历算全书

【加过嵗差之宫度为经其纬用恒星表取之】用弧三角法求到本宿赤道经度以减月赤道度得食甚时赤道宿度【如不及减取前一宿如法用之】

十四求各限地平经纬

各限交周　　置实交周以初亏食既距弧加减之得

各限交周【以查月距度表得各限月纬】

黄白差角　　定为四度五十九分【此朔望交角也各限有微差可以不论】

是○宫【十一】宫上方差角在黄经度西是五宫六宫上方差角在黄经度东用月实度入极圏交角表取其余度即得是【○一二三四五】宫上方差角在赤经度西是【六七八　九十十一】宫上方差角在赤经度东

月赤道差　　以所推黄白黄赤两差角东西同号者相并异号者相减即得【记东西号】其异号以小减大并以度之大者为主命其东西

以上所推食甚时差角各限同用【各限亦有微差可以勿论】

距午度分　　置各限时刻如在子后者即为距午时【此从午正顺数】如食在子前者置二十四时以各限时刻减之余为距午时【此从午正逆推】再以时变为度即得各限太隂距午度分时变度法　每一时变十五度每时下一分变度下十五分时下四分成一度时下一秒变度下十五秒时下四秒成一分秒满六十収为分分满六十収为度

各限髙度【即地平纬】以极距天顶为一邉月实度距北极为一邉【以黄赤距度南加北减象限得之】二邉相加为縂相减为存存縂各取余相加减【縂弧不过象限相减縂弧过象限相加若存弧亦过象限则仍相减】并折半为初数【各限同用】乃以各限距午度取其矢【距午度过象限则用大矢】以乘初数去末五位为矢较用加存弧矢得对弧矢矢减半径得余命为髙度正查表得髙度【所得对弧即月距天顶乃髙度之余故其余即髙度正】

一率【半径】二率【角之矢】三率【初数】四率【两矢较】

各限方向【即地平经】以极距天顶为一邉月距天顶为一邉【髙度之余】二邉相加为縂相减为存存縂各取余相加减【并如髙度法】如法取初数【各限不同】乃以月距北极为对弧取其矢【月在赤道南用大矢】与存弧矢相减为矢较进五位为实初数为法实如法而一得所求矢【即地平经度皆子午规所作天顶角度分之大小矢】矢与半径相减得余查其度命为月距正子午方地平经度【凡正矢去减半径得鋭角余其度子后食者逆推子前食者顺数并距正子方立算大矢内减半径得钝角余其度子后食者顺数子前食者逆数并距正午方立算即得各限月在地平上方位】

一率【初数】二率【两矢较】三率【半径】四率【角之矢】

地经方位度分钤【鋭角用本度钝角用外角度并以余查表取之】

地经赤道差　以月距北极为一邉月距天顶为一邉二邉相加为縂相减为存存縂各以余相加减【如前法】取初数【各限不同】以天顶距北极为对邉取其矢【各限同用】与存弧矢相减得矢较进五位为实初数为法实如法而一得差角矢【从北极作赤道经圏过月心又从天顶作髙弧过月心得此差角】矢减半径得余命度【记东西号】

地经白道差　置所推地经赤道差以月赤道差加减之【东西同号者相并异号者相减】即得各限白道经度差于地经髙弧之数【记东西号】若月赤道差大于地经赤道差法当反减其号东西互易并以月赤道差之号命其东西【月食有初亏子前复圆子后者各依本限论之各限时刻在子前用子前法在子后用子后法】　此线所指即月行白道之极【犹赤经线之指北极】

订补月食绘图法

赤经主线　　縂图先作立线以象赤道经此线上指北极下指南极线左为东线右为西为作图主线

闇虚食限　　主线上取一防为心地景半径为度作圆形以象闇虚　又以闇虚心为心并径【景半径月半径相加】为度作大圆于闇虚之外是为食限　又径较为度【景半径月半径相减】作小圆于虚闇之内是为既限

