御制数理精蕴

用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩

假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物髙亦一也今以影较为矩度股之句表间为物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测髙术量足至物之数故与矩度相乗而得物髙此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影

以目测高

不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测髙术同不另具假令与图

解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论髙深广逺俱可入算不爽毫厘

变影

前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】

假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺

陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也

假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全髙一十三尺三寸三分

陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望髙之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约畧其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望髙然后以矩之甲角渐运渐髙其权线之切于一度者必矩之甲角髙于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角髙于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉髙十二尺如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即权线之影髙一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之髙为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之髙十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测髙观亦可以作容方求余句余股观【言图未载】

解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测髙于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐髙而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳

测深测广

用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是

假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺

假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二

解曰测深亦以小句股与句求股也故与测髙同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从髙望逺测逺为广】

测逺

从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算

假如髙六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度【十二】与髙【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺

右二则俱从髙测逺其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从髙测逺同不另立假如

解曰测逺者以小句股与股求句也视测髙之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从髙至逺斜望数也

句股矩测解原卷下

<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>

钦定四库全书　　　　　子部六

少广补遗　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案少广补遗一卷

国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反覆相求各立一法虽图説未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总校官【臣】陆　费　墀

钦定四库全书

少广补遗

海宁陈世仁撰

少广补遗第一篇

凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖

置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数

二立尖

置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数

三倍尖

除原实末必五数进一十除之得本数之底数

四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】

置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数

五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】

置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数　从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数

六抽竒平尖

置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数

七抽偶平尖

置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数

八抽偶数立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之】

以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数

九抽竒数立尖

三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数

十抽竒偶数方尖

前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数

十一抽偶再乘尖

二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数

十二抽竒再乘尖

二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数

少广补遗第二篇

开抽竒抽偶立尖

一本尖内层数偶者去之

置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数

二本尖诸层内数偶者去之

原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数

三本尖内层数竒者去之

一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数

四本尖诸层内数竒者去之

原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数

少广补遗第三篇

准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形　诸尖先得径数以法算得底数一平尖

径之半平方加半纵减原实为正实　以径除正实得数径数加之

二抽竒平尖

径之平方加一縦减原实为正实　径除正实得数倍径加之

三抽偶平尖

径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之

四立尖

径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之　径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之

五方尖【诸数自乗依根数序次相并】

四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实　径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之

少广补遗第四篇

开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数

一抽偶立尖【本尖内层数偶者去之】

置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实　径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之　径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之

二抽偶立尖之二【本尖内层数及诸层内数偶者皆去之】

置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之

三抽竒立尖【本尖内层数竒者去之】

置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之　径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之

四抽竒立尖之二【本尖内层数及诸层内数竒者皆去之】

以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之

五抽竒偶方尖【诸自乗数依根数竒偶序次相并】

置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实　径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之

少广补遗第五篇

开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数

其一得径偶

径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实　以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除

正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之　半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之　如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条

如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之　半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之

其一得径竒

置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实　置径减一而二除之为法分法之竒偶御之　法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之　偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之　凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之　余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准

少广补遗第六篇

开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之　先得径数以法算得底数

其一得径偶

置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之　半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之　上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条

置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实　以半径除半正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之　半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之

其一得径竒

置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实　复置径减一折半为法视法之竒偶分御之　法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率　法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率　凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之

少广补遗第七篇

准本章多乘方以立尖形律余尖得四法

一方尖准立尖

如数一　一四　一四九

一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数

二抽偶方尖准立尖

三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数

三抽竒方尖准立尖

三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数

四立尖还准立尖

如数一　一一二　一一二一二三

六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数

少广补开尖法设如

第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条

平尖设如　原数六

倍数一十二　带一縦方根三

尖之实　一　二　三

立尖设如　原数十

六因数六十　阙一縦立方根四　减一得三

尖之实　一　一二　一二三

倍尖设如　原数七

二除数三五　末五进一十除得四

尖之实　一　二　四

方尖设如　原数十四

三因数四十二　立方二十七　平方九　半平方四五　半方根一五

尖之实　一　四　九

再乘尖设如　原数三十六

二除数十八　内复减原实余一四四　平方根十二带一縦方收得三　三数逆至尖得中数二二乘三

得六

尖之实　一　八　二十七

再乘尖又设如　原数一百

二除数五十　复减原实余四　平方根二十　一縦方收得四　四数逆至尖得对数二　加五数于对数之次得二五四因二五得十

尖之实　一　八　二十七　六十四

抽竒平尖设如　原数十二

一縦方根三　对数三全数六

尖之实　二　四　六

抽偶平尖设如　原数九

平方根三　中数三全数五

尖之实　一　三　五

抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如　原数十四

方尖法开之得三　中数三全数五

尖之实　一　一三　一三五

抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如　原数二十

三因数六十　阙一縦立方根四　四减一得三　对数三全数六

尖之实　二　二四　二四六

抽竒偶数方尖设如原数三十五

六因数二百一十　阙一縦立方根六　六减一得五全数五中数三

尖之实　一　九　二十五

又设如　原数五十六

六因数三百三十六　阙一縦立方根七　七减一得六　全数六对数三

尖之实　四　十六　三十六

抽偶再乘尖设如　原数一百五十三

二除数七六五　阙半縦平方根九　复方之三　中数三全数五

尖之实　一　二十七　一百二十五