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历算全书

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平行线

丙己庚为纬差角丙庚其度因月视黄纬在北故从交道丙向上数其度至庚庚即初亏时先缺之防

从太阳心己作直线过庚防而透出其外为己庚戊线乃并日月两半径【得己戊】为度截己庚戊线于戊戊即太隂心也以戊庚月半径从戊心作圆为太隂与太阳边相切于庚初亏象也

从月心戊作戊辛癸线与丙己丁平行月视行道也【此月视行线乃人所见月心所行故以丙己丁交线为月道平行线】从太阳己心作十字垂线至月视行线上如己辛月视黄纬也

乙己丙交角以乙丙为度从丙过己心作月道平行线丙己庚纬差角以丙庚为度因月视黄纬在南故从交道丙向下数其度至庚庚即初亏时先缺之防【此为纬差角大于定交角故易右为左】

从己心向庚作己庚戊线而以己戊并径度截之于戊用为月心规作月体与太阳相切于庚象初亏也从戊心作癸戊辛线与丙己丁平行月视行道也从己心作己辛线与戊辛相遇成方角月视黄纬也以上二宗为日距限西日距限西者初亏定交角并为右下之角然惟食十分时则初亏右下与定交角同防其余则北纬者能易右下为右上前条是也南纬者能易右下为左下此条是也

甲己丁交角以丁甲为度从丁过己心作丁己丙月道平行线

丁己庚纬差角以丁庚为度因月视黄纬在北从交道丁向上数至庚以庚为初亏之防【此亦纬差角大于定交角故易右为左】如前从己心向庚作透出线截之于戊使己戊同并径则戊为月心从戊心作圆形象初亏时太隂以其边切太阳于庚从戊作戊辛癸线为月视行之道与丁己丙平行又从己作己辛线为月视黄纬辛为正角

诸号同前

惟以月视黄纬【即己辛】在南故纬差角【丁己庚角】从交道【丁】向下数其度【至庚】为初亏之防

以上二者为日距限东凡初亏在限东者其定交角为右上之角然惟日食十分与定交角同防而初亏右上其余北纬者能易右上为左上南纬者能易右上为右下此二条可以推矣

一图食甚

先以食甚定交角作垂弧月道于交防安太阳并如初亏法次于太阳周边数定交角余度若日距限西其度左旋日距限东其度右旋并于日体上下方从垂线数起至定交角余度止各作防聮为一直线稍引长之此线与月道为正十字能过月道之极即月道之经圏食甚时太阳太隂并在此线之上乃以月视黄纬求其距若视纬在北向上量之视纬在南向下量之并从太阳心截取视纬于月道经线作防即食甚时两心之距也以此为心月半径为度规作月体即见食甚时月掩太阳在日体上下左右几何度分此时两心之距为最近其食分最深于此线上分太阳光体为十平分即所食之分可见若于太阳之边数其所蚀光界即知太阳周边受蚀几何度分

若于月心作线与月道经线为十字正角即自亏至复月行之道也两端稍引长之用并径为度从太阳心截之左右各得一防即初亏复圆之防也【右为初亏左为复圆】如此即为总图【総图惟食甚为正形初亏复圆亦得大槩仍当于分图攷之】

若食十分者或全黒或作金环并无视纬更无上下左右可论不用此法

又若食甚时定交角满九十度则北纬正对天顶余光有如仰盂南纬正对地平余光有如覆椀其月道左右平衡其南北视纬即于垂弧取距【北纬自太阳心向上南纬自太阳心向下并以月视黄纬取其度为两心之距】不须另作月道经线又于月道经线以月视黄纬量其距若隂厯向上量之阳厯向下量之并自太阳心量至视黄纬止从此作线与月道经线为十字角即与亏复月行之道平行南北差之理亦自可见

乙己丙为定交角其度自乙右旋至丙丙己丁线过太阳心为月道平行线

乙己庚为定交角之余角其度自乙左旋至庚庚为食甚所向之方从庚过太阳心作午己庚线为太阳全径分为十分　依月视黄纬自太阳心己截至戊以戊为心月半径壬戊为度作圆以象食甚时掩日之月　计所掩径自庚至壬得蚀六分余光自壬至午得四分计所掩边自酉过庚至卯得缺光之边一百三十分余光自酉过午至夘得未掩之边二百三十分约为蚀三之一而强【此以太阳边周为三百六十分也分亦可名度】

