御制数理精蕴

率十八两减朒三两余十五两为银数也或以每人七钱五分为二率推得四率九两加盈六两亦得十五两为银数也此法以四人除三两以六人除九两皆为度尽之数若数有竒零度不尽者则必用互乗之法而后可

又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两又以三十六两互乗盈六两为加三十六倍得盈二百一十六两以六人互乗三两得一十八两又以一十八两互乗朒三两为加十八倍得朒五十四两两数相加得二百七十两为二率十八倍与三十六倍相减余十八倍为一率一倍为三率推得四率十五两为银数既得银数乃以三两为一率四人为二率十五两减盈六两余九两为三率推得四率十二为人数或以九两为一率六人为二率十五两加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数也盖单法以所分之数相减为一率以所分之数互乗盈朒之数相减为二率一倍为三率得四率为银数今则三两为四人之所分九两为六人之所分其数不同即三两与九两互乗亦皆得二十七两而一则为三十六人分二十七两【加九倍也】一则为十八人分二十七两【加三倍也】其数亦仍不同不可相为比例故必以四人六人互乗为二十四人以齐其人数又必以十八与三十六互乗盈朒之数以齐其所分银数然后人数与所分银数俱同可以设为比例是以十八两加三十六倍三十六两加十八倍皆为六百四十八两即如三十六倍其银数则每二十四人分六百四十八两盈二百一十六两若十八倍其银数则每二十四人分六百四十八两朒五十四两也然则盈朒相差二百七十两即十八倍银数之所差矣故十八倍与二百七十两之比即同于一倍与十五两之比而为比例四率也既得银数而减盈加朒为比例四率者盖以所分之银数与防何人之比即如减盈加朒之縂银数与縂人数之比也

又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率以互乗所得之十八两为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率九两加盈六两得十五两为银数【为一若以三十六两为二率则得四率十八两减朒三两亦得十五两为】既得银数则以三两为一率四人为二率十五两内减盈六两余九两为三率推得四率十二为人

【银数若以九两为一率六人为二率十五两内加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数】数也此法盖合两四率而四率原法以十八两为一率二十四人为二率九两为三率得四率十二为人数又如以二十四人为一率十八两为二率【与四人为一率三两为二率者同因其俱为四与三之比例】十二人为三率则得四率九两加盈六两得十五两为银数今将两四率合为一四率则前四率中省以二十四乗后四率中省以二十四除故以十八两为一率又为二率以九两为三率而得四率九两加盈六两为银数也

设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每八人出银七两则盈四两五钱每九人出银六两则朒三两问人数及物价各若干

法以八人互乗六两得四十八两以九人互乗七两得六十三两相减余十五两为一率八人九人互乗得七十二人为二率盈四两五钱与朒三两相加得七两五钱为三率推得四率三十六即为人数既得人数乃以八人为一率七两为二率三十六人为三率推得四率三十一两五钱减盈四两五钱余二十七两即为物价或以九人为一率六两为二率三十六人为三率推得四率二十四两加朒三两亦得二十七两为物价也此法用互乗以齐其数一则变为七十二人出六十三两一则变为七十二人出四十八两其相差十五两是十五两为七十二人之所差则盈朒相加之七两五钱即知为三十六人之所差故十五两与七十二人之比即同于七两五钱与三十六人之比也既得人数仍用比例四率以每防人与所出防何之比即如縂人与縂银之比而得数内减盈加朒即为物价也

