历算全书

八六倍之得一十八步九七二为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一万七千八百二十四分余六万二千五百七十六分不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分【亦可名为四分八秒六忽八防】不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一万分之六分有竒】

虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一亿分为一步之法除之【当退八位】仍得九十步合原数解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步

若依命分法则还原不合

如前例　原实八步开得方二步除实四步不尽四步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合何也

以算明之

用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自

乘得二十五分为法【每步通作

五分横一步直一步则共得二十五分也】除之

得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四

以图明之

每步作五分其羃积二十五分方二

步积四步共一百分又五之四以乘

方二步得四十分倍之为亷积八十

分又五之四自乘得隅积一十六分

共九十六分以合原余积四步该一百分少二十五分之四

以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以还原　其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方之有竒零其在两亷者实其在隅者虚何也亷之虚者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五分内虚一分故不能成一歩也然试观于图两亷之四步皆虚一分【横四分直五分积二十分以二十五分计之是为于五分之中虚一分】而隅之一步虚一分有零【横四分直亦四分积一十六分虚九分以二十五分计之是为五分之中虚二分弱】则是边数二步五之数者其积不及五之四也今余积四步者实数也其边数常盈于五之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然则古何以设此法曰古率常寛以为所差者防故命之也不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有防差故曰寛也

愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而纳其子【即得分】为全数以全数自相乘得数为通积另置分毋以分子减之余数以乘分子而加之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数　如上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分毋五余一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五为法以除实得八步合原积

又如后例　原实九十步开得九步除实八十一步不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰若得十九歩则加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然还原亦不合

以算明之

用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为实以命分十九自乘得三百六十一为法【每步十九分横十九分直十九分共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六十一分之九十分

若依隅差之分以得分九减命分十九余十转乘得分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百六十一为法除之恰得九十步合原积

以图明之

甲戊丁庚形者方九步九分

之总形也通为一百八十分

积三万二千四百分以三百

六十一为步除之较原实少

九十分

内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一歩戊乙形庚乙形次商亷积之形也长九步【通为一百七十一分】濶九分积一千五百三十九分两亷共计三千○七十八分

丁乙者小隅者横直各九分以较亷积中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形即隅差也

以积考之亷九步每步濶九分长一步【通为十九分】积一百七十一分隅濶九分长亦九分积八十一分少九十分为隅差

立方

法曰凡立方有余实不能成一数不可开矣若必欲知其分秒则于余实下加三圏【原实一化为一千分】如法开之所得根数是一十分之几分也若加六圏【原实一化为一百万分】所得根数是一百分之几分也若加九圏【原实一化为十亿】则根数是一千分之几分也若加十二圏【原实一化为万亿】则根数是一万分之几分也

解曰平方筹两位故两位作防而其化小分亦以两位为率葢积多两位则根数可多一位也【亷一位隅一位故两位】立方筹三位故三位作防而其化小分亦以三位为率葢积多三位则根数可多一位也【平亷一位长亷一位隅一位故三位】

假如立方积一十七步开得立方二步除八步余实九

步不尽法于余实下

加十二圈则余实九

步化为九万亿分【増

四防可加开四位】

依捷法截第二防○九○○○为次商之实　以初商二自乘【四】而三之得一十二步为平亷法列立方筹上为平隅共法　以初商【二】三而进位得【六○】为长亷法列立方筹下　简共法筹第五行积【○六一二五】小于实商五分【六行七行亦小于实因无长亷积故不用】

乃以第五行平方【二五】与长亷法相乘得【一五○○】为长亷积以加共积共得【○七六二五】是为次商五分之积以除实余一三七五以俟三商

又截取第三防一三七五○○○为三商之实　以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以初商次商【二步五分】三而进位得【七五○】为长亷法列立方筹第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于实商七秒　乃以第七行平方【四九】与长亷法相乘得【三六七五○】为长亷积以加共积共得【一三四九五九三】为三商七秒之积以除实余○二五四○七以续商

又截取第四防○二五四○七○○○为四商之实以商数【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以商数【二五七】进位而三之得【七七一○】为长亷法列立方筹下简共法筹第一行【○一九八一四七○一】小于实商一忽

