历算全书

今改用三率其理较明法亦简易】

十四求

日食月行分者何也乃自亏至甚之月行度分也【自甚至复同用】其法以并径减一分常为视纬常爲句句求股卽得自食甚距亏与复之月行度分矣

【按此卽授时厯开方求定用分之法所异者并径时时增减与旧法日月视径常定不变者殊耳】

前总时何也卽食甚前一小时之午正度也得此午正度卽可得诸数以求前一小时之时差谓之前时差前时差与眞时差之差分卽视行与实行之差分故以差分加减实行得视行也假如日在限西而前时差大于眞时差是初亏所加多而食甚所加反少也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小则行分大故以差分加实行爲视行若日在限西而前时差小于眞时差是初亏所加少而食甚所加渐多也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大则行分必小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差大于眞时差是初亏所减多而食甚所减渐少也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差小于眞时差是初亏所减少而食甚所减反多也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行爲视行食甚定交角满象限不用差分何也无差分也何以无差分曰差分者时差之较也食甚在限度卽无食甚时差无可相较故初亏径用前时差复圆径用后时差又食甚在限度则初亏距限东而前时差恒减复圆距限西而后时差恒加减时差则初亏差而早加时差则复圆差而迟其距食甚之时刻并变而大也时刻大者行分小故皆减实行为视行【又若初亏复圆时定交角满象限亦无差分而径用食甚之时差减实行爲视行与此同法其初亏复圆距食甚之刻分亦皆变大而行分变小也视行之理此爲较着】初亏距时分者初亏距食甚之时刻也用上法得视行爲食甚前一小时之数而初亏原在食甚前则其比例爲视行之于一小时犹日食月行之于初亏距时故可以三率取之也【日食月行减一义见前条】

既得此初亏距分则以减食甚而得初亏时刻也

十五求

后縂时者即食甚后一小时之午正度分也用此午正度得诸数以求后一小时之时差为后时差又以后时差与真时差相较得差分以加减实行为视行并同初亏但加减之法并与初亏相反

假如日在限西而后时差大于真时差是食甚所加少而复圆所加多则甚至复之时刻亦变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行

若日在限西而后时差小于真时差是食甚所加多而复圆所加反少则甚至复之时刻亦变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行

假如日在限东而后时差大于真时差是食甚所减少而复圆所减反多则甚至复之时刻变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行

若日在限东而后时差小于真时差是食甚所减多而复圆所减少则甚至复之时刻变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行【食甚在限度求视行之理已详十四求】复圆距时分三率之理并与初亏同惟复圆原在食甚后故加食甚时刻为复圆时刻

十六求

黄道宫度内减宿钤何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小于日实度宫度故以相减之较为食甚时所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星东行之度即古嵗差法也因嵗差所加故有宿钤在日实度以下而变为日实度以上则食甚时所入非其宿矣故退一宿用之也其以嵗差【五十一秒】乘距算【本年距歴元戊辰】之数各宿并同虽退一宿所加不异也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度则不可以升度取何也各宿距星多不能正当黄道而在其南北各有纬度故必以弧三角求之为正法也

此后原有十七求以算东西异号今省不用何也曰东西异号之算厯书语焉不详故细草补作之亦有思致但所求者仍为黄平象限之东西故必复求定交角今于十四求十五求即得定交角为白道限度之东西简易直防可不必更多葛藤矣故省之也

附说补遗

求縂时条加减十二时

问求縂时与求日距地髙二条并以视朔与十二时相加减然后用之而用法不同何也曰求縂时条是欲得午正黄道距春分之升度故并从午正后顺推【如视朔过十二时则内减十二时而用其余数是从午正后数其距视朔之时刻也若视朔不及十二时则以十二时加之是从先日午正后数其距今视朔之时刻也故其法皆为顺数】日距地髙条是欲得视朔距午正之度故各从午正前后顺推逆数【如视朔为十二时去之而用其余数是从视朔时逆推其己过午正之刻也若视朔不满十二时则置十二时以视朔时减之而用其余数是从视朔顺数其未及午正之刻也　其视朔满十二时减去之两法并同惟视朔不满十二时用法则异】

