御制历象考成

之度其两距度之较即太

阴之径也

以上诸法逐时测量即得

太阳太阴自髙及卑之各

半径以立表又法不用逐

时测量止测得最髙最卑

时之两半径相减用其较

数与本轮之矢度为比例

即可得髙卑间之各半径

数也如太阳最髙之径为

二十九分五十九秒最卑

之径为三十一分零五秒

相差一分零六秒化为六

十六秒今求距髙卑前后

六十度之视径则命本轮

径为二千万为一率六十

度之矢五百万为二率径

差六十六秒为三率得四

率一十六秒半以加最髙

之径二十九分五十九秒

得三十分一十五秒半为

最髙前后六十度之视径

以减最卑之径三十一分

零五秒得三十分四十八

秒半为最卑前后六十度

之视径也太阴之法并同

求日月实径与地径之比例

日月地三体各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月髙卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大致相符足征其説之有据而非诬也

凡明暗两体相对明体施

光暗体受之其背即生黑

影若两体同大则其影成

平行长圆柱形其径与原

体相同其长至于无穷而

无尽也如甲图然若明体

小暗体大则其影渐大成

圆墩形其径虽与原体相

同其长至于无穷其底之

大亦无穷也如乙图然惟

明体大暗体小则其影渐

小成尖圆体其径与原体

等其下渐小而尽成鋭角

如丙图然使日小于地或

与地等则地所生之影宜

如甲乙两图其长无穷今

地影不能掩荧惑何况嵗

星以上诸星是地影之长

有尽必如丙图而日之大

于地也其理明矣又凡人

目视物近则见大逺则见

小如丁戊与己庚两物同

大人目视之成两三角形

丁戊近目其两腰短故底

之对角大己庚逺目其两

腰长故底之对角小若去

人目有逺近而视之若等

则逺者必大近者必小今

仰观日月其径畧等而日

去地甚逺月去地甚近则

月必小于日也可知矣夫

地径小于日而地影之径

又渐小于地月过地影则

食食时月入影中多厯时

刻而后生光则月必小于

地影月既小于地影则其

必小于地也又何疑焉求

日实径之法如图甲为地

心乙为日心甲乙为两心

相距乙甲丙角为日视半

径角乙丙为日半径用甲

乙丙直角三角形此形有

丙直角有甲角十四分五

十九秒三十微为日在最

髙之视半径有乙甲边一

千一百六十二为日在最

髙距地心之数求得乙丙

五又百分之七为日实半

径即为地半径之五倍又

百分之七也求月实径之

法仿此

地影半径

太阳照地而生地影太阴过影而生薄蚀凡食分之浅深食时之乆暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有逺近距地逺者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而逺地细太阴行最卑距地近则过影之麤处其径大行最髙距地逺则过影之细处其径小此由太阴而变易者也今依太阳在最髙所生之大影为率而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数求其相当之影半径为影半径表复求得太阳従髙及卑所生之各影各求其太阴在中距所当之影半径俱与太阳在最髙所生之大影相较余为影差列于本表之下用时以太阴引数宫度查得影半径复以太阳引数宫度查得影差以减影半径即得所求之地影实半径也

如图甲为地球乙丙皆为太阳乙为最髙丙为最卑太阳従最髙乙发光则地影长大为丁己戊従最卑丙发光则地影短小为丁庚戊太阴遇丁己戊大影而在最髙辛则其所当之影径如辛壬

在最卑癸则其所当之影径如癸子若太阴遇丁庚戊小影而在最髙辛则其所当之影径如丑寅在最卑癸则其所当之影径如卯辰其两半径之较为辛丑与癸卯是所谓影差也

求地影半径有二法一用推算一用测

量而推算所得之数比测量所得之数常多数分盖因太阳光大能侵削地影故也如甲为地球乙丙丙丁为太阳实半径従乙丁作两线切地球戊己两边而交于庚则成戊庚己影然太阳光芒常溢于原体之外如辛壬従辛壬作两

线切地球戊己两边而交于癸则成戊癸己影而小于戊庚己影论其实则推算之数为真欲合仰观则测量之数为准故地影表所列之数皆小于推算之数也

推算之法命地半径甲己为一百分则太阳实半径丙丁为五百零七分【太阳实径】

【为地径之五倍又百分之七今以地半径为一百分则太阳实半径为五百零七分】以甲己与丙丁相减余丙子四百零七乃以丙子四百零七为一率太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百【即地半径之一千一百六十二倍】为二率甲己地半径一百为三率得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长盖丙子甲勾股

形与甲己庚勾股形为同式形故其相当各界皆可为比例也既得甲庚地影之长乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二【即地半径之五十六倍又百分之七十二】余二万二千八百七十八为丑庚于是用丑庚寅

直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒为太阴在中距时所过地影之半径查地影半径表为四十四分四十三秒多三分五十一秒