从月心戊作戊癸线与太阳径为十字角与交线平行是为月视行之道以并径为度自太阳心己截戊癸月道于辛于子各为心作太隂象即见初亏于酉复圆于卯可当总图

此与前图皆食在限西故乙己丙定交角同势惟月视黄纬在北故用甲庚余角从甲左旋数至庚为食甚所向之方亦作午己庚十分全径而透出之用月视黄纬截之于戊戊为心戊壬半径作月体交加于太阳光体之上计所掩自庚至壬得蚀四分有竒其自未过庚至丑为所蚀之边　又如法从戊心作月视行之道以幷径截之于辛于子各作月体即见卯酉为亏复之防几食在限西者南纬必食甚左下北纬必食甚右上惟交角大者余角小交角小者余角大而大致不改即二图可槩其余

其初亏交角必大于食甚复员交角必小于食甚全图聊举大意仍以分图为定

乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁过太阳心为月道平行线

乙己庚余角度自乙右旋至庚庚己午太阳全径引长之以月视黄纬度截之于戊戊为食甚时月心所到其边掩太阳至壬午壬为食甚所向之方分太阳全径为十分午壬为所掩之分得二分有竒未午丑为所缺之边约得九之二

此与前图皆食在限东乙己丙交角同势惟月视黄纬在南故用甲己午余角【即乙己庚】右旋从乙至庚庚防为食甚所向庚己午太阳全径十分以月视黄纬截己戊戊为月心作太隂体掩太阳至壬得八分有竒未庚丑为所缺之边约得九之四凡食甚在限东者北纬必左上南纬必右下虽角有大小其大致不变以上二图可槩其余　以上食甚四图或居太阳体之左上左下右上右下并以定交角论其余角不论地平经度之东西南北并同一理即令食甚正午而距限有东西即交道有低昂必无正北正南如旧法所云者也

此月视纬在北

日食七分竒

甲为食甚在日体上方余光如仰盂

此月视纬在南

日食五分

戊为食甚

在日体下方

余光如覆椀

惟此二图是交角成象限若又居正南方则北纬食甚可称正北南纬食甚可称正南

一图复圆

以复圆定交角作垂弧月道安太阳并如上法

若食十分者于太阳左方截取月道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即复圆时后盈之防【图亦见前】

若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度北纬向上数之南向下数之并从太阳左方交道起数至纬差角度止即为复圆时后盈之防自太阳心向此防作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作防即复圆时两心之距以截防为心规作太隂与太阳相切即复圆时太隂行过太阳初离之象也

甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁过己心作丙己丁线引长之即月道平行线

丁己庚为纬差角其度丁庚因月视黄纬在南从交道丁向下数其度至庚庚即复圆时后盈之防　从太阳心己出直线过庚而透出其外为己庚戊线以幷径为度截之于戊以戊为心月半径为界作太隂圆体切太阳边于庚即太隂行过太阳初离之象也　从月心戊作戊辛直线月视行之道也而己辛者月视黄纬也

甲己丁交角【即乙己丙】其度甲丁从丁作月道平行线过己心至丙而引长之

丁己庚纬差角大于交角而月视黄纬在北法当从交道丁向上数丁庚之度跨甲而至庚庚即复圆时复光最后之防　又法从己心作丙己丁之十字垂线乃以月视黄纬为度截之于辛则己辛即食甚两心之距也从辛又作十字长垂线与丙己丁交道平行如戊辛癸即月视行之道也次以幷径为度截月视行道于戊以戊为心月半径为度作复圆时太隂象即其边切太阳于庚

以上二图皆复圆距限西也凡复圆限西者其定交角为左上之角然惟食十分其防不改其余则有易为正左稍下如前图者有易为右上如此图者余可数推

乙己丙交角以乙丙为度从丙作月道平行线过己心至丁而引长之

因月视黄纬在北从交道丙向上数纬差角丙己庚之度至庚即庚为复圆之防　又法以丁午丙半周度折半于午从午作线至太阳心己为丙己丁之十字垂线于此垂线上截取辛己如月视黄纬即于辛防作十字交线与交道线【即月道平行线】平行为月视行之道于此月视行道取戊己斜距如并径则戊防即复圆时太隂之心从心作太隂体即切太阳于庚而正居太阳左方