又先得银数之法以八人互乗六两得四十八两又以四十八两互乗盈四两五钱为加四十八倍得盈二百一十六两以九人互乗七两得六十三两又以六十三两互乗朒三两为加六十三倍得朒一百八十九两二数相加得四百零五两为二率四十八倍与六十三倍相减余十五倍为一率一倍为三率推得四率二十七两为银数既得银数乃以七两为一率八人为二率二十七两内加盈四两五钱共三十一两五钱为三率推得四率三十六为人数或以六两为一率九人为二率于二十七两减朒三两余二十四两为三率亦得四率三十六为人数也此法用互乗以齐人数银数而成比例故八人与九人互乗皆为七十二人以六十三两与四十八两互乗皆为出三千零二十四两此数比四十八倍之物价则盈二百一十六两比六十三倍之物价则朒一百八十九两其盈朒之相差为四百零五两其四十八倍与六十三倍相差为十五倍以十五倍与四百零五两之比即同于一倍与二十七两之比也既得银数仍用比例四率盖以所出之银数与防何人之比即如加盈减朒之縂银数与縂人数之比也

两盈

设如众人轮班值日不知人数亦不知日数只云每四人值五日则盈二十日每八人值九日仍盈八日问人数及日数各若干

法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相减余四日为一率四人八人互乗得三十二人为二率盈八日与盈二十日相减余十二日为三率推得四率九十六为人数既得人数乃以四人为一率五日为二率九十六人为三率推得四率一百二十日减盈二十日余一百为日数或以八人为一率九日为二率九十六人为三率推得四率一百零八日减盈八日亦余一百为日数也此法用互乗以齐其分一则变为三十二人值四十日一则变为三十二人值三十六日其相差为四日知四日为三十二人之所差则两盈相减之十二日即知为九十六人之所差矣既得人数则以每防人与值防日之比即同于縂人与縂日之比而于得数之内减其所盈即为日数也

又先得日数之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日为加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日为加四十倍得盈三百二十日相减余四百日为二率三十六倍与四十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率一百为日数既得日数乃以五日为一率四人为二率一百日内加盈二十日共一百二十日为三率推得四率九十六为人数或以九日为一率八人为二率一百日内加盈八日共一百零八日为三率亦得四率九十六为人数也盖八人四人互乗皆为三十二人三十六日四十日互乗皆为一千四百四十日然比三十六倍日数则盈七百二十日比四十倍日数则盈三百二十日二数相差为四百日三十六倍与四十倍相差为四倍知四倍之为四百日即知一倍之为一百日矣既得日数则以所值之防日与防人之比即同于加盈之縂日数与縂人数之比也

两朒

设如有人分绢分之不尽只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋问人数及绢数各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三人六人互乗得一十八人为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率六十为人数既得人数则以三人为一率五疋为二率六十人为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数若以六人为一率九疋为二率六十人为三率推得四率九十疋减朒十疋亦得八十疋为绢数也此法用互乗以齐其数一则变为十八人分三十疋朒二十疋一则变为十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋为十八人之所差即知十疋为六十人之所差故三疋与十八人之比即同于十疋与六十人之比也又先得绢数之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三十疋为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数也【若以二十七疋为二率则求得四率九十疋减十疋亦得八十疋为绢数】既得绢数则加朒二十疋共一百疋为三率五疋为一率三人为二率推得四率六十为人数也此法亦合两四率而为一四率盖原法以三疋为一率十八人为二率十疋为三率得四率六十为人数又如以十八人为一率三十疋为二率【与三人为一率五疋为二率者同因其俱为三与五之比例】六十人为三率得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数今合两四率为一四率则前四率中省以一十八乗后四率中省以一十八除也

一盈一适足

设如众人支粮每三人支九石盈五十四石每四人支十四石适足问人数与粮数各若干

法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相减余六石为一率三人四人互乗得十二人为二率盈与适足无可加减即以盈五十四石为三率推得四率一百零八为人数既得人数乃以四人为一率十四石为二率一百零八人为三率推得四率三百七十八石为粮数或以三人为一率九石为二率一百零八人为三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石为粮数也此法用互乗以齐其分一则变为十二人支三十六石一则变为十二人支四十二石其相差六石知六石为十二人之所差即知五十四石为一百零八人之所差矣既得人数则以每防人与支防石之比即同于縂人数与縂粮数之比也又先得粮数之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石为加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗适足为加三十六倍仍得适足故即以盈二千二百六十八石为二率三十六倍与四十二倍相减余六倍为一率一倍为三率推得四率三百七十八石为粮数既得粮数乃以十四石为一率四人为二率三百七十八石为三率推得四率一百零八为人数或以九石为一率三人为二率三百七十八石内减盈五十四石余三百二十四石为三率亦得四率一百零八为人数也盖三十六石与四十二石互乗皆为支一千五百一十二石然四十二倍其粮数则盈二千二百六十八石三十六倍其粮数则适足三十六倍与四十二倍差六倍知六倍之为二千二百六十八石即知一倍之为三百七十八石矣既得粮数则以所支之防石与防人之比即同于縂粮数与縂人数之比也