测量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其实引为二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半径零百分之四十一测得纬度在黄道北三十六分一十八秒月半径为一十六分一十秒食分为二十三分三十秒乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒为食甚距纬与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内减月半径一十六分一十秒余四十三分四十六秒为地影半径查地影半径表为四十三分五十四秒相差八秒乃本时太阳之影差也【表数乃太阳在最髙之影今太阳在八宫故差八秒】如图子丑寅为黄道卯辰己为白道卯子寅己为地影午丑为地影半径未申酉为月未辰为月半径月行白道従卯至辰距地影心丑最近是为食甚午酉即为食分辰戌为黄道纬度辰丑即白道纬度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角与黄白交角等有戌直角有辰戌边求得辰丑为食甚距纬以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑内减与月半径未辰相等之亥午余午丑即为地影之半径也推算所得之数既大于测量所得之数则太阳光大之能侵削地影可知矣然不得太阳之光分虽逐时测量又有影差杂于其内则地影之大小终不能得其真今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准【前测月食实引二宫三度近中距而其影畧与表合故以中距之地影为准】求太阳之光分命地半径甲巳为一百分则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二丑甲寅角即为四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八甲寅为五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形【巳为直角】求得巳甲寅角为八十

八度五十九分二十四秒于象限内减去巳甲寅角又减去丑甲寅角余一十五分五十三秒为卯甲己角乃用卯甲己直角三角形【已为直角】求得甲卯为一百又千分之一甲卯内减去与丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一为辰卯于是以卯辰寅勾股形【辰寅与甲丑等】与卯甲

庚勾股形为比例得甲庚二万一千六百三十二即地影之长又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例得丙丁六百三十七即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也既得丙丁太阳之光分又得甲庚地影之长乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳

五千八百一十六余己庚一万五千八百一十六以甲卯庚勾股形与巳午庚勾股形为比例得巳午七十三小余一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒为太阴在最髙所过地影之半径于甲庚内减太阴在最卑距地心之甲未五千四百八十四余

未庚一万六千一百四十八以甲卯庚勾股形与未申庚勾股形为比例得未申七十四小余六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒为太阴在最卑所过地影之半径比旧表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖旧表固由实测要亦准于太隂之髙卑今测太阴之在最髙较旧数为稍卑故月径大而影径亦大太阴之在最卑较旧数为稍髙故月径小而影径亦小然月径约以三十分为十分影径差一十二秒食分止差四秒固不失为密合况影径随月径而大小尤不致舛谬也于是以随时太阴距地心之地半径数各与地影之长相减以求得地影之半径线又各求其相当之角即得太阴随时之影半径以立表

求影差之法用太阳在最髙所生之长影求得太阴在中距时所当之影半径四十四分四十三秒为率而以太阳在最卑所生之短影亦求得太阴在中距

所当之影半径为四十四分零八秒相

差三十五秒为太阳最髙最卑两限之

影差其余影差俱依此例推之

御制厯象考成上编卷六

钦定四库全书

御制厯象考成上编卷七

交食厯理二【専论月食】

太隂食根

月食分秒

月食五限时刻

见食先后

定月食方位

绘月食图

太阴食限

食限者推太阴交周度距交若干为入食限之始也太阴半径与地影半径相切即入食之限故以两半径相并之数当黄白两道之距纬度而求其相当之经度得距交一十一度一十六分四十五秒为必食之限距交一十二度一十六分五十五秒为可食之限盖必食者无不食可食者或食或不食也二者皆实望之限若论平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即为有食之限矣解之如左