此交角与差角同度也庚己丙交角其度自庚数至丙防为月道平行线所过【丙己丁过心线为交道即月道平行线】

丙己庚差角自丙数至庚【因南纬向下数】庚防为复圆时太隂初离太阳边犹相切之处也差角丙庚之度与交角庚丙等故相减至尽而正居太阳之底也　如用又法从己心作己午垂线以月视纬截辛防从辛作十字线如辛癸与交线平行为月视行道即可以戊己并径截戊防为太隂心其边即切太阳于庚亦同

凡复圆限东者定交角必居左下然惟食十分者则然其余则有变为日体正左或日体正下者如以上二条者可类推也

甲为九十度限　乙为黄道过午规交角　乙丙为黄道在午规距天顶之度今用乙甲丙正弧三角形有甲正角　乙交角　乙丙弧而求甲丙弧为九十度距天顶之度　法为半径与丙乙弧正若乙角之正与丙甲正也

【一　半径二　丙乙正】

【三　乙角正四　丙甲正】

増沿厯书乃以丙乙余与乙角余相乗为实半径除之得丙甲正失其防矣

简庵曰甲角非正角也何以言之自天顶出线过赤道则为正角其过黄道不能成正角甲角既为天顶线过黄道所作之角则必非正角勿庵曰不然甲防者九十度限也若甲非正角则不得为九十度限矣

简庵曰赤道能为正角者以天顶线能过北极也若黄极则不能过天顶天顶线既不串黄极则甲必不能为正角明矣勿庵曰子午线所以能穿天顶与北极者以赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈处为其折半最中之处故天顶线交赤道成十字角也天顶线与赤道作正角惟此一处盖惟此处能使地平经线【即天顶出线至地平分方位之线】与赤道经线【即北极出线至赤道分时刻之线】合而为一【从地平经线言之为子午规从赤道言为过极圈】他处则不能也黄道亦然其在地平上亦一百八十度每度并从黄极出经线至黄道上成正角但不能过天顶而必有一度为黄道半周折半之处则此一经线必过天顶而穿黄极天顶线既穿黄极则其交黄道处必成十字正角矣天顶线与黄道作正角亦惟此一处【亦如赤道之有子午规】盖亦惟此处能使地平经线与黄道经圈合而为一而他度不能西法用九十度限其理如此故甲角必正角简庵闻此欣然首肯焉

本法用乙甲丙形求丙甲为九十度距天顶　今依简庵説用丁戊丙形求得戊丙为天顶距黄极之度以减象限即得丙甲距天顶之度

法曰以正午黄经之赤道同升度取丁角【从冬至数之即得】以各地北极出地余度取丁丙边　以两极相距二十三度半为丁戊边

是为一角两边可求戊丙边

若用垂弧法虽多转折其理无讹　若用加减代乘除法乃捷矣

又按此以正弧形为本形改用斜弧为次形亦弧三角中一法往所未及也可见学问相长之无穷

既得甲丙边又原有乙丙边甲正角可求甲乙边为九十度距午规

丁北极　戊黄极　丑寅圈径五度为白道极所行之迹　丑为今所求月道心【即白道极所到】得丑寅边为丑戊寅角之度亦即为丁戊丑角度　先用丁戊丑弧三角形有丁戊边【为两极距二十三度半】有丑戊边【为月道大距五度】有戊角【即上所论】　可求丑丁边为白道极距北极之弧　可求丑丁戊角

次用丁丑丙弧三角形　有丑丁弧【为先所求】有丙丁丑角【以先有之戊丁丙角与今得之丑丁戊角相加减得丙丁丑角】有丁丙边【即本地北极出地余度】可求丑丙边为白道极距天顶之弧亦即为白道九

十度距地平之髙度　求白道极所在【即丑防】法曰凡白道极随交防而移交防逆行故白道极亦逆行也先求正交【或中交】在黄道度分离此一象限即为半交最逺之所此防与白道极相应若系半交是阳厯则白极在黄极南半交是隂厯则白极在黄极北极距黄极五度竒即丑戊也丑戊弧五度循黄极而左旋有时而合于两极距线为寅戊或戊辛则无丑戊丁角自此以外皆有戊角此算之根也