乃以第一行平方【一】乘长亷得【七七一○】为长亷积以加共积得【一九八二二四一一】为商一忽之积以除实余○五五八四五八九以末商

通第五防○五五八四五八九○○○为末商之实以商数【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三

之得【一九八三○一二三】为平亷法列立方筹上为平隅共法　以商数【二五七一】进位而三之得【七七一三○】为长亷法列立方筹下简共法筹第二行【○三九六六○二四六○八】小于实商二防

乃以第二行平方【○四】乘长亷法得【三○八五二○】为长亷积以加共积得【○三九六六三三三一二八】为末商二防之积以减实余一六一八二五五八七二不尽

凡开得立方每面二步五分七秒一忽二防【不尽之数不能成一防弃不用】

还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一二列为实以法乘实得六六一一○六九四四

再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分

乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一万亿为一步之法【以一步为万分横一万直一万商一万共一万亿】除之得一十七步合原数

若依命分法则还原不合

如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加【一步】为隅共【一十九步】为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合

以算明之

用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积为法以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】

其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积【六千八百五十九分】为步法以十九分除之得每【三百六十一】为分法平亷每步【横十九分直十九分髙九分积三千二百四十九】分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也

若长亷【横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分】分法除之得四分有竒而已以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差

若小隅【横直髙各九分积七百二十九分】分法除之得二分有竒而已

以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差

合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一

以图明之

丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直髙各十九分积六千八百五十九分是为步法

以十九分除步法得三百六十一分是为分法

亷隅总图【见左】

甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千

九百八十八分丁戊巳三长亷

也各长二步通为三十八分厚

濶各九分积三千○七十八分

三亷共九千二百三十四分

庚小隅也长濶髙皆九分积七

百二十九分

三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内

正方形纵横各二步通为三十八分　积五万四千八百七十二分

总形方二步九分通为四十七分髙如之　积一十○万三千八百二十三分　以步法除之得一十五步有竒不满原实一步又五千九百二十一分

平亷方二步其容四步即辛壬癸

子之分形也每步纵横皆一步通

为十九分厚皆九分积三千二百

四十九【辛一形积如此壬癸子者同】　以分除之适得九分

长亷长二步【如丑寅合形】通为三十八

分厚九分皆与平亷同所不同者

平亷濶十九分而长亷濶只九分

故长亷二步尚不及平亷一步之积以积计之每长亷一步【如丑形】积一千五百三十九分较平亷每步之积【如丑夘合形】少一千七百一十分【如丑之虚分夘】三长亷计六步共少一万○二百六十分是为长亷之差

小隅横直髙皆九分【如未形】于平亷

一步之积不及四之一以积计之

小隅之积七百二十九较平亷一

步之积【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虚分申】是为小隅之差　合二差共一步五千九百二十一分今考定开立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母【即命分】通其整而纳以分子【即得分】为立方全数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分【母数】与得分【子数】各自乘得数以相减用其余数以乘得分得数为隅差又置命分与得分相减用其余数转与得分相乘以乘命分得数是为长亷每步虚数又以长亷法乘之得数为长亷差合二差数以加通积为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数如所设立方积十七步开得立方二步又十九分

之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】纳之共【四十七分】为立方全数以全数自乘再乘得【一十○万三千八百二十三】为通积另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内减分子【九】自乘【八十一】余【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】为隅差又置命分【一十九】内减得分【九】余十分转乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】为长亷每步虚数又以长亷法【六步】乘之得【一万○二百六十分】为长亷差合二差共一万二千七百八十分以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积