地影半径最小者四十二

分三十八秒太阴半径最

小者一十五分五十三秒

三十微相并得五十八分

三十一秒三十微黄白距

纬度在此数以内者月必

食以此数当距纬求其经

度则用黄白大距四度五

十八分三十秒之正切与

半径为比例即得一十一

度一十六分四十五秒为

必食之限如图甲乙为黄

道甲丙为白道甲为二道

之交乙为地影心丙为月

心两周相切于丁乙丁丙

为两半径之共数若距度

在此数以内则月周侵入

地影内而见食故用甲乙

丙正弧三角形求甲丙交

周度距交若干此形有丙

直角有甲角黄白大距度

四度五十八分三十秒有

乙丙两半径相并五十八

分三十一秒三十微今以

甲角正切与半径之比同

于乙丙距纬正切与甲丙

经度正之比而得一十

一度一十六分四十五秒

为甲丙距交之度也

地影半径最大者四十六

分四十八秒太阴半径最

大者一十六分五十一秒

相并得一度零三分三十

九秒黄白距纬度在此数

以内者月可食以此数当

距纬按前法求经度得一

十二度一十六分五十五

秒为可食之限其或不食

者何也盖必两半径俱最

大而后得食若有一半径

畧小即两周不得相切而

不食矣平望之限又寛于

实望之限而为一十四度

五十四分何也盖太阳最

大之均数二度零三分一

十一秒太阴最大之均数

四度五十八分二十七秒

相并得七度零一分三十

八秒为两实行相距最逺

之度如图甲为地心乙为

黄道上平望之点日之实

行正对之度在丙乙丙弧

为二度零三分一十一秒

月之实行度在丁丁乙弧

为四度五十八分二十七

秒两实行相并得丁丙弧

七度零一分三十八秒为

日实行正对之点与月实

行相距之度迨月实行逐

及于日实行正对之丙则

曰正对之点又行三十一

分余至戊月更行至戊则

日正对之点又行二分余

至己月必又行至己方为

实望共计乙己弧得二度

三十七分有余为实望距

平望之数以此数与实望

之限相加得一十四度五

十四分乃为平望之食限

也

月食分秒

月食分数之浅深视黄白距纬之多少距纬愈少太阴心与地影心相去愈近则太阴入影愈深故用太阴半径地影半径相并而与距纬相较并径大于距纬之较即为月食之分若并径小于距纬则月不食若太阴恰当交点而无距纬则并径全为食分为月食之最深也但太阴与地影之半径分秒皆系弧度而论食分则以太阴全径直线计之其法命太阴全径为十分以太阴视径分秒与并径距纬之较之比【无距纬者即以并径为比】同于太阴全径与食分之比也

如图甲乙为黄道丙乙为

白道乙为二道之交丙甲

丁戊己庚皆为黄白距度

辛甲壬戊癸庚子乙皆为

地影半径丙丑丁寅己卯

乙辰皆为太阴半径如太

阴心在丙地影心在甲丙

丑辛甲两半径相并小于

丙甲距纬则太阴不入于

影故不食也如太阴心在

丁地影心在戊丁寅壬戊

两半径相并大于丁戊距

纬其较为壬寅即太阴入

影之分也又如太阴心在

己地影心在庚己卯癸庚

两半径相并大于巳庚距

纬其较为癸夘与太阴全

径相等即太阴入影之分

此为月食十分盖月体全

入影中才食既而即生光

也又太阴恰当交点全无

距纬太阴心地影心相防

于乙即以子乙乙辰两半

径相并为太阴入影之分

月食遇此其食分为最深

也设太阴在最髙其视半

径一十五分五十三秒三

十微地影半径四十三分

一十三秒相并得五十九

分零六秒三十微乃以太

阴视径三十一分四十七

秒为一率并径五十九分

零六秒三十微为二率太

阴全径十分为三率得四

率一十八分三十七秒为

月食之最大分也

月食五限时刻

月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初亏月将入影两周初切也一曰食既月全入影其光尽掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰复圆月全出影两周方离也是二者在食甚后月食十分以上者有五限十分以下者止三限无食既与生光也其时刻之多寡则由于入影之浅深过影之迟速盖距纬有寛狭寛则入影浅而时刻少狭则入影深而时刻多又月与影之半径各有小大月大影小则过影速而时刻少月小影大则过影迟而时刻多抑且自行有迟疾迟则出影迟疾则出影速故虽距纬同半径同而自行不同即时刻亦不同也其食甚前后各限相距之时刻恒等而食甚又非实望之时所差虽微而理则实异夫地影之心即太阳正对之点地影心距交之黄道经度与月心距交之白道经度等是为东西同经即为实望然月心与影心斜距犹逺惟従白极出弧线过影心至白道与白道成直角月心临此直角之点乃为食甚盖惟此时月心与影心相距甚近食分最深也

