御制历象考成后编

钦定四库全书　　　　　子部六

御制厯象考成后编目録　　天文算法类一【推之属】卷一

日躔数理

卷二

月离数理

卷三

交食数理

卷四

日躔歩法

月离歩法

卷五

月食歩法

卷六

日食歩法

卷七

日躔表

卷八

月离表上

卷九

月离表下

卷十

交食表

【臣】等谨案

御定厯象考成后编十卷乾隆二年奉

撰新法算书推步法数皆仍西史第谷之旧其

图表之参差觧説之隠晦者

圣祖仁皇帝厯象考成上下二编研精阐微穷究理数固己极一时推步之精示万世修明之法矣第测验渐久而渐精算术亦愈变而愈巧自康熙中西洋噶西尼法兰徳等出又新制坠子表以定时千里镜以测逺以发第谷未尽之义大端有三其一谓太阳地半径差旧定为三分今测止有十秒葢日天半径甚逺测量所系秪在秒微又有防气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日星相较可得其凖而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半经差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差以比例算之必更小于火星地半径差也其一谓清防气差旧定地平上为三十四分髙四十五度止有五秒今测地平上止三十二分髙四十五度尚有五十九秒其説谓防气绕乎地球之周日月星照乎防气之外人在地面为防气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎防气之中必反折之使下故光线与视线在防气之内则合而为一防气之外则岐而为二所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为防气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得防气差角也其一谓日月五星之本天旧説为平圆今以为圆两端径长両腰径短葢太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮推盈缩差惟中距与实测合而最髙最卑前后则差因用均轮以消息之然天行不能无差刻白尔以来屡加精测又以均轮所推髙卑前后渐有防差乃设本天为撱圆均分撱圆而积为逐日平行之度则卑卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与实测相符也据此三者则第谷旧法经纬俱有微差雍正八年六月朔日食以新法较之纎微宻合是以

世宗宪皇帝特允监臣戴进贤之请命脩日躔月离二表续于厯象考成之后然有表无説亦无推算之法吏部尚书顾琮恐久而失奏请増修表觧图説仰请

睿裁垂诸永久凡新法与旧不同之处始抉剔底

蕴阐发无余而其理仍与

圣祖仁皇帝御制上下二编若合符节益足见圣

圣相承先后同揆矣乾隆四十六年十月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校　官　【臣】　陆　费　墀

钦定四库全书

御制厯象考成后编卷一

日躔数理

日躔总论

嵗实

黄赤距纬

清气差

地半径差

用撱圆面积为平行

求两心差及撱圆与平圆之比例

求撱圆大小径之中率

撱圆角度与面积相求

求均数

日躔总论

钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月防而为朔行天一周而为嵗嵗月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治厯之大经万世莫能易也其推之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天髙卑本轮均轮诸説用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法逈殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天髙卑之説也至若嵗实之转増距纬与两心差之渐近地半径差气差之互为大小则亦由于积损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云

嵗实

日行天一周为嵗周嵗之日分为嵗实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一嵗实为三百六十五日四分日之一【周日为一万分四分之一为二千五百分】尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为嵗实太强减嵗余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓嵗当有差乃损嵗余以益天周嵗差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得嵗实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定嵗实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】嵗差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天嵗自为嵗而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测嵗实又谓第谷所减太过酌定嵗实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纤有竒每年少三十微有竒盖嵗实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒【见推日躔用数】而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于嵗实消长统天授时用之新法算书虽为之説而实未用其数兹不具论

黄赤距纬

黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年

皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园养斋开局测太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等厯考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十

数分之多康熙年间所用气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不逺由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载

清气差

清气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为髙映小为大而气之厚薄升像之髙下又随地不同其所作气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大气差三十四分自地平以上其差渐少至距地髙四十五度犹差五秒更髙则无气矣厥后西人又言北极髙四十八度太阳髙四十五度时气差尚有一分余自地平至天顶皆有气差上编具载其説而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等厯考西史第谷所定地平上气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其説谓气绕乎地球之周日月星照乎气之外人在地面为气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎气之中必反折之使下故光线与视线在气之内则合而为一气之外则岐而为二此二线所交之角即为气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得气差角爰在北极出地髙四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左