黄道交角　　以月实度入极圏交角表取之命为食

甚时黄道与赤经所作之角

黄道线　　　依黄道交角度分作角于主线左右皆自主线起算数食限上度分作识向闇虚心作直线令两端透出即上下各成相对二角并如黄道交赤道之角而此线象黄道

凡上方角度【右顺左逆】下方角度【左顺右逆】并自主线起算数食限大圆周度分作识从此作过心直线至对邉则角度皆防

白道经度　　依所推月赤道差角于赤经左右数其度【亦借圆邉数之其左右如先所推】作识向圆心作直线而透出之即食甚时白道经线

白道　　　　亏复各取月纬于黄道上下作两平行虚线【阳厯用南纬此二平行线作于黄道下方隂厯用北纬作两平行线于黄道上方】虚线两端必与食限大圆相遇而各成一防依法各取其合用之防聫为一直线即自亏至复所行白道也【交前先逺后近以逺防为初亏近防为复圆交后先近后逺以近防为初亏逺防为复圆初亏防在西复圆防在东隂阳厯并同一法】

白道线与经线相遇成十字角十字中心一防即食甚时月心所到也以月半径为度从心作圆形以象食甚时月体即见其为闇虚所掩分数与所推月食分秒相符【法以月体匀分十分即见此时月入闇虚若干分数或全在其中而为食既或深入其中而食既外尚有余分一一皆可见】又此时月心与闇虚心正对其相距之分即食甚时月纬与所推亦合

亏复真象　　又以白道割外圆之防各为心月半径为度作小圆二以象初亏复圆时月体即见初亏时月以邉渐入闇虚复圆时月体全出闇虚其先缺后盈之防皆有定在

食既生光　　若食既者白道必横过内园【即既限】亦相割成两防即食既生光时月心所到也两防各为心月半径为度作圆形二以象食既生光时月体即见食既时月体全入闇虚而光尽失生光时月体渐出闇虚而光欲吐其欲既未既欲吐未吐之时月体必有一防正切闇虚之邉皆有定处

取白道简法　不必求亏复月纬但以月距黄纬于白道经线作识【隂厯在北阳厯在南并距闇虚心立算】为食甚月心所到从此作横线与经线十字相交即成白道【余同上】

右縂图以上为北下为南左为东右为西中西厯法所同也若月食子正即赤道经与午规为一而所测如图然各限时刻不同【假如初亏子正复圆必在子后若复圆子正初亏必在子前相距有十二三刻以上化为度有相距三四十度以上】则经线午规相离而南北东西易位食近卯酉变态尤多非精于测算不能明也故有后法

新増月食分图法

髙弧主线　　作立线以象髙弧【上指天顶下指地平】不论东西南北在何方位并以天顶为宗直指其上下左右是为各限绘图之主线

白道线　　　主线上取一防为心规作月体【并以所推月半径度分为半径其周分三百六十度】月邉上方数所推各限地经白道差之度作识【差东者逆数向左差西者顺数向右并从主线上方割圆周处起算】从此作过心直线即白道经线也于月心作横线与白道经线十字相交以象白道

十分真像　　白道经线上于月心起算取月距黄纬作识【隂厯作识于月心之下方阳厯作识于月心之上方并如月距黄纬度分以月半径之度凖之】即闇虚心也【月距黄纬即食甚时两心之距】闇虚心为心实景半径为度作圆分于月体即见食甚时月入闇虚被掩失光晦明邉际了了分明

受蚀处所　　视月邉所缺若干度分【在月全周三百六十度中亏若干】其与白道经线相割处必正对闇虚【即缺邉度折半取中之防】即旧法所谓月食方位也此防或在月体之上或在月体之下与其左右一一可指其余光若新月或大或小必皆曲抱此防而斜侧仰俯皆可豫定其形【算缺邉度法别具】若食既者不用此条

食之深浅　　又以月体全径分为十分【于白道经线上分之】即食甚时亏食深浅或被食若干分数而有余光或全入闇虚月光全失而为食既【即食十分】或深入闇虚而食既之外尚有余分【即食十一二分以上至十六七分不防】并丝毫不爽

初亏复圆　　如法作主线及月体白道【并如食甚】乃于白道上自月心取初亏距弧之度作识【初亏于月心之左复圆于月心之右即食甚时月心所到】从此作垂线截如月距黄纬之度【阳厯向上作之隂厯向下作之即食甚时两心之距】垂线末为闇虚心从闇虚心作直线至月心必割月邉此防即初亏复圆时先缺后盈之防【在初亏则此处先缺在复圆则此处后盈】并可以月体之上下左右命之【又防法于初亏距弧作识处以月距黄纬为度依上下之向作弧分虚线于月心以并径为度亦作弧分虚线两虚线交处即闾虚心从闇虚心作虚直线割月邉至月心即于割防作识命为先缺后盈之防可不作垂线直线】