附又法

问视朔在午前若用减十二时法亦可以得縂时乎曰可其法亦如求日距地髙置十二时以视朔时减之求到视朔未至午之刻去减日实度距春分时刻【即九十度表第二行对日实度之时刻】亦即得縂时与上法同此法可免加满二十四时去之然遇日实度距春分时刻不及减又当加二十四时然后可减矣假如日实度是春分后相距只一时而视朔在午正前三时是爲日实度小不及减法当以日实度加二十四时作二十五时减去三时余二十二时爲总时

定交角或问

问定交角满象限以上反其加减何也曰此变例也西厯西加东减并以黄道九十度限爲宗今用定交角则是以白道九十度限爲宗而加减因之变矣

问白道亦有九十度限乎歴书何以未言曰歴书虽未言然以大圏相交割之理征之则宜有之矣何则月行白道亦分十二宫【视月纬表可见】则亦爲大圏其交于地平也亦半周在地平上则其折半之处必爲白道最高之处而亦可名之爲九十度限矣【或可名白道限度】

若从天顶作高弧过此度以至地平则成十字正角而其圏必上过白道之极成白道经圏与黄平象限同【黄平象限上十字经圏串天顶与黄道极故亦成黄道经圏与此同理】月在此度卽无东西差而南北差最大与高下差等【前论月在黄平象限无东西差而卽以高下差爲南北差其理正是如此但月行白道当以白道爲主而论其东西南北始爲亲切】若月在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差但其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平限异故有反其加减之用也

问如是则白道亦有极矣极在何所曰白道有经有纬【凡东西差皆白道经度南北差皆白道纬度】则亦有南北二极为其经纬之所宗但其极与黄极恒相距五度以为定纬【虽亦有小小増减而大致不变】其经度则嵗嵗迁动至满二百四十九交而徧于黄道之十二宫则又复其始【约其数十九年有竒】法当以黄极为心左右各以五纬度为半径作一小圆以为载白道极之圏再以正交中交所在宫度折半取中即于此度作十字经圏必串白道极与黄道极矣则此圏之割小圆防即白道极也问何以知此圏能过黄白两极也曰此圏于黄道白道并作十字正角故也【凡大圏上作十字圏必过其极】问此圏能串两极则限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白两极而未必其串天顶如黄道上极至交圏也若限度则必串天顶以过白极而未必其过黄极如黄道上之黄平限也是故白道上度处处可为限度亦如黄道上度处处可为黄平限但今在地平上之白道半周某度最髙即其两邉距地平各一象限从此度作十字经圏必过天顶而串白道之两极何也此圏过地平处亦皆十字角即与地平经圏合而为一所谓月髙下差即在此圏之上矣【惟白道半交为限度能与黄平限同度此外则否况近交乎故必用定交角也】

以定交角推白道限度

白道限度大约在黄道交角之八十五度【定交角三此满象限过此则有异号】

若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之东乃白道限度则更在其东而原以限东宜减者今或以定交角大而变为限西宜加矣

若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而变为限东宜减矣

以上二宗并离午正益逺交食遇此则古法益踈而新法犹近

若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其东而原以限东宜减者今以定交角大而变为限西宜加矣

若定交周是五宫六宫而黄平限在午正东乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而变为限东宜减矣

以上二宗并离黄平限而近午正交食遇此则有时古法反亲而新法反踈若白道限度径在午正则古法宻合矣

由是之加减东西差宜论白道明甚厯书略不言及岂非缺陷之一大端

问定交角者所以变黄道交角为白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生于限度者也交角变则限度移矣故先得限度可以知交角【交角之向指以距限东西而异交角之大小以距限逺近而殊】而既得交角亦可以知限度故不必复求限度也

其加减以五度何也曰取整数也古厯测黄白大距为六度【以西度通之得五度五十四分竒】西厯所测只五度竒而至于朔望又只四度五十八分半今论交角故祗用整数也【若用弧三角法求白道限度所在及其距地之髙并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也】

