子藏 · 算法

历算全书

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尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】

列位　作防

视防在第二位合商之以○六

万四千尺为初商之实

视立方筹有○六四与实同宜

商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】

次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积

次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】

初商三十尺濶也　加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也

乃以初商长濶髙维乘之

濶乘长得一千○五十尺　髙乘濶得一千○八十尺　长乘高得一千二百六十尺

并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与髙乘濶又以髙乘长并之亦同】

次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】

乃以平亷用筹为法以余实列位除之

如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】

次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积

并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之

法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺　髙乘濶得一千五百一十二尺　长乘髙得一千七百二十二尺

并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分

命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开

濶三十六尺有竒【音基】　长四十一尺有竒髙四十二尺有竒

假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺

先以两纵并得一十一尺为纵亷

以两纵乘得三十尺为纵方

列位　作防

视防在第三位合三位商之以

一十万○一千为初商之实

乃视立方筹有○六四小于一

○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】

次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积

次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积

并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之

初商四十尺濶也　加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也

乃以初商濶长髙而维乘之

长乘濶得一千八百尺　濶乘髙得一千八百四十尺【又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺

并维乘数共五千七百一十尺为平亷法

又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之

合视筹第三行是一七一三小于

余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就

以次商三尺乘平亷法得一万七

千一百三十尺为平亷积　又以

次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积　又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积　并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减

改商二尺

就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】

次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积　又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之

法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺　又以长濶髙并之得一百三十七尺　又加一尺　共六千三百八十四为命分

命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开

濶四十二尺有竒

长四十七尺有竒

髙四十八尺有竒

厯算全书卷三十二

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷三十三

宣城梅文鼎撰

筹算六之七

开方捷法

勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以着其理用捷法者所以善其事

平方

法曰如前列实从单位作防每隅位防之以求初商【初商列位有常法进法俱如前】既得初商即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商【以本行内方根命之】

三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实而得三商四商以上仿此求之

解曰隅者小平方也故可以平方筹为法　亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法

【何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一位】

凡初商减积尽最上一防故最上一防者初商之实也次商减积尽第二防故第二防以上次商之实也三商减积尽第三防故第三防以上三商之实也推之第四防为四商之实第五防为五商之实【以上并同】

审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商　乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商【若空位多者另有简法见后】三商实小有空位并同

假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干

列位　作防

如图防在次位以二千四百

万为初商实

视平方筹有小于二四者是

一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺【有四防故初商是千而有次商】

次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法

以第二防余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺

【此所减首位不空故对位书之】

次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法　以第三防上余实九八九九为三商之实

合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余

实八十九万○一百

尺

【首位不空故亦对位书之】

次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法

以第四防上余

积九九八九九

为四商之实

合视筹第九行

积八九九○一

小于实商九尺

减余实八万九

千九百○一尺

不尽九千九百九十八尺

开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分

凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八

右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异

加空筹式

假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干

列位　作防

如图防在次位以一千六百万

为初商实

视平方筹有一六与实同其方

四商四千尺减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起倘空位则作圈补之后仿此】　次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】

以第二防上余实○七七为次商实

筹最小数是○八一【第一行数】大于实

不及减是商数无百也

乃于初商四千下作一圈以为次

商【减去实中○位】　次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法

以第三防上七七七二为三商实

视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百

次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法

去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法

以第四防上四九一一六为四商之实

合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽

凡开得平方四千○九十六尺

假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干

列位

作防

如后图防在首位以○九亿步为初商实

视平方筹有○九与实同商

三万步【五防故初商万】减积九亿步

次以初商三万步倍之得六

万步用第六筹加平方筹上为次商法【即廉隅共法】　以第二防上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法

又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图

此即次商三商四

商合图也

次加三空筹于平亷【第六筹】之下平方之上为五商亷隅共法　径以第五防上一八○○○九为五商实

视筹第三行数与余实合商三尺

除积一八○○○九恰尽

凡开得平方三万○○○三步

又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位　作防

如图防在次位以二千五

百万尺为初商实

视平方筹有二五与实同

其方五商五千尺减积二千五百万尺

次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法　实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图

此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】

如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法

以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】

视筹第七行相合商七尺减实

恰尽

凡开得平方五千○○七尺

又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位

作防　如图防在次位以五十六万为初商实

视平方第七行是四九小

于实商七百尺除实四十

九万

次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法　以第二防上○七三五为次商实

合视第五

行是○七

二五小于

实商五十

尺减去余

积○七万

二千五百

尺

次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三防上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之

