御制历象考成后编

为加也

前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同但日躔从最卑起算月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分二十五秒故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也

又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也

前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也【此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非直角则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣

求初均数

新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云

如图甲为地心乙为本天

心甲乙为最大两心差六

六七八二○丙丁戊己为

月本天乙丙为大半径一

千万与乙庚等乙丁为小

半径九九七七六七五【小余

九○】设太阴平引距最高后

九十度用日躔借角求角

法依甲乙之分截乙丙线

于辛取丙辛壬角为九十

度自地心甲作甲壬线命

甲壬丙分撱圆面积为九

十度与乙丁丙面积等亦

与丙乙丁角度等用甲辛

壬三角形丙辛壬外角为

平引九十度甲辛为倍两

心差一三三五六四○甲

壬与辛壬共为二千万求

得壬角七度三十八分二

十八秒【小余七○】为初均数即

得壬甲丙角八十二度二

十一分三十一秒【小余三○】为

实引试依日躔借积求积

法细推之辛壬边为九九

五五四○一【小余六四】甲壬边

为一○○四四五九八【小余

三六】甲壬丙分撱圆面积为

七八三五四五六三一八

四七七三与最大两心差

之撱圆九十度积七八三

六四四八三二一一一四

二相减余九九二○○二

六三六九为甲壬癸积即

甲壬丙积小于九十度积

之较故知平引距最高九

十度时太阴必在壬防之

后如癸乃依最大两心差

中率半径九九八八八三

二截甲壬线于子截甲癸

线于丑成甲子丑分平圆

面与甲壬癸为同式形【甲壬

长于甲癸然为数无多故为同式形】以甲壬

自乗得一○○八九三九

五六二一三七一五为一

率甲子中率自乗方九九

七七六七五九○四一一

七二为二率甲壬癸积较

为三率求得四率九八一

○一八二○七五为甲子

丑分平圆面积以最大两

心差之一秒积二四一八

六五六八九除之得四十

秒【小余五六】为子甲丑角与壬

甲丙角相加得八十二度

二十二分一十一秒【小余八六】为癸甲丙角即平引距最

高后九十度之实引与平

引九十度相减余七度三

十七分四十八秒【小余一四】即

平引距最高后九十度时

之初均数前用日躔借角

求角法所得实引壬甲丙

角比细推少四十秒盖乙

丁丙为撱圆面四分之一

其积为九十度今命太隂

在壬以甲壬丙分撱圆积

为与乙丁丙积等其实甲

壬丙积比乙丁丙积多一

甲乙寅形少一寅壬丁形

而甲乙寅积仅与寅壬卯

积等以多补少尚少壬卯

丁弧矢积故推得壬甲丙

角比细推少四十秒也【日躔

从最卑起算则推得辰甲戊角比细推为多】又

查日天两心差为一六九

○○○小矢为一四二六

所得实引比细推差百分

秒之六十六月天甲乙两

心差为六六七八二○与

壬卯半等几为日天之

四倍卯丁小矢为二二二

七四【乙丁内减去辛壬余即卯丁小矢也】几

为日天之一十六倍则壬

卯丁弧矢积几为日天之

六十四倍【四因一十六倍得六十四倍】故实引比细推差四十秒

亦几为日躔实引所差之

六十四倍也

今用两三角形法先设丙

乙庚角为平引九十度用

甲乙庚三角形甲乙庚角

为九十度乙庚为半径一

千万甲乙为最大两心差

六六七八二○求得甲庚

乙角三度四十九分一十

四秒【小余三五】又与甲庚平行

作乙己线自甲至己作甲

己线成甲乙己三角形己

乙庚角与甲庚乙角等以

己乙庚角与甲乙庚角九