问五度加减后何以有异号不异号之殊曰近交时白道与黄道低昻异势者也【惟月在半交能与黄道平行亦如二至黄道之与赤道平行也若交前交后斜穿黄道而过不能与黄道平行亦如二分黄道之斜过赤道也故低昻异势】然又有顺逆之分而加减殊焉其白道斜行之势与黄道相顺者则恒减减惟一法【减者角损而小也虽改其度不变其向】若白道与黄道相逆者则恒加加者多变遂有异号之用矣【加者角増而大也増之极或满象限或象限以上遂至改向】

是故限西黄道皆西下而东髙限东黄道皆西髙而东下此黄道低昻之势因黄平象限而异者也而白道正交【○宫十一宫也即古法之中交】自黄道南而出于其北亦为西下而东髙【黄道半周在地平上者偏于天顶之南以南为下北为上正交白道自南而北如先在黄道之下而出于其上故比之黄道为西下而东髙也】白道中交【五宫六宫也即古法之正交】自黄道北而出于其南亦为西髙而东下【白道自北而南如先在黄道之上而出于其下故比之黄道为西髙而东下也】

假如日食正交而在限西日食中交而在限东是为相顺相顺者率于交角减五度为定交角是角变而小矣角愈小者东西差愈大故低昻之势増甚而其向不易也【限西黄道本西下东髙而正交白道又比黄道为西下东髙则向西之角度变小而差西度増大其时刻迟者益迟矣限东黄道本西髙东下而中交白道又比黄道为西髙东下则向东之角度变小而差东之度増大其时刻早者益早矣是东西之向不易而且増其势也】

假如日食正交而在限东日食中交而在限西是为相逆相逆者率于交角加五度为定交角是角变而大矣角愈大者东西差愈小故低昻之势渐平而甚或至于异向也【限东黄道本西髙东下而正交白道比黄道为西下东髙则向东之角渐大而差东度改小时刻差早者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向东者改而向西时刻宜早者反差迟矣限西黄道本西下东髙而中交白道为西髙东下则向西之角渐大而差西度改小时刻差迟者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向西者改而向东而时刻宜迟者反差而早矣】

凡东西差为见食甚早晚之根如上所论定交角所生之差与黄道交角无一同者则欲定真时刻非定交角不可也若但论黄道交角时刻不真矣

凡东西差与南北差互相为消长而南北差即食分多少之根如上所论则欲定食分非定交角不能也但论黄道交角食分亦悮矣

差分有用并之理

问差分本以两时差相较而得【十四求已有备论】今乃有用并之法何也曰异号故也此其白道限度必在两食限之间【或限度在甚与复两限之间则食甚在限东而复圆限而或限度在亏与甚之间则食甚在限西而初亏限东】两食限一距限东一距限西其两时差必一为减号一为加号是为东西异号无可相较故惟有相并之用也

乃若定交角大于象限则先为同号而变为异号其食甚必在黄平限及白道限度之间【食甚在黄平限西白道限度东则先推食甚复圆同号者变为异号矣食甚在黄平限东白道限度西则先推食甚初亏同号者变为异号矣】两食限既变为东西异号则其两时差亦一加一减变为相并矣

问异号恒相并固也乃复有定交角过九十度而仍用相较为差分者何也曰此异号变为同号也其黄平限必在两食限之间而白道限度或反在食限之外则能变异号为同号【假令黄平限在复与甚之间甚距限东复距限西本异号也而复圆之定交角过象限则白道限度必又在复圆之西而先推黄平限复圆在西者今推白道限度复圆在限东即复圆食甚变为同号矣又加黄平限在亏与甚之间亏距限东甚距限西本异号也而初亏之定交角过象限则白道限度必又在初亏之东而先推黄平限初亏在东者今推白道限度初亏在限西即初亏食甚变为同号矣】又如前论食甚在黄平限及白道限度之间能变同号为异号即亦能变异号为同号【凖前论食甚在黄平限西白道限度东能变食甚与复圆异号则先推食甚与初亏异号者今反同号矣若食甚在黄平限东白道限度西能变食甚与初亏异号则先推食甚与复圆异号者今反同号矣】凡此之类变态非一皆于定交角取之故可以不用十七求也