一朒一适足

设如以车运米每四车载六十石则米少六十石每三车载四十石则米适足问车数与米数各若干法以四车互乗四十石得一百六十石以三车互乗六十石得一百八十石相减余二十石为一率三车四车互乗得十二车为二率朒与适足无可加减即以朒六十石为三率推得四率三十六为车数既得车数则以十二车为一率以互乗所得之一百六十石为二率【与三车为一率四十石为二率同以其俱为三与四十之比例也】三十六车为三率推得四率四百八十石为米数若将互乗所得之一百八十石为二率则得四率五百四十石减朒六十石亦得四百八十石为米数也此法互乗后一得十二车载一百八十石一得十二车载一百六十石其相差为二十石知二十石为十二车之所差即知六十石为三十六车之所差故二十石与十二车之比即同于六十石与三十六车之比也

又先得米数之法欲省互乗则将两车数变为同防以四车载六十石用四归三因为三车载四十五石则两首数同矣乃以四十石与四十五石相减余五石为一率四十石为二率朒六十石为三率推得四率四百八十石为米数既得米数即以四十石为一率三车为二率四百八十石为三率推得四率三十六即车数也此法不用互乗止将两首数变为同防极为简防然必其数可以度尽为同等者方可用之若其数不能度尽则必仍用互乗之法焉

御制数理精蕴下编卷八

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷九

线部七

借衰互征

叠借互征

借衰互征

借衰互征者有总数而无分数或有分数而无总数或无总数分数之实率而但有其盈率则不得不别借一衰数以为比例然后可以得其真数故曰借衰然而所借之衰又各不同有借于本数之中者有借于本数之外者借彼征此借虚征实故曰互征葢先借各项衰数合而为总衰数以总衰数与总真数相比即若各项衰数与各项真数之比也或先借总衰数加减出各衰数之较以各衰数之较与真数之较相比即若总衰数与总真数之比也或以各衰数之较与真数之较相比即若各项衰数与各项真数之比也要之皆就比例之法而推广之耳

设如有银一千八百两命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍问甲乙各得几何

法借一为乙衰五为甲衰并之得六为一率总银一千八百两为二率乙衰一为三率得四率三百两即乙所分之数与一千八百两相减余一千五百两即甲所分之数以三百两与一千五百两相较则甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍则是甲有五分乙有一分故借一为乙衰五为甲衰倂之得六为总衰以总衰与总银之比卽若乙一衰与乙银一分之比也【此法卽和数比例因借衰之首故设一最易者以发明其理云】

设如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比　二官加一倍少二年问每官各该几年

法借一衰为第一官年数借二衰多六年为第二官年数借四衰多十年为第三官年数倂三官衰数得七为一率倂后二官共多十六年于总年数内减之余八十四年为二率第一官一衰为三率得四率十二年为第一官年数倍之加多六年得三十年为第二官年数又倍第二官年数减少二年得五十八年为第三官年数合三数而共为一百年也此法第一官既借一衰则第二官加一倍零六年者当借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍则当借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年为第三官衰数也