十度相加得九十三度四

十九分一十四秒【小余三五】为

甲乙己角求得乙甲己角

八十二度二十三分二秒

【小余四一】为平圆引数次以乙

庚大半径一千万为一率

乙丁小半径九九七七六

七六为二率乙甲己角之

正切线为三率求得四率

为乙甲午角之正切线检

表得八十二度二十二分

一秒【小余七九】为实引与平引

九十度相减余七度三十

七分五十八秒【小余二一】即最

大两心差平引九十度之

初均数也此法推得实引

比前细推所得之数仍少

一十秒而较之日躔借角

求角之法则为己宻葢设

丙乙庚角为九十度则乙

庚丙分平圆积乙丁丙分

撱圆积皆为九十度今与

甲庚平行作乙己线甲己

丙面与乙庚丙面相等而

为平圆九十度积则甲午

丙面亦必与乙丁丙面相

等而为撱圆九十度积夫

甲己丙面内有乙己丙形

与甲乙己形乙庚丙面内

有乙己丙形与乙己庚形

甲乙己积与乙己庚积相

等则甲己丙积即与乙庚

丙积相等试自己至庚作

己庚直线则乙己庚与甲

乙己为二平行线内同底

同高之两三角形其积相

等【乙己原与甲庚平行庚未正与甲申垂线等

以乙己底与庚未高相乗折半得乙己庚三角积以

乙己底与甲申高相乗折半得甲乙己三角积庚未

旣与甲申等故两三角积必等也】是甲乙

己形比乙己庚形尚少庚

酉巳弧矢积而甲己丙分

平圆面比乙庚丙平圆九

十度积甲午丙分撱圆面

比乙丁丙撱圆九十度积亦

少庚酉已弧矢积故求得实

引比细推少一十秒即庚酉

巳弧矢积之度然为数无多

非若差壬卯丁弧矢积者比

故其法较日躔为己宻也又

以日躔之法明之日躔设太

阴在壬其甲壬丙分撱圆面

积比乙丁丙撱圆九十度积

少壬卯丁弧矢积故实引壬

甲丙角少四十秒今平引用

乙角甲乙与乙辛等而乙庚

长于辛壬则与甲庚平行之

乙己线必在壬防下减巳甲

午撱圆差角太阴午防亦必

仍在壬防下是甲午丙积比

甲壬丙积

即多甲午壬积足与所少

壬卯丁弧矢积相补故求

得实引午甲丙角即比壬

甲丙角大一午甲壬角以

数计之已午畧与卯丁等

甲戌畧与甲辛等则甲已

午三角积为壬卯丁勾股

积之二倍而甲午壬积约

为甲己午积之一半故甲

午壬积与壬卯丁勾股积

等比壬卯丁弧矢积仅少

壬亥丁一小弧矢积故实

引止少一十秒且此之平

引为九十度乃差之最大

者九十度前后愈近最高

最卑其差愈少故推太阴

初均用此法也

依前法设平引九十度甲

乙为最小两心差四三三

一九○求得乙甲午角八

十五度二分二十九秒为

实引与平引九十度相减

余四度五十七分三十一

秒为最小两心差平引九

十度之初均数又设甲乙

为中数两心差五五○五

○五求得乙甲午角八十

三度四十二分一十秒为

实引与平引九十度相减

余六度一十七分五十秒

为中数两心差平引九十

度之初均数如设平引九

十度日距月最高四十五

度两心差为五六二八六

六求初均数则以最大两

心差与中数两心差相减

余一一七三一五为一率最

大两心差之初均数与中数

两心差之初均数相减余一

度二十分八秒化作四千八

百零八秒为二率今有之两

心差与中数两心差相减余

一二三六一为三率求得四

率五百零七秒収作八分二

十七秒与中数两心差之初

均数相加得六度二十六分

一十七秒为平引九十度两

心差五六二八六六之初均

数盖均数因两心差为大小

故初均大小之差即用两心

差之较为比例若以甲乙两

心差五六二八六六用两三

角形法算

之则得乙甲午角八十三度

三十三分四十三秒为实引

与平引九十度相减余六度

二十六分一十七秒为初均

数与用两心差之较为比例

所得数同故初均表止列大

中小三限为省算也余仿此

求一平均

新法算书推歩朔望惟用初均数若月在本天最高或在本天最卑则平行与实行合为一线并无初均数矣刻白尔以来奈端等屡加测騐谓月在最高最卑虽无初均数而日在最卑后则太阴平行常迟最高平行正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交平均则兼左旋右旋两差之故焉以太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十