相并为差分者并减实行为视行之理

问用差分取视行有减实行加实行之异而相并为差分者一例用减何也曰凡相较为差分者有前小后大前大后小之殊故其于实行有减有加【觧见前条】减者常法加者变例也【凡减实行为视行者在限东者益差而东在限西者益差而西食限中如此者多故为常法若加实行为视行者限东者反损其差东之度在西者反损其差西之度乃偶一有之故为变例】若相减为差分者不论前后之大小縂成一差故于实行有减无加只用常法也【十四求附说论食甚初亏复圆三限定交角满象限并用时差减实行与此同理盖彼以无可相较故径用一时差此则虽有两时差不以相较而且以相益故其时刻并变大而行分变小故皆减实行为视行也】

己为天顶　庚为黄道极　丑寅癸为地平　子为黄平象限度　子辛丙癸为地平上黄道之一象限　甲乙丁壬为黄道北纬　己乙丙寅为地平经圏　乙为天上太隂实纬【在黄道北】　丙为人所见太隂视度【正当黄道】乙丙为髙下差【是地平上髙弧差】　乙丁为东西差【是黄道经度差】丙丁为南北差【是黄道纬度差】　盖髙卑差以天顶为宗下至地平为直角南北差以黄极为宗下至黄道为直角东西差以中限为宗下至黄极为直角而其根皆生于地靣与地心不同视之故也

设太隂实髙在乙视髙在庚髙弧上乙庚之距为髙下差

从黄极出经线至太隂实度【乙】又从黄极出经线至视度庚必过【丁】黄道上乙丁之距为东西差

实度乙正当黄道视度庚在黄道南其距丁庚纬度与乙丙防是为南北差

设太隂实髙在庚视髙在乙髙弧上庚乙之距为髙下差

从黄极出经线二一过实髙庚指黄道度丁一过丙至视度乙黄道丁乙之距为东西差【与丙庚防】

实度庚在黄道北其纬度庚丁与丙乙防视度乙正当黄道无纬度丙乙为南北差【与丁庚防】

设太隂实髙在辛视髙在庚髙弧上辛庚之距为髙下差

从黄极出经线二一过太隂实髙度辛至黄道乙乙为实度一过北纬甲及黄道丁至太隂视髙度庚丁为视度黄道上乙丁之距为东西差【与甲辛丙庚防】

月实纬辛在黄道北其距辛乙与甲丁防视纬庚在黄道南其距丁庚与乙丙防甲庚为南北差【与辛丙防】厯算全书卷二十七

钦定四库全书

厯算全书卷二十八

宣城梅文鼎撰

交食防求卷三【订补】

月食

一求诸平行

首朔根　　　查二百恒年表本年下首朔等五种年

根并纪日录之

朔策望策　　用十三月表以所求某月五种朔策并

望策之数録于各年根之下

平望　　　　以首朔日时与朔策望策并纪日并之

【满二十四时进一日满六十日去之】

太阳平引　　以太阳引根与朔策望策并之【满十二宫去之

后并同】

太隂平引　　以太隂引根与朔策望策并之

交周平行　　以交周度根与朔策望策并之

随视其宫度以辨食限

○宫○六宫十五度以内

五宫十一宫十五度以外

以上宫度俱有食

太阳经平行　以太阳经度根与朔望二策并之二求日月相距

日定均　　　以太阳平引宫度查一卷加减表如平

引满三十分进一度查之【记加减号】

月定均　　　以太隂平引宫度查一卷加减表如平

引满二十分进一卷查之【记加减号】

距弧　　　　以日月定均同号相减异号相并即得

距时　　　　以距弧度分于四行时表月距日横行内查得相当或近小数以减距弧得时【视相当近小数本行上顶格所书时数录之即是】其余数再如法查取得时之分秒【依上法用相当近小数取之】并所查数即为距时