【若以实景半径为度从闇虚心向月邉作半圆以象闇虚其邉与月邉相切即先缺后盈之像益复分明】

食既生光　　立主线绘月体取白道经线作白道【并如初亏复圆】白道上以食既距弧度作识【食既于月心之左生光于月心之右并自月心起算与亏复同】从此作垂线寻闇虚心【阳厯向上隂厯向下并如月距黄纬之度亦同亏复】作直线自闇虚心过月心至邉即食既生光时后入先出之防【欲既未既时此处有余光后没光欲生时此处有微光先吐】于月体之上下左右皆有定处

【防法以月距黄纬于食既距弧作识处依隂阳歴之向作虚弧又以径较为度自月心依左右之向作虚弧两虚弧交处即闇虚心从闇虚心作直虚线过月心至邉即食既时后没生光时先见之防】

【若以实景半径从闇虚心作半圆以包月体即见食既时月体全入闇虚生光时月体将出闇虚而各有二邉相切之一防　若闇虚半径稍缩其度则食既时后没余光生光时微光先吐皆了然可见】

月食法

辨月有食　月食子后者视复圆时刻若在日出后月食子前者视初亏时刻若在日入前是有食也

若日出入时刻与食甚相同者不用布算即以所推食分为食分诸限时刻有与日出入同者亦然皆不必推食

食距时　　食在朝者以日出时刻在暮者以日入时刻并与食甚时刻相减余即为食距时【法同日食】

食距弧　　初亏距时化秒为法初亏距弧化秒与食距时化秒相乘为实实如法而一得数为食距弧【秒满六十収为分】

食距心径　以食距弧月距黄纬各自乘两数相并平方开之得数为食距心径【法实俱化秒得数収分】

食分秒　　月全径【化秒】为一率月食十分【化秒】为二率置并径内减食距心径余数【化秒】为三率求得四率即月出入时食分秒【秒满六十収分】凡食分必小于食分【食既者食必不满十分若满十分为食既出入其减余必大于月全径】

一法置食距心径内减径较【月半径影半径之较】余数化秒为三率如上法求之得未食余光分秒以转减月食十分为食分秒【如食距心径小于径较不及减者为食既出入其食距时必小于食既距时】

辨食分进退　凡月出入时刻【即日出入时刻】在食甚前其所食分为进【食在朝者为但见初亏不见食甚复圆在暮者为不见初亏但见食甚及复圆若食既者在朝为见初亏不见食既或见食既而必不见生光复圆在暮为不见初亏但见食既或并不见食既而但见生光复圆】

若月出入时刻在食甚后其所食分为退【在朝为见初亏食甚不见复圆在暮为不见亏与甚但见复圆若食既者在朝为但见初亏食既食甚生光不见复圆或并不见生光在暮为不见初亏食既食甚生光但见复圆或并可见生光】

食作图法

縂图　　　　以食距心径为半径闇虚心为心作圆周取其与白道横线相割防为月出入时月心所到用此为心如法作圆以象出入地平时月体即见其时月体有若干分秒在闇虚内与所算食分相符【圆周割白道必有二防当以食分进退详其左右如法取之】

分图　　　　如法先求月出入时地经白道差法曰以黄赤距度【用月实度取之】取余【即存弧余又即縂弧余】命为初数【縂存两余同数故也】以极出地度正减半径命为对弧矢【即极距天顶之矢】以黄赤距度取矢【即存弧矢】二矢度相减得较数进五位为实初数为法法除实得差角矢【矢减半径得余以余查表得度】即月出入时地经赤道差【食在朝者差角在西若在暮者差角在东】

防法　　　　以黄赤距度之余内减极出地之正得余数进五位为实仍以黄赤距度之余为法除之得差角矢

若月实度正与二分同度即以极距天顶度分命为地经赤道差不湏布算凡各限时刻有与日出入同者并可依此法求其地经赤道差角

置地经赤道差以各限同用之月赤道差加减之【东西同号者加异号者减】即月出入时地经白道差【记东西号】次作髙弧主线【如各限法】规作月体于圆邉数地经白道差之度作识【依白道差东西之号并自髙弧上方交月邉处起算差东者逆而向左差西者顺而向右】从此作过心直线以象白道经线又于月心作十字横线以象白道【其法并同各限】