设白道极【丑】在寅即丑戊寅角法当以戊寅五度【白极距黄极】与丁戊二十三度半相减余十八度半为寅丁寅丁丙弧三角形有寅丁边【为白极距北极】有丁丙边【北极距天顶】有丁角可求寅丙边为白极距天顶

又设【丑】防在辛即以戊辛加戊丁为一边【辛丁】如上法可求辛丙弧为白极距天顶

以上二者因白极距黄极之线与黄极距北极同一大圈之经度故丁戊线有加减而丁角无加减故只用一弧三角形即可得之此惟月边半交在二至度然后能如是

设正交在秋分之度中交在春分之度则阳厯半交在冬至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道极在两极距线外亦五度竒如辛如酉

法当以白黄大距五度竒【辛戊或酉戊】加两极距二十三度半【戊丁】共得二十八度半竒【辛丁或酉丁】为一边　丁丙为一边【北极距天顶】丁为一角【或辛丁丙或酉丁丙】　可求辛丙边【或酉丙边】即白道极距天顶度以减九十度余为白道距天顶度【捷法即以所得白道极距天顶命为白道九十度距地平】

此图丁辛线己用弧线不能作两白道极圈

如图丙为天顶丁为北极丁戊二十三度半即以丁为心戊为界运规作圆即黄极绕北极之圈再以丁戊引长之至于辛又以戊为心辛为界作圆为白极绕黄极之迹戊辛为黄白距五度竒【此图则戊酉可省】

今聮丁辛丙成三角形如上论余观图自明

更当明者白道限度之不能与黄平象限同在一度即若黄平象限之不能与赤道髙度同在一度同也黄平象限与赤道髙度能在一经度者惟极至圈在子午规之度为然白道限度之能与黄平象限同在一经度者惟两交在二分之度又极至圈同在午规时也

又设正交在春分之度中交在秋分之度则阳厯半交在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而白道极在两极距线内亦五度竒如寅如未

法当以白黄大距五度竒【寅戊或未戊】去减两极距二十三度半【戊丁】得余十八度半弱【寅丁或未丁】为一边　丁丙为一边　丁为一角【或寅丁丙或未丁丙】可求寅丙边【或未丙边】为白极距天顶即命为白道九十度距地平之髙图如后

以上二者并只用一弧三角形何则以交防在二分也交防在二分则半交与白极并在极至交圈故丁戊弧自有加减而丁角无加减若交防离二分则否何则交防逆行即罗计度也交防周于天而半交大距亦一周天而白极亦周于黄极左右之小圈故丁角有加减而必用两三角形也

求戊角【用两三角形必先取戊角】　法曰正交在秋分则白极在辛【即在酉】从辛左旋过丑至寅而复于辛以生戊角戊角之度或鋭或钝皆以交防距分之度命之

白极小圏以罗计一周而复于元度【假如正交自秋分向夏至逆行过秋分二十度则白极离辛防亦二十度以减半周余百六十度为戊钝角】

求丁角【戊丁丙角】　法曰视极至交圏距午圏若干度分即得戊丁丙角【以加时午正黄道度取之】

白道九十度限用法

依前所论以求加时白道九十度限在地平上之髙的确不易【用斜弧三角形】　但如此则交食表所算九十度限俱可不用当另算白道九十度表

法曰丑戊丁三角形以丁戊边【两极距二十三度半】丑戊边【白极距黄极五度】戊角【白极距冬至经圏之度亦即正交离秋分之余度】为二边一角可求丁丑边【此边之度天下所同】丁角【此角亦天下所同】其法并以戊角之大小立算【只算半周可以立表矣】

正交在【秋分前以过夏至而至春分春分前以过冬至而至秋分】之度角在极至圏【西东】戊丁丙三角形　求丁角

法曰以应时法求加时午正黄道【可借用黄道九十度表】取其赤道同升度即得丁角

视同升度在冬至后半周其距冬至度即为丁角【其角在子午线西】若同升度在夏至后半周即以距夏至度去减半周余为丁角【其角在子午线东】此丁角亦天下所同

丑丁丙三角形　先求丁角

法曰以先有之两丁角相减或相并即得丁角

两丁角俱在西或俱在东【则相并】两丁角一在西一在东【则相减】此丁角亦天下所同

次求丁丙边

法曰丁丙者各地之北极距天顶也以北极髙度减象限得之

次求白道九十度限之髙

法曰既有丁角【即上所求】丁丑边【即先所求】丁丙边【即极距天顶】为一角两边可求丑丙边【为白极距天顶度】以减象限得白道九十度限距天顶亦即得其距地平之髙

既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上距九十度限之度分【法以月距交前交后度减象余即得】可求其交角【白道交天顶经度之角也】