随定其加减号

两均同加者日大则加　日小则减

两均同减者日大则减　日小则加

两均一加一减者　　　加减从日

三求实引

日引弧　　　以距时时及分查四行时表太阳平行

两数并之【依距时加减号】

日实引　　　置太阳平引以日引弧加减之即得月引弧　　　查四行时表取距时时分下太隂平行

两数并之【依距时加减号】

月实引　　　置太隂平引以月引弧加减之即得四复求日月相距

日实均　　　以日实引宫度查一卷加减表如实引

满三十分进一度查之【记加减号】

月实均　　　以月实引宫度查一卷加减表如实引

满三十分进一度查之【记加减号】

实距弧　　　以日月实均同减异加即得

实距时　　　以实距弧度分查四行时表与前距时

同【加减号亦同前】

五求实望

实望　　　　置平望以实距时加减之即得如加满二十四时则进一日不及减借二十四时减之【则实望退一日】

六求实交周

交周距弧　　查四行时表实距时时分下交周平行

两数并之即得【依实距时加减号】

交周次平行　置交周平行以交周距弧加减之即得【凡加者满三十度进一宫满十二宫去之为○宫减者遇所减度数反小则加三十度退一宫减之○宫度不及减则加十二宫然后减之】

实交周　　　置月实均【记加减号】以加减交周次平行即

得

七求月距黄纬

月距黄纬　　以实交周查太隂距度表依中比例法

求之

假如实交周十一宫十九度十四分先以十九度查得五十六分五十三秒又以十九度与二十度之数相减得较五分○七秒化作三百○七秒与实交周小余十四分相乘用六十分为法除之得七十一秒収作一分十一秒以减十九度之数得五十五分四十二秒即月距纬【其纬在南】中比例加减法　视表上数前【少多】后【多少】者【加减】

又法　视表上宫名在上者以所得

中比例数加○宫六宫是也　表上

宫名在下者以所得中比例数减五

宫十一宫是也

辨交食月纬南北法

视实交周是【○六】宫【五　十一】宫其纬在【北南】

八求径距较数

月半径　　　以月实引查二卷视半径表即得影半径　　　月半径下层即景半径

景差　　　　以日实引加减六宫查视半径表即得

实景　　　　景半径内减去景差即实景

并径　　　　以实景加月半径即得

并径减距　　置并径以月距纬减之即得如距纬大

于并径不及减则不得食矣

九求食分

食分　　　　以月半径倍之为一率并径减距为二率月食十分为三率二三相乘一率除之即得食分

十求躔离实度

日距弧　　　以实距时时分查四行时表太阳平行

两数并之即得【依实距时加减号】

日次平行　　置太阳经平行以日距弧加减之即得日实度　　　置日实均【记加减号】以加减日次平行即得月实度　　　以日实度加减六宫即月实度【记写宫名】十一求视望

加减时　　　以日实度查一卷加减时表即得【记加减号】

视望　　　　置实望以加减时加减之即得

十二求所食时刻

月实行　　　以月实引查二卷太隂实行表得之【实行表三度一查假如某宫一度二度俱在○度下查若四度五度俱在三度下查余仿此】

初亏距弧　　以距纬加并径与并径减距相乘平方

开之即得

初亏距【时分】　　置距弧用三率法化时即得

食既距弧　　实景内减去月半径余数与距纬相加为和相减为较和较相乘平方开之即得

食既距【时分】　　置距弧用三率法化时即得

三率法

月实行化秒为一率六十分为二率【初亏食既】距弧化秒为三率求得【初亏食既】距【时分】为四率

初亏时刻　　置视望以初亏距【时分】减之即初亏时刻复圆时刻　　置视望以初亏距【时分】加之即复圆时刻食限縂时　　复圆时刻内减去初亏时刻即縂时食既时刻　　置视望以食既距【时分】减之即食既时刻生光时刻　　置视望以食既距【时分】加之即生光时刻既限縂时　　生光时刻内减去食既时刻即得十三求宿度

黄道宿　　　以黄道距宿钤减月实度即得【记写宿名】其宿钤每年加嵗差行五十一秒如实度小于宿钤不及减改前宿

赤道宫度　　以月实度用弧三角求之即得【记写宫名

求赤道经纬弧三角法见日食防求下同】

赤道宿度　　以所入宿黄道经纬【加过嵗差之宫度为经其纬用恒星表取之】用弧三角法求到本宿赤道经度以减月赤道度得食甚时赤道宿度【如不及减取前一宿如法用之】