御制数理精蕴

廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法【所谓带纵者二不带纵者一也】或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿此

立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作防求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法

次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余仿此

凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子

维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也

若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数

用筹法

开方用筹防法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加防矣存前法者所以着其理用防法者所以善其事

既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹【如商根为四则用八商根为六则用十二】以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位

若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余仿此

凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣

若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数】

视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余仿此

隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平防小隅可合为一法长防之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长防之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平防大于隅二位而长亷只大一位也盖平防者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平防与隅如百与单相去二位也若长防则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也

若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长防法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法或长防不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平防下小隅上加四空位筹长防积下加三圈

盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平防者初商之自乗百乗百成万故平防与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理【平防原大二位加二空筹则大四位矣】

初商与三商既如百与单则长防与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也

命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣

若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平防可得十九分步之九在长防与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长防法六步乗之得一万○二百六十分为长防差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积

庄氏算学卷一

钦定四库全书

庄氏算学卷二

淮徐海道庄亨阳撰

几何原本举要

凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界

为凡角大小之规也

二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成

之二角俱为相等

在平行线上作一斜直线即成八角此八角之

庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等

凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也

若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知

凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者

凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也

凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也

凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至

一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形

凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等

于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分

凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中

凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分

四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必

等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊

己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也

两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然

凡众角形自角至心作线有防界即成防角形若作六界即成六三角形矣

欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角

度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也

凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆

凡一直线横分圆界谓之如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆

之弧分之角

凡自之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角

自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外

凡在圆线若自圆心作垂线可以平分线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂

线便是平分也

凡自圆外一防至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐

线互为垂线而两线相遇之角

必俱为直角又于两直角作一

对角线是谓线而成丁乙丙

与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣

凡圆有两线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等

于甲乙辐线末作垂线者切线也甲

辐线割圆于戊而至丁者割线也戊

垂线至己者正也凡立于乙戊弧

之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也

三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一

小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也

自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有防何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心

角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也

圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎

凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧

之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也

凡圆之界角若在半圆分之大分内必为鋭角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此

心角形所对既不足圆界四分之一则为鋭角也既为鋭角则甲乙丙角必为鋭角可知矣

函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也

有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也

一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也

有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也

众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也

有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣

凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线

相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面

平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面

自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处

不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣

平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣

凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成鋭角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣

众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也

平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也

相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也

二平行而上凡相当之各二线俱为平行也

二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状

各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄防是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成鋭尖此谓尖圆体也

所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣

凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也

凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体

平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也

平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例

平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也

平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节

平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半

各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳

凡等式体苟立于等积之底其体之髙若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也

有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其髙数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见

凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体

厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