如图甲为地心乙为地面

乙甲为地半径一千万丙

乙为气之厚六千零九

十五丁为太阳【月星仿此】照于

气之戊人自地面乙视

之则见日于戊者当本天

之巳巳戊乙为视线丁戊

乙为光线是视线常髙光

线常卑视线常直光线常

折在戊气之内则光

线与视线合同为戊乙出

乎戊之外则视线己戊

光线丁戊岐而为二故己

戊丁角为气差角试自

地心甲出线过戊至庚

则庚甲即为地平上气

之割线己戊庚角为视线

与割线所成之角丁戊庚

角为光线与割线所成之

角而己戊丁气差角即

为两角之较今既测得地

平上气差为三十二分

一十九秒又测定气之

厚为六千零九十五则己

戊庚视线角与丁戊庚光

线角可以得其比例其术

用甲乙戊直角三角形以

甲戊一○○○六○九五

与甲乙一千万之比同于

乙直角正一千万与戊

角正九九九三九○八

【小余七一】之比而得戊角为八

十八度【小余百分秒之四二】即己戊

庚角又以己戊丁气差

角三十二分一十九秒与

之相加得八十八度三十

二分一十九秒【小余四二】即丁

戊庚角其正为九九九

六七四八【小余二五】夫视线角

之正己辛为九九九三

九○八【小余七一】则光线角之

正丁壬为九九九六七

四八【小余二五】若设己辛为一

千万则丁壬必为一○○

○二八四一此两角正

之比例也既得两之比

例而气差之戊角与视

线交气割线之戊角同

以在地平为最大渐近天

顶则渐小则是二者常相

因而逐度之气差皆可

以两比例而推如求地

平上髙二十度癸己弧之

气差则癸戊乙为视线

子戊乙为光线丑戊甲为

地平上二十度气之割

线戊乙丙角为七十度癸

戊丑角为视线与割线所

成之角其正为癸寅子

戊丑角为光线与割线所

成之角其正为子卯先

用甲戊乙三角形求得戊

角六十九度五十四分一

十五秒【小余五五】即癸戊丑角

又以一千万与一○○○

二八四一之比同于癸寅

与子卯之比而得子戊丑

角为六十九度五十六分

五十五秒【小余九二】两角相减

余癸戊子角二分四十秒

【小余三七】即地平上二十度之

气差也余仿此

地半径差

地半径差者视髙与实髙之差也太阳距地平近则差角大渐髙则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最髙距地心逺则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚逺无地半径差而测量所系只在秒微又有气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤逺地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其説今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最髙为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最髙为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左