八秒六二为　　　　　　　　　　　　　　　　　【十三秒变时得七分四十】二率太阳中距均数一度【每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒】五十六分一五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収为一十一分四十九秒为太阴一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度巳差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行太阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加巳过子正应减之时差行又其在外者也故以一日太阳平行三千五百四十八秒三三为一率一日最高平行四百零一秒○七为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒为三率求得四率七百八十八秒一六加四倍时差最高行八秒用一五因之再加最高时差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒为最高一平均又以一日太阳平行为一率一日正交平行一百九十秒六三为二率太阳中距均数为三率求得四率三百七十四秒六二加四倍时差正交行四秒用一五因之再加正交时差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒为正交一平均最高顺行故加减与太阳均数同正交退行故加减与太阳均数相反是为太阳实行至子正时之最高平行与正交平行也最高一平均与旧表合太阴一平均正交一平均皆少一秒今仍用旧数既得太阳中距之平均而逐度之平均皆由太阳均数立算故以太阳中距均数与中距平均之比即同于太阳逐度均数与逐度平均之比也测法附后

如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高当日天最高丙太阳在中距丁太阴在最卑戊上测得太阴实行比平行多一十四分一十五秒太阴在最高丙下测得太阴实行比平行多九分二十五秒又设太阳在中距己太阴在最高丙上测得太阴实行比平行少九分二十五秒太阴在最卑戊下测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣而上则多数大少数小下则多数小少数大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也

又设太阳在丁月天最高在丁距日天最高后九十度太隂在丁合朔测得太隂实行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己望测得太隂实行比平行多九分二十五秒又设太阳在己月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己合朔测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高后九十度太阴在丁望测得太隂实行比平行少九分二十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高后九十度则多数大少数小月天最高在己距日天最高后二百七十度则多数小少数大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也

又设太阳在庚距最高后四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔测得太隂实行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望测得太隂实行比平行多六分三十二秒又设太阳在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔测得太隂实行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望测得太隂实行比平行少六分三十二秒两测太阳距最高前后皆四十五度而在最高后庚太隂实行皆比平行为多在最高前壬太隂实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最高前则减为一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高后四十五度则多数大月天最高在辛距日天最高后二百二十五度则多数小月天最高在壬距日天最高后三百一十五度则少数大月天最高在癸距日天最高后一百三十五度则少数小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得八分一十五秒为太阳距最高前后四十五度之一平均最高后为加最高前为减也查太阳最高前后四十五度之均数为一度二十分五十七秒以太阳中距之均数一度五十六分一十三秒与中距一平均一十一分五十秒之比同于最高前后四十五度之均数一度二十分五十七秒与四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均当以逐度太阳均数为比例也

又设太阳在最高后中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正当交防此时应无初均惟一平均应加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均应加二分二十五秒然测太隂实行比平行多一十九分一十四秒较之一平均与三均应加之数仍多四分五十九秒为最卑后三十四分一十一秒所应加之初均数夫太隂本在最卑以一平均与三均应加之数计之应在最卑后一十四分一十五秒是必最高又有减差太隂始得在最卑后三十四分一十一秒乃于三十四分一十一秒内减一平均与三均应加之一十四分一十五秒余一十九分五十六秒为太阳在最高后中距应减之最高平均也又此时太隂正当交防应无距纬然测太阴纬度在黄道北二十六秒为太隂距正交后四分四十五秒之纬度夫太隂本在交防以一平均与三均应加之数计之则应距正交后一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交后四分四十五秒乃于一平均与三均应加之一十四分一十五秒内减四分四十五秒余九分三十秒为太阳在最高后中距应加之正交平均也太阳在最高前仿此

求二平均

前篇言太阴在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四十五