凡亷隅共法筹第一行数即命分

也葢能满此数即成一单数矣

凡开得平方七百五十○尺又一

千五百○一之一千○○○约为

三之二弱

立方

法曰如前列实隔两位作防以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法即截取初商下一位至第二防止为次商之实法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】

三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法

别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法

截取次商下一位至第三防为三商之实共法为法除之以得三商【其积为共积】　次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积　减实【又一法长亷法不必加空位筹得于得数下加一圏即进位也】

四商以上仿此

解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法　长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也

【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也】

凡初商积尽于上一防故上一防为初商实次商积尽于第二防故第二防以上为次商实推之三防为三商实四防为四商实以上并同

审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹共两空位筹】为三商长亷法【又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏】　若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏

解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也【平亷原大二位加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也

初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后

假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干列位　作防

如图防在首位以○○六百

万为初商实

视立方筹有小于○○六者

○○一也其立方一商一百尺【三防故初商百】减积一百万尺次截取第二防上五八五九为次商实

以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅共法

别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长廉法

列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九小于实商九十尺

次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除实尽

次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也凡开得立方每面一百九十○尺

假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺问方若干

列位

作防

如图防在第三位以一

千二百八十亿为初商

实

视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺【四防故初商千】减积一千二百五十亿

次截取第二防上○三六三四为次商实

以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○百尺为长亷法用筹列立方筹下

视共法筹第一行是○

七五○一大于实不及

减知次商百位空也于

初商下作一圏为次商【原实上减一圏】

乃截第三防三六三四六七○为三商实

次于平亷筹下立方筹上加两空位筹为平亷小隅共法

于长亷筹下又加一空位筹【原有一空位筹共二空位】为长亷法

视共法筹第四行

是三○○○○六

四小于实用为共

积商四十尺　以长廉法与四行之平方一六相乘得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○尺为长廉法列立方筹下

乃截第四防

六一○六○

六五九二为

四商之实

视共法筹第

八行六○九

六三八九

一二小于实

商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积以加共积得六一○六○六五九二除实尽

凡开得立方每面五千○四十八尺

右加两空筹例

假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺问每面若干

列位　作防

如图防在第三位以七

千二百九十亿为初商

实　视立方筹方九之

积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿【四防故初商千】次截第二防○○○七二九为次商实以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿四千三百万尺为平亷法列立方筹上为平亷小隅共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺为长亷法列立方筹下　视共法筹第一行是○二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初商九千尺下作一圏为次商【原实上减去一圏】乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法　截取第三防○○七二九二四三为三商实　视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏为三商【原实上又减去一圏又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃与平亷相应即于○七之上初商之下作连圏为次商三商而于原实中销两圏】

此次商三商合图也

乃于平亷筹下立方筹

上又加两空筹【共四空筹】为

平亷小隅共法　其长亷筹下又加一空筹【共三空筹】得二七○○○为长亷法【或不必加筹只于得数下加三圏亦同】

截取第四防○七二九二四三○二七为四商实

视共法筹第三行是○七二

九○○○○二七小于实商

三尺　以长亷法与第三行

平方○九相乘得二四三○

○○为长亷积以加共积得

○七二九二四三○二七除实尽

凡开得立方每面九千○○三尺

右加四空筹例

开方分秒法【筹算七】

勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻加宻矣

平方

法曰凡开平方有余实不能成一数不可开矣若必欲开其分秒则于余实下加二圏【原实一化为一百分】如法开之所得根数是一十分内之几分也或加四圏【原实一化为一万分】如法开之所得根数是一百分内之几分也或加六圏【原实一化为一百万分】如法开之所得根数是一千分内之几分也如此递加两圏则多开得一位乃至加十圏【原实一化为百亿分】其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也

假如平方积八步开得二步除实四步余四步不尽分秒几何

法于余实下添两圏则余实四步

化为四百○○分为次商之实

依捷法以初商二步倍作四步为

亷法列平方筹上为亷隅共法简

筹第八行积三八四小于余实次商八分除实三百八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分再开之

又于余实下加两圏则余实一十六分化为一千六百○○秒为三商之实

依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第二行积一一二四小于余实商作二秒除实一千一百二十四秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十六秒

此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四若欲再开亦可得其忽防如后式

还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除之【当退四位】仍得八步合原数

解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横一百分直一百分而其积一万分为一步

假如平方九十步开得九步除实八十一步余实○九步不尽【小分几何】