御制数理精蕴

得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数

设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干

法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数

设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干

法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数

设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行防日初末两日各该若干里

法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里

设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干

法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数

设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆

法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例

设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干

法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例

设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干

法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数

设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干

法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干

法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价

设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干

法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数

设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干

法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得

以上系超位加减

设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干

法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙

设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干

法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归【四人用三归若三人则用二归五人则用四归也】得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半

设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数

法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数

设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干

法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干

法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数

设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数

法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳防何

法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石

设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干

法以十八分为第一次比第七次所多衰数【第一至第七隔六位应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖

边求积

设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何

法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法

积求边

设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何

法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长

如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之

庄氏算学卷三

<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>

钦定四库全书

庄氏算学卷四

淮徐海道庄亨阳撰

曲线体

设长圆体径与高皆七尺问积几何

法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也

又法以长圆体径七尺求得圆周数与髙七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也

又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以髙七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率三四二四率二六九三九一五六九九○九】

设尖圆体底径六尺中髙六尺问积几何

法以底径六尺求得底面积数以髙六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也

又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也

【一率一○○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率七二　四率五六四八六六七七三六】

又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率二六一七九九三八八三率二一六　四率五六五四八六六七八○八】

设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何

法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股数即中垂线之髙也

【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙】

设圆球径二尺问外面积几何

法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也

【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积】

设圆球径一尺二寸问积几何

法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也

又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也

又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率一七二八　四率九○四七七八六八三】

又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也

又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也

设圆球积六尺问径几何

法以球积一○○○○○○○○　为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率

求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也

【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九二一七　三率六　四率一一四五九一五五九】

【○二】

又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也

【一率一○○○○○○○○　二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○　四率二二五四五○二】

设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何

法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也

又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率九六　四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何

法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】

【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九三一七　三率五○四率九五四九二九六五八五○】

设上下不等圆面体上径四尺下径六尺髙八尺问积几何

法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与髙八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也

又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙乃以下径六尺求得圆面积数与所得共髙数相乗得数三归为大尖圆体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余数为上尖圆体之髙以上径四尺求得圆面积与上髙数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也

又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也

【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率二○二六六六六六六六六　四率一五九一七四○二七七○一】

又防法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也

设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何

法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与髙十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也

又防法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以髙十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也

设截球体一段髙二寸底径九寸六分问积几何

法以髙二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加髙二寸为

圆球之全径折半为圆球之半径又以髙二寸为勾底径折半为股求得五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也

【七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数】

设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何

法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也

【一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七　三率二○○四率三八一九七一八六三四】

设圆窖一座周二十四尺髙十尺问盛米若干

法以周二十四尺求得圆面积数与髙一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也

【一率二千五百寸　二率一石　三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余　四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】

设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各几何

法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九

五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也

【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四　三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何

法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积

与髙五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也

【一率二五　二率一　三率二五九九五三○六八二　四率一○三九八一】