康熙十一年壬子秋分前

十四日火星与太阳冲西

人噶西尼于富郎济亚国

测得火星距天顶五十九

度四十分一十五秒利实

尔于噶耶那岛测得火星

距天顶一十五度四十七

分五秒同时用有千里镜

能测秒微之仪器与子午

线上最近一恒星测其相

距噶西尼所测火星较低

一十五秒【如噶西尼测得火星距恒星下

四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十

分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九

度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火

星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度】以

之立法甲为地心乙为富

郎济亚国地面丙为天顶

丁为噶耶那岛地面戊为

天顶己为火星丙戊己庚

为子午线【如两地面不同在一子午线则

须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日

躔厯理】己乙丙角为乙处火

星视距天顶五十九度四

十分一十五秒己丁戊角

为丁处火星视距天顶一

十五度四十七分五秒【地面

为视距地心为实距】辛为恒星辛甲

丙角为乙处恒星距天顶

之度辛甲戊角为丁处恒

星距天顶之度因恒星距

地甚逺地面所视与地心

无异故无地半径差假若

火星亦无地半径差则乙

处火星实距天顶当为己

甲丙角丁处火星实距天

顶当为己甲戊角而火星

与恒星之相距即同为己

甲辛角无髙低之异乃乙

处所测火星距天顶为己

乙丙角较之实距天顶之

己甲丙角低一乙己甲角

是即乙处之地半径差也

丁处所测火星距天顶为

己丁戊角较之实距天顶

之己甲戊角低一丁己甲

角是即丁处之地半径差

也夫火星之距恒星一也

因乙处所测火星距天顶

逺故乙己甲差角大丁处

所测火星距天顶近故丁

己甲差角小则乙处所测

火星距恒星较丁处一

十五秒即两差角相减所

余之丁己乙角乃两处地

半径差之较也既得地半

径差较丁己乙角而欲求

地平上最大差甲壬乙角

则以两处所测火星距天

顶之正相减与地半径

差较秒数之比即同于半

径一千万与地平上最大

差秒数之比盖将己乙线

引长至癸自甲作甲癸垂

线成甲癸乙直角形癸为

直角乙角与己乙丙为对

角即乙处火星距天顶之

度甲癸为地半径差乙己

甲角之正【甲己为半径故】甲乙

为地半径即最大差甲壬

乙角之正【甲壬为半径故】其法

为乙角正与甲癸之比

同于癸直角正一千万

与甲乙之比检表而得壬

角也又将己丁线引长至

子自甲作甲子垂线成甲

子丁直角形子为直角丁

角与己丁戊为对角即丁

处火星距天顶之度甲子

为地半径差丁己甲角之

正甲丁与甲乙等亦为

最大差甲壬乙角之正

其法为丁角正与甲子

之比同于子直角正一

千万与甲丁之比亦检表

而得壬角也夫两视距天

顶之正与两地半径差

正之比既皆同于一千

万与最大差正之比则

两视距天顶正相减之

较与两地半径差正相

减之较之比亦必同于一

千万与最大差正之比

又地半径差角甚小其两

正之较与两角度之较

可以相为比例则两视距

天顶正相减之较与两

地半径差相减所余秒数

之比亦必同于一千万与

最大差秒数之比矣故以

己乙丙角五十九度四十

分一十五秒之正八六

三一三八六与己丁戊角

一十五度四十七分五秒

之正二七二○二三六

相减余五九一一一五○

为一率乙己丁角一十五

秒为二率一千万为三率

求得四率二十五秒【小余三七】即甲壬乙角为火星在地

平上最大之地半径差也

既得火星地半径差甲壬

乙角而欲求太阳地半径

差甲丑乙角据歌白尼第

谷测得火星距地甲壬与

太阳距地甲丑之比如一

百与二百六十六其法当

先用甲乙壬形以乙角正

为一率甲壬为二率壬

角正为三率甲乙为四

率此第一比例也次用甲

乙丑形以甲丑为一率乙

角正为二率甲乙为三

率丑角正为四率此第

二比例也然第二比例之

二率三率即第一比例之

一率四率而一率四率相

乗原与二率三率相乗之

数等故即以甲丑二六六

为一率甲壬一○○为二

率壬角二十五秒【小余三七】为

三率求得四率九秒【小余五三】进为一十秒为丑角度【因壬

丑二角甚小正与角度可以相为比例故壬角用

秒丑角亦得秒】即太阳在地平上

最大之地半径差也

又按上编日躔求地半径

差法以两处恒星距天顶

相减余四十三度五十二

分五十五秒为戊丙弧即

戊甲丙角先用乙甲丁三

角形甲乙甲丁二边俱命

为一千万以甲角折半之

正倍之得七四七三○

二三为乙丁边又以甲角

与半周相减余数半之得

六十八度三分三十二秒

三十微为乙角亦即丁角

次用乙己丁三角形此形

有乙丁边有己乙丁角五

十二度一十六分一十二

秒三十微【半周内减去甲乙丁角又减去

己乙丙角余即己乙丁角】有己丁乙角

一百二十七度四十三分

三十二秒三十微【半周内减去甲

丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己

丁角一十五秒【乙丁二角相并与半

周相减余即己角与前地半径差较合】求得

己丁边八一二七五一二

五一五四【小余二九】次用己丁

甲三角形此形有甲丁边

有丁己边有丁外角一十

五度四十七分五秒【即丁处火

星距天顶】将己丁线引长至子

成甲子丁直角形丁角正

二七二○二三六【小余五】即甲子边丁角余九六

二二九○六即丁子边以

丁子与己丁相加得己子

八一二八四七四八○六

○【小余二九】为股甲子为勾求

得八一二八四七四八

一一二为甲己边与甲壬

等即火星距地心数以地

半径较之其比例为一与

八千一百二十八又以甲

壬为一率甲乙为二率一

千万为三率求得四率一

二三○【小余二四】为壬角之正

检表得二十五秒【小余三七】为火星在地平上最大差

与前法所得数同【上编求日纒地

半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶

南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天

顶之正相加与地半径差总秒数之比同于一千

万与地平上最大差秒数之比耳】

用撱圆面积为平行

太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图説如左

如图甲为地心乙丙丁戊

为黄道己为不同心天之

心庚辛壬癸为不同心天

乙庚为本轮半径与甲己

两心差等以本轮之法论

之最卑时本轮心在乙太