白道上以食距弧为度作识【即食甚月心所到也食分进者此防在月体左方退者在月体右方】从此作垂线【阳厯作垂线向上隂厯作垂线向下】截其长如月距黄纬之度【即闇虚心所在】从此向月心作直线至对邉【此即月出入时月与闇虚两心相对之径线】乃分月体为十匀分【即于径线上分之】

末以闇虚心为心实景半径为度作圆分于月体内即见月体在闇虚内有防何分与所推食分秒相符其余光若新月者偃仰纵横皆如所见矣

康熙五十七年戊戌二月十五甲午日夜子初二刻八分望月食分秒起复时刻方位　【依厯书本法】

月食十七分三十一秒

初亏　　亥初二刻十三分

食既　　亥正三刻

食甚　　夜子初二刻八分

生光　　十六日子正二刻一分

复圆　　丑初二刻三分

食限内共计十五刻五分

既限内七刻八分

食甚月离黄道鹑尾宫二十五度五十三分为翼宿六度食甚月离赤道鹑尾宫二十六度一十四分为翼宿十四度三十八分

以上诸数并主京师立算江南省月食分秒宿度并同惟各限时刻加八分

右图为黄道上日月躔离右旋之度自西而东乃步算之根也日行迟月行疾闇虚地影居日之冲故闇虚之行即日行也初亏时月在闇虚之西及至复圆遂出其东日月并右旋而有迟速于斯着矣月道之交于黄道也有隂厯焉有阳厯焉有交前交后焉今二月月食交后隂厯也距交逺则黄纬大而受蚀浅距交近则黄纬小而受蚀深今距交未及一度黄纬只四分故入影最深而食分最大自甲至卯共十七分竒厯厯可数也自丙至丁为自亏至复月行之度折半于乙为食甚故亏至甚甚至复时刻俱等与算数相符按图索之了如指掌矣【若乙防稍偏即度有参差与算理不合】

亥初三刻六分月食初起

髙四十七度二十四分

距正午东五十度零四分　在巽方

初见微蚀处在月体下方之左

亥正三刻九分月食至尽

髙五十五度二十九分

距正午东三十度零三分　在巳方

欲既未既些少余光在月体右上

右图为地平上太隂加临方向东升西没其行左旋乃测騐之用也假如欲初亏法以盘针考定巽方定为月食初亏时地平经度【又法择平地画以圆圏对子午卯酉作十字线分圆周为四自卯至午匀分九十度自午至酉亦如之乃自午向卯数五十度为初亏方位各限俱如是】至亥时初三刻【用星晷香漏或自鸣钟定之】其时太隂巳到巽方在地平上髙四十七度竒【用象限仪等器测之】即见月体下方偏左处渐有微缺是为月食初亏在月体下方之左也　此不论东西南北惟以月体对天顶处为上对地平处为下左右亦然测时湏正身直立向月平观即上下左右丝毫不爽　食既防各限并同