设如有甲乙丙三人共银四十四两乙比甲银多一倍零四两丙比甲乙二人共数又多六两求各人银数几何

法借一为甲衰借二多四两为乙衰借三多十两为丙衰倂三衰得六为一率并乙丙二人多数为十四两于总银内减之余三十两为二率甲衰一为三率得四率五两卽甲银倍之加多四两得十四两为乙银并甲乙银又加多六两得二十五两即丙银也此法既以一为甲衰乙比甲加一倍零四两故借二多四两为乙衰也丙并甲乙共数多六两故借三多十两为丙衰也甲衰一乙衰二并之为三乙比甲多四两丙比甲乙共数又多六两并之为十两也

设如有甲乙二人入山采果共得三百枚但云甲数加六百枚乙数加二百枚则甲数比乙数多二倍问甲乙各得几何

法借三为甲衰借一为乙衰并之得四为一率以三百枚与六百枚二百枚相加得一千一百为二率乙衰一为三率得四率二百七十五卽乙一分之数减加数二百余七十五卽乙数以七十五与三百枚相减余二百二十五卽甲数以乙七十五与甲二百二十五相较则甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍则甲为三分乙为一分故借三为甲衰一为乙衰并之为总衰作一率又以原果与两加数相并为总数作二率葢总衰与总数之比即乙一衰与乙果一分之比也

设如有银一百九十六两买驼四匹马六匹驴十头马比驴价加一倍零二两驼比马价加一倍零四两问各价银若干

法借一衰为驴价以驴十因之得十借二衰多二两为马价以马六因之得十二衰多十二两【一马多二两六马故多十二两】借四衰多八两为驼价以驼四因之得十六衰多三十二两【一驼多八两四驼故多三十二两】并三色衰数【驴十马十二驼十六】共三十八为一率又并驼马多价【驼三十二两马十二两】共四十四两于总银内减之余一百五十二两为二率驴一衰为三率得四率四两即驴一头之价倍之加多二两得十两即马一匹之价又倍之加多四两得二十四两即驼一匹之价也此法既借一衰为驴价马比驴加一倍零二两故借二衰多二两为马价也驼比马又加一倍当借四衰多四两再加多马四两则四衰多八两为驼价也乃以各数因之【驴十马六驼四】故得各项总衰数也

设如问一人歳数答曰我比弟长二年父年倍我仍多两歳伯父兼我三人歳数再加四年整百歳问四人各得年数几何

法借一衰为其弟歳数借一衰零二年为本人歳数倍之得二衰零四年再加多两歳得二衰零六年为其父歳数总并之得四衰零八年为其伯之歳数即以四衰为一率八年四年相并得十二年与百歳相减余八十八年为二率其弟一衰为三率得四率二十二即其弟之歳数加长二年得二十四即本人之歳数倍本人歳数再加多两歳得五十即其父之歳数并三人歳数得九十六即其伯之歳数再加四年是为整百歳也此法既借一衰为其弟歳数本人较长二年故借一衰零二年为本人歳数也其父年比本人加倍又多两嵗故借二衰零六年为其父歳数也【加倍为二衰零四年又加多两歳故为二衰零六年也】将三人歳数相并得四衰零八年为其伯之歳数再加四年方整百嵗则减四年又减所零之八年余八十八年即四衰相当之数也

设如漏壶一具上有渴乌注水凡十二时而满下有一孔通天池泄水凡十八时而尽若上注下泄问几时可得水满

法以十二时与十八时相乘得二百一十六时卽借二百一十六分为壶水衰数又以十二时与十八时相减余六时卽借六分为一时水满分数乃以六分为一率一时为二率二百一十六分为三率得四率三十六卽是水满一壶之时也此法以十二时乘十八时者卽借一壶水作二百一十六分算也十二时满二百一十六分则一时满十八分十八时尽二百一十六分则一时泄十二分一时满十八分而泄十二分则壶中所存止得六分故以十二减十八余六分为一时所满之水也满水六分既得一时则壶中满二百一十六分而得三十六时矣