此交角可借黄道交角表用之　但须补作黄道北五度表既得交角则髙下差可知而东西南北差悉定矣

康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒时刻并起复方位

京师月食十分三秒

初亏子正二刻三分　东北

食既丑初三刻八分

食甚丑正一刻二分

生光丑正二刻一分

复圆寅正初刻一分　正北稍偏西

右计食限内凡十三刻十三分

按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以此减食甚时刻得初亏【自初亏子正二刻三分至食甚丑正一刻二分正得六刻十四分】加食甚亦得复圆【自食甚丑正一刻二分至复圆寅正初刻一分亦得六刻十四分】是亏至甚甚至复时刻适均也时刻所以适均者月行天之度均也然则作图之法自当以食甚月体置于亏复两限适中之处而不宜偏侧矣今监颁蚀图乃偏置于东若是则亏至甚月行之度分多甚至复月行之度少度既不均则时刻亦宜増减若时刻既无増减则图之偏者必非正法矣

又按食既至食甚食甚至生光时刻亦宜适均与亏至甚甚至复之理无二【厯书本法亏复折半之数谓之食甚距分以减食甚得初亏若以加食甚得复圆其食既至生光折半数谓之食既距分以减食甚得食既以加食甚亦得生光并无长短伸缩】今图中所注食既至食甚时刻多【食既是丑初三刻八分至食甚丑正一刻二分计一刻○九分】食甚至生光时刻少【食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分只十四分】相差十分何也岂以食甚图偏而自疑其法耶不然何以若是

又按交食表食甚距分是一时四十四分【即监推六刻十四分】食既距分是四十二分【实计二刻十二分】月食只十分○三秒食既生光不得有五刻九分之乆【倍食既距分得八十四分实五刻○九分】盖觉其非是而弃表不用也然表之数宜改而其法不宜改【表自既至生光五刻九分监推只二刻○八分是改数也厯书以距分加减食甚得既与生光而监推相差三分刻之二是改法也】今改其数幷改其法不知何所见而云然也

或疑月行有迟疾自生光至食甚行迟故厯时刻多食甚至生光行疾故厯时刻少此亦説之可通者也然月之迟疾必以渐成决无于二刻八分中顿有十分之差【月平行二刻八分只行天三分度之一而弱】且食既生光既有迟疾之差初亏复圆何以独无可谓进退失据矣

又按食甚云者以月于此时侵入闇虚独湥也则其距前后之时刻必为折中均平之处也故月食未既者必于食甚时定其食分以此时所蚀之分最大也【假如月食九分则惟食甚时能满九分前后皆少食八分以下尽然】是以谓之食甚若图有偏侧不得谓之食甚矣

食未既时有食分以攷之【食分最多时始为食甚】食既矣则食甚无可指惟頼食既生光时刻折半取中而今乃相差若此又何所据而为食甚耶

又详检之初亏至食既【计五刻五分】食既至食甚【计一刻九分】食甚至生光【计十四分不满一刻】生光至复圆【计六刻】无一相同而迟疾皆不伦初限较末限既先疾而后迟【初亏至食既五刻五分是初限行疾也生光至复圆整六刻是末限行迟也】二限较三限又先迟而后疾【食既至食甚一刻九分是次限行迟也食甚至生光只十四分而不满刻是三限又行疾也】是初亏行疾限至食既而忽迟食既行迟限至食甚而顿疾食甚行疾限至生光以后而又迟不识月转迟疾有如此行度否乎

厯算全书卷二十五

钦定四库全书

厯算全书卷二十六

宣城梅文鼎撰

交食求卷一

厯书有交食求七政引二目刻本逸去兹以诸家所用细草补之并稍为订定以便初学

日食

一求诸平行

首朔根　　　检二百恒年表本年下首朔等五种年

根并纪日録之

朔防　　　　用十三月表以所求某月五种朔策之

数録于各年根下