厯算全书卷三十三

笔算自序

或问笔算西人之法耳子何规规焉曰非也自图书启而文字兴参两倚数毕天下之能事六书九数皆原于易非二事也古人算具以筹策纵横布列畧如筮法之挂扐其字象形为祘是故其纵立者一而一其上横者一而五珠盘之位实此权舆夫用蓍在立卦之后则筹策之算必不在文字先矣是故筹策之未立形声防画自足以用而筹策之所得又将纪之简策以诏方来书与数之相须较然眀也近数百年间再变而为珠盘踵事生新以趋简易然观九章中盈朒方程必列副位厥用仍资笔札其源流不可想见与故谓笔算为西人独智者非也曰今所传同文算指西镜録等书亦唐九执厯元明间回囘土盘之遗耳与中算固各有本末矣曰是则然矣然安知九执以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以来二千年屡变而宻溯而上之亦不能言其始于何人其为算也亦若是己矣夫古者圣人声教洋溢无所不通南车记里之规随重译而四逹我则失之彼则存之乌乎识其然乌乎识其不然耶且夫治理者以理为归治数者以数为断数与理协中西非殊是故礼可以求诸野官可以问诸郯必以其西也而摈之取善之道不如是隘也况求之于古抑实有相通之故乎曰然则子何以易衡而直曰旁行者西国之书也天方国字自右而左欧逻巴字自左而右皆衡列为行彼中文字尽然也彼之文字既衡故笔算亦横取其便于彼用耳非求异于我也吾之文字既直故笔算宜直亦取其便于用耳非矜胜于彼也又何惑焉问者以为然遂书其语为序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰

发凡

笔算之便与筹算同然筹仍资笔而笔则无假于筹于文人之用尤便【笔算无歌括最便学习又无妨酬应乆可覆核皆与筹算同详筹算书】

笔算易横为直以便中土盖直下而书者中土圣人之旧而吾人所习也与筹算易直为横其理正同

笔乗原法以法实相叠殊混人目今所更定者一纵一横法实各居其所而纵横相遇处得数生焉不惟便用而已其所以然之理亦按图可知

笔除原法得数与原实相离定位易淆今所更定者法实与得数两两相对算理井然定位尤简

【所谓原法者并据同文算指乃西土之旧式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥后有西镜録等书稍稍讲明定位之用盖亦酌取中法而为之然于古人实如法而一之防似犹有隔兹以法上得零之诀定之庶令学者一望而知所兾髙贤有以教之幸甚】

钦定四库全书

厯算全书卷三十四

宣城梅文鼎撰

笔算卷一

列位法

数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后【以一位言之有自一至九之名此如同軰之有长防合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有子孙云仍故单以下复有畸零之位也】

列位式

万　千　百　十　零

【此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单】

假如有数二万四千七百五十九依法列之

二　四　七　五　九

【凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣】

又如有数四千○九十六依法列之

四　○　九　六

【凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位】

又如有数一万○八百

一　○　八　○　○

【凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣】

又如有数一十二万九千六百

一　二　九　六　○　○

【原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万】

畸零列位式

凡整数自单而陞若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之陞以十为等自单而十而百而千而万皆一法也【万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也】若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法【详后】

其一以十为等分二类

假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠

依法列之

○○五九八六七九三四八九二一

两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠

【右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为忽以至渺漠皆以十为等】【原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也】

凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属【亦有以尺为单以寸为单者皆如所设】

凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属【亦有以斗为单数者皆如所设命之】法并同上

右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类

假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之

【右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作防以志之使知日下二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等　凡作防必单位如日为单位下又有单刻单分单秒之属】

凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上

凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作防以志之法亦同上

右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作防之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类

假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列

【右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作防志之畧同授时然皆以六十而进非以百也其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六十之率钜细同法西洋法亦然】

又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三

又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类

假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列

【此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作防志之亦同前法但铢以二十四为率两以十六为率二率不同】

又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之

【此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩】

右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也【此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之】并法

凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也【数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所以稽总撒】

法曰置所有防数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从

列讫仍并之自上而下如画卦之法

数满十者进位作号而本位纪其零

纪号式

丨□□□□丅□□□【此古算位也用以别原数便稽核也】

假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又【三百五十斤　合之若干】

如上式防数三宗依法列位并之

得总数二千三百三十斤

假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干

九减试法

【凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行三五合成八数纪于右次减总数二三三合得八纪于左　左右相同知其不误】

【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右　次以总数一八九成二九减尽纪○于左　左右相同知其无误　或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法