如图甲乙为黄道甲丙为

白道甲为交点丙为实望

之度丁戊己庚为地影乙

为影心甲乙与甲丙等辛

壬癸子丑为五限月心所

在辛为初戊为初之

点壬为食既丁为食既之

点癸为食甚癸乙为食甚

距纬较丙乙为近此线引

长必过白极故与白道成

直角子为生光庚为生光

之点丑为复圆己为复圆

之点癸丙为食甚距实望

之弧辛癸为初距食甚

之弧与复圆距食甚之癸

丑弧等壬癸为食既距食

甚之弧与生光距食甚之

癸子弧等故求得食甚前

两限距食甚之时刻以减

食甚时刻得食甚前两限

之时刻以加食甚时刻得

食甚后两限之时刻也若

以丙为食甚则丙乙之距

大于癸乙必非入影最深

之处而前后各限之距俱

不相等矣

推食甚时刻求癸丙弧法

用乙甲癸正弧三角形此

形有癸直角有甲角有甲

乙黄道度与甲丙交周度

等求得甲癸以甲癸与甲

丙相减得癸丙乃用变时

法以一时之月实行与一

时之比同于癸丙度分与

食分之比即得时之若干

分秒而行癸丙弧为食甚

距实望之时分加减实望

时刻即得食甚之时刻矣

推初复圆时刻用辛乙

癸正弧三角形此形有癸

直角有癸乙弧有辛戊月

半径与戊乙影半径相加

之辛乙弧求得辛癸为初

距食甚之弧亦用一时

之月实行比例得时分以

减食甚时刻得初时刻

以加食甚时刻得复圆时

刻也

推食既生光时刻用壬乙

癸正弧三角形此形有癸

直角有癸乙弧有丁壬月

半径与丁乙影半径相减

之壬乙弧求得壬癸为食

既距食甚之弧亦用一时之

月实行比例得时分以减食

甚时刻得食既时刻以加食

甚时刻得生光时刻也

见食先后

月食深浅分数天下皆同而复各限时刻不同者非月入影有先后乃人居地面有东西也盖日之所之为时随人所居各以见日出入为东西日中为南为子午而平分时刻故其地同居一子午线者虽南北悬殊【北极出地髙下不同】而时刻不异若东西易地虽北极同髙而西方见食必先东方见食必后也凡东西差一度则时差四分今以京师为主视各省之子午线在京师东者以时差加在京师西者以时差减皆加减京师各限时刻为各省各限时刻也是故欲定各省之时刻必先定各省之子午线而欲定各省之子午线非分测各省之月食其道无由也

定月食方位

厯来厯书定月食初复圆方位距纬在黄道北初东南复圆西南在黄道南初东北复圆西北食八分以上则初正东复圆正西此东西南北主黄道之经纬言非谓地平经度之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫初度望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有斜正而加时距午有逺近故两经纬迥然各别而所推之东西南北必不与地平之方位相符不如实指其在月体之上下左右为众目所共覩乃为亲切也其法従天顶作髙弧过月心至地平即分月体为左右两半周乂平分为上下两象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分为东西两象限乃于初复圆二限各求其黄道交髙弧之角若月当黄道无距纬而交角满九十度则初正左复圆正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初左稍偏上复圆右稍偏下交角在四十五度以下初上稍偏左复圆下稍偏右在黄道东象限者反是若月在交前后有距纬则又须求得纬差角与髙弧交角相加减为定交角然后可定其上下左右也加减之法月距黄道北而在西象限初为加复圆为减在东象限初为减复圆为加月距黄道南者反是乃视定交角为相加者在九十度以内则复之上下左右如前论若过九十度为钝角则易象限之上下又或定交角为相减者而交角内减去差角则复之上下左右如前论若差角内减去交角则易象限之左右也

求黄道髙弧交角如图甲

乙丙为子午规甲为天顶

乙丙为地平甲丁戊为髙

弧己庚辛为黄道壬庚癸

为赤道庚为春分子为北

极子丑丁为过极经圏丁

庚为月距春分黄道度丑

庚为月距春分赤道度【度】壬丑为月距正午赤道【即食

甚时太阳距子正赤道度】壬庚为春分

距正午赤道度月实行度

在丁求黄道与髙弧相交

之丁角先用庚辛癸斜弧

三角形求黄道交地平之

辛角此形有庚角为春分

角有癸角为赤道髙减半

周之余有庚癸春分距地

平弧为春分距正午之余

求得辛角为黄道交地平

之角并求得庚辛弧为黄

道距地平之边乃以丁庚

月距春分度与庚辛弧相

加得丁辛弧因用丁辛戊

正弧三角形求丁角此形

有丁辛弧有辛角有戊直

角即求得丁角为黄道与

髙弧相交之角也

纬差角者初复圆时月

与地影两心相距之线与

黄道相交之角也如图甲

乙丙为黄道丁戊巳为白

道乙为地影心庚戊辛皆

为月心乙戊为距纬即食

其时两心相距之数乙庚

为并径即初时两心相

距之数壬庚为距纬乙辛

亦并径为复圆时两心相

距之数癸辛为距纬如月

适当黄道无距纬则初

复圆时两心相距之线与

甲乙丙黄道相合而无差

角矣因有纬度故乙庚两

心相距之线与甲乙丙黄

道相离即成甲乙庚角乙

戊之距愈寛其差角愈大

也法以乙庚并径之正与

初距纬壬庚之正为比

同于半径一千万与乙角之

正为比即初之纬差角

也又以乙辛并径之正与

复圆距纬癸辛之正为比

同于半径一千万与乙角之

正为比即复圆之纬差角

也月正当交点无距纬

则无纬差角如图甲乙丙为

黄道一象限庚为初月心

辛为复圆月心如在黄道西

象限则黄道左昂右低而甲

乙丑或丙乙卯交角在四十

五度以上故初子点在月

体之左稍偏上复圆寅点在

月体之右稍

偏下也【如交角在四十五度以下则初为