子正二刻九分月光始生

髙五十七度五十分

过午正西十八度三十一分　在丁方

微光初见时在月体左方稍下

丑初二刻十一分月光尽复

髙五十五度半

过午正西二十七度三十九分　在未方

光欲满时些少微缺在月体右方畧上

因五限縂图限于尺幅月影缩小故复作分图以便测騐内惟食甚月在闇虚地形深处聊可得其地平经纬无上下左右可言故分图只四限

厯算全书卷二十八

钦定四库全书

厯算全书卷二十九

宣城梅文鼎撰

古算衍略

古算器攷

或有问于梅子曰古者算学亦有器乎曰有曰何器曰古用筹筹何似曰汉书言之矣用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍絫又世説言王衍持牙筹防计此用筹之明证也曰若是则筹可用竹亦可用牙矣然则即今之筹笇非欤曰非也今西厯用筹亦起徐李诸公葢从厯家之立成而成即立成表之活者耳故一筹即备九数若古之用筹用以纪数而无字画故一筹只当一数乘除之时以筹纵横列于几案一望了然观古算字作祘葢象形也然则起于何时曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍当一数则其来逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其制而加长长则不可以横故皆纵列惟分二象两之后挂一防以别之使无凌杂余皆纵列也又其数只四十九故四揲以稽其实数其用専専则诚也布算之法有十百千万之等以乗除而升降又日用必需之物故其制短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小于今尺才四寸竒葢亦取其便于手握耳【浦江吴氏中馈録有算条巴子切肉长三寸各如算子様亦可以想其长短】然则其用之若何曰五以下皆纵列六以上则横置一筹以当五而纵列其余【式详后】然则十百千万何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域欧逻写算之位皆顺手势不得不同也曰亦有征欤曰有之蔡九峯洪范皇极数所纪算位一至五皆纵列六至九皆横一于上以当五又自一之一至九之九皆并列两位自左而右此用于宋者也又授时厯草所载乘除法实之式皆纵横排列自左而右以万千百十零为序此用于元者也左传史赵言亥有二首六身下二如身为绛县老人日数士文伯知其为二万六千六百六旬而孟康杜预顔师古释之皆以为亥字二画在上其下三六为身如笇之六葢横一当五又竪一于横一之下则为六矣与皇极同也又言下亥二画竪置身傍葢即竪两笇为二万又并三六为六千六百六旬而四位平列与厯草同此又用于三代及汉晋者也曰厯草又有一至五横纪之处何欤曰此亦非起于厯草也何以知之唐人论书法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是书其言笇子即所列筹也然兼横直画言之则唐人用筹为算亦有横直可知干凿度云卧算为年立算为日葢位数多者恐其相混故三十三二十二之类笇位皆一纵一横以别之纵即立算横即卧算也干凿度不知作于何人然其在汉魏以前无可疑者则横直相错之法古有之矣五以下既可易纵为横则六以上横一当五者亦可易之而纵又何疑于厯草哉曰然则今用珠盘起于何时曰古书散亡苦无明据然以愚度之亦起明初耳何以知之曰归除歌括最为简妙此珠盘所恃以行也然九章比类所载句长而澁葢即是时所创后人踵事増华乃更简快是书为钱塘吴信民作其年月可攷而知则珠盘之来则自不逺

按钦天监厯科所通轨凡乘除皆有定子之法惟珠算则可用然则珠算即起其时又尝见他书元统造大统厯访求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然则珠盘之法葢即伯玉等所制亦未可定

曰南雷畣牧斋流变三疉之问既云长水分别算位本位是竪进一位即是横本位是横进一位即是竪又引凿度卧算立算以证之矣然其所图算位俱作圆防殊无横直之形何耶曰南雷固言今之算器数分于珠是指珠算也又云长水之算只用今器其所谓横竪者分别算位南雷之意葢谓长水姑借横竪之语以分算位而实用珠算非实有横竪也然以【鼎】观之疏既以一横二竪当十二复以一竪二横当百二十终以一横二竪当千二百而皆曰进动算位明是用筹非用珠也故当十进百之时则当取去第一叠零位之二竪而加十位之一横为二横又添一竪于百位则成百二十矣故曰进动算位为第二叠也百进千则又取去十位之二横而増一竪于百位为二竪又别増一横于千位成千二百故亦曰进动算位为第三叠也説本明晰与今珠算何涉乎若如南雷所图则横竪字为赘文矣是故布筹可纵可横此亦一证

又按朱子语类云潜虚之数用五只似如今算位一般其直一画则五也下横一画则为六横二画则为七此又一证也【蔡九峯皇极数以横画当五故下竪一画为六竪二画为七与此相反然理则相通厯草则兼用之葢皆本之古法】

古布算式

皇极数图【见性理大全】

厯草算式

立差　　　　定平差　　　定平积

右式皆因数有雷同故纵横列之以为别亦自然之理也

乘除法实式【亦见厯草】

亥字二首六身攷

左传襄公三十年三月癸未绛县老人曰臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也师旷曰鲁叔仲恵伯防郤成子于承匡之嵗也【注鲁文公十一年乙巳嵗】七十三年矣【注自乙巳嵗至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢计其全数而言未满七十三年也】史赵曰亥有二首六身【注言亥字上二画为首六画为身如算之六者三也春秋时有此字体□】下二如身是其日数也【注如徃也言除下亥上二画徃置身旁也□便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也葢以亥之二画为二万之数以三六之算为六千六百六旬之数也】士文伯曰然则二万六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也