而乙子【大】与子丙【小】若乙丁【大股】与丙戊【小股】矣

又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正【乙角】及小角【夘角】正【凡三角形邉之比例与对角正之比例皆等】即乙丁与丙戊也【角同则正同】则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣

又试作辛甲线分外角为两平分而各作切线为辛癸为辛己【即半外角之切线】则两切线聨为一【己癸】而与乙丙平行又引壬子线割之则分为二线而己壬与壬癸之比例若乙子与子丙亦若甲夘与甲乙矣

又作庚甲线使庚己如壬癸则庚壬为两线之较己癸为两线之总

而甲乙甲夘两邉之较为辰夘其总为丙夘

甲夘大邉与甲乙小邉之比例既若大线【己壬】与小线【壬癸】则两邉之总与较亦必若两线之总与较矣

一率　丙夘【即甲乙甲夘两边之总】

二率　辰夘【即两邉之较】

三率　己癸【即己壬壬癸两线之总】

四率　庚壬【即两线之较】　　　　今各半之

辛癸半总【即半外角辛甲癸之切线】

辛壬半较【即半较角辛甲壬之切线】

既得辛壬切线查表得其角度即半较角也以半较角减【辛甲癸】半外角即半角也

若以半较角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙夘角矣

火星测算本法图説【明厯书之倒算】

嵗圏半径【六四七三八】甲乙

查加减表八宫十九度【四十分】　半径数【六四○八七三】太阳引数星纪二十三度加六宫为六宫二十三度日差【一○一六】相并得【六四一八八】为星数与所测防差

若用实引得半径【六四四二五】其数益相近

距心数【九九六九七】寅乙

平引八宫一十九度【四十二分二十秒】

加均数　一十度【三十三分三十秒】

实引九宫初度【一十五分五十秒】

查加减表八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用实引则距心【一○一六七四】差稍大然按图用乙寅线宜用实引

图説本宜用寅防为嵗轮之心以寅乙申角为嵗轮上视差角即寅未也

寅申线则嵗轮之半径也此为本法

今厯书所载地谷图不于寅心作嵗轮圏而以甲为心盖因戌寅亥角与寅乙申视角同度【切线法用此角以代乙角】而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大则甲寅乙角亦即寅乙申视角矣既以甲寅乙角为所测视角则乙防即可为嵗圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以嵗圏上星过冲日之度【冲日即近防亢星过日冲即乙寅申角亦即亢申】移作寅乙甲角自乙嵗圏心依角度作乙甲线与寅甲线遇于甲【先有乙寅甲角自有寅甲线】则甲防即嵗轮上星所到度可代申防而甲乙即嵗轮半径可代寅申矣故以甲乙线为半径者巧法也

然则当以乙为嵗轮之心用代寅防矣何又以甲为心乎曰甲乙既为半径则以乙为心甲为界或以甲为心乙为界其半径等为甲乙也故倒以甲为心其法与诸加减表説作差角于圏界者同也【先倒作均角于寅界法同两术中惯用此倒算之法】

然则以甲为地心何也曰此则其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙为嵗轮半径矣又以甲心乙界之轮为嵗轮矣甲既为嵗轮之心又安得为地心乎然则地心安在曰以理论之仍当以乙防为地心耳何也星之实经在寅其视经在未寅未之成寅乙未角此固实测之度也实测差角从地上得之安得不以乙为地心乎若谓乙为日体则日之去地逺矣日体所见之差角与测所见之差角必有分也而今不然故不得以乙心径为日体也

非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何嵗轮心之非地心易见也乙防之非日体难知也以其所易见例其所难知疑则思思则得矣　地心既非地心则日体亦非日体然则其中机彀固以示之矣又论曰借甲为地心妙在作戊己线与乙寅平行葢甲己既与乙寅平行则己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆与乙心所作之度相应矣此用法之巧也

先以乙寅甲角代寅乙申视角而取甲乙线以代寅申半径是倒算也复以甲为心乙为界作嵗圏以甲心代乙心亦倒算也两番倒算而倒变为顺故甲可代乙为地心即本天心也而甲己线与寅乙平行即地心所指实行之度也己甲寅角即视差角也寅甲线即视行指线与申乙同也故天度皆应可作十二宫分细度也若于乙作嵗圏则但能得半径而十二宫之向皆反矣故借甲为心法之巧也

乂取甲为心影出火星能入太阳天之象其实火星入太阳天者乃其嵗轮上度非嵗轮心也若真以此为嵗轮心则火星体将过地心而与日同度如金水矣又用甲为心作十二宫则细度可不碍书若用本法则有两小轮各线相襍而不能详书细数故移乙心于甲移寅乙申角为己甲寅角也呜呼可谓巧之至矣但未説破故后学遂妄为作解耳

论曰既火星初均在寅即当以寅为嵗轮心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己与乙寅平行也即均角也又乙寅者嵗轮心距日数也乙甲者半径也寅乙甲角者先有之角即星日相距之余数也即己过日冲之度本法以距日数及半径为两邉与先有之角求均数角今先测得均角而无半径故反用其法以求半径法之巧也盖先有两角一邉而求余邉之法也

一率　甲角之正　【有乙寅两角自有甲角】二率　乙寅邉　　　【即距日数实为嵗轮心距本天心】三率　寅角之正　【即均角乃所测视行与实行之差度】四率　甲乙邉　　　【即嵗轮半径包有日差在内】