设如漏壶一座注水于内下有三孔大孔流水二时而尽中孔流水三时而尽小孔流水六时而尽若三孔齐开问水几时可尽

法以大孔之二时乘中孔之三时得六时又以小孔之六时乘之得三十六时卽借三十六分为壶水总衰数以大孔二时除之得十八分以中孔三时除之得十二分以小孔六时除之得六分并三数得三十六为一率一时为二率借衰三十六为三率得四率一时卽一时水可尽也此法葢以三色之数连乘为共分其大孔二时流尽则一时流十八分中孔三时流尽则一时流十二分小孔六时流尽则一时流六分故并三数而为一时所流者有三十六分今壶水止有三十六分故一时可以流尽也

设如有人自乡上城共一百二十里今行尚未到若以行过路六分之一与余路三分之一相加便是到城里数问该若干

法借十五衰为一率一百二十里为二率余路三分卽借三衰为三率得四率二十四里卽到城里数也此法借十五衰为一率者因余路取三分之一尚余二分又取行过路六分之一补足余路二分之数是行过路之一分卽抵余路之二分也今将余路一分借一衰则行过路一分当借二衰六分则当借十二衰再加余路三衰是共得十五衰故十五衰与一百二十里之比卽余路三分与二十四里之比也【每分该八里】

设如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一从水面往下取四分之一相并便是水深数问该几何

法借十三衰为一率二丈六尺为二率自水面往下四分卽借四衰为三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰为一率者因水面往下取四分之一尚余三分又取水面向上三分之一补足水面下三分之数是水面上之一分卽准水面下之三分也今将水面下一分借一衰则水面上一分当借三衰一分借三衰则三分必当借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰与二丈六尺之比卽水面下四分与八尺之比也

设如有人问此时系何时刻答曰自子正到此时时刻折半与自此时到午正三分之一相加便是此时时刻

法借二衰为自子正到此时衰数【时折半者定为一衰今用全数故借二衰】又借三衰为自此时到午正衰数【三分故借三衰因三分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】并之得五衰为子正到午正之分为一率又计子正到午正得十二小时因化为七百二十分为二率自子正到此时二衰为三率得四率二百八十八分收为四小时三刻三分即定为寅正三刻三分也此法因题言自子正到此时时刻折半故以折半数借为一衰今用全数为自子正起算故借二衰题又言到午正时刻三分之一与折半之数相加则是折半数即与三分之一之数相等故将三分亦借为三衰是子正到午正共为五衰矣计子正到午正时刻得七百二十分故五衰与七百二十分之比即二衰与二百八十八分之比既得二百八十八分收为四小时三刻三分即自子正到寅正三刻三分也

设如有人问到日落得几时答曰自日出到此时时刻取四分之一从此时到日落时刻折半两数相加即是此时时分

法借二衰为自此时到日落时衰数【衰时折半者借一衰今用全数故借二】又借四衰为自日出

【衰】到此时衰【四分故借四衰因四分之一与折半之数相等故亦将一分借一衰】数并之得六衰为一率又察昼夜长短如自日出至日落止有十小时卽化作六百分为二率自此时到日落二衰为三率得四率二百分收为三小时一刻五分即到日落之时分也此法因题言自此时到日落时刻折半故以折半数借为一衰今用全数则当借为二衰题又言自日出到此时四分之一与折半之数相加则是折半数即与四分之一之数相等故将四分亦借为四是日出到日落共为六衰矣如日出至日落时刻得六百分则六衰与六百分之比即二衰与二百分之比故以二百分收为三时一刻五分也

设如有羊一羣不知数目但云卖去三分之一又分四分之一另为一羣下余一千只问原共数几何法以两分母相乘得十二为总衰内减三分之一余八又减四分之一余五为一率一千为二率总衰十二为三率得四率二千四百即共数也此法因题言三分之一四分之一两分子同分母不同故以两分母相乘为总衰分内减三分之一又减四分之一所余五即如总数分十二分而一千为其五分也故五衰与一千之比即如十二衰与二千四百之比也

设如有羊一羣不知数目但云赏人七分之五又将所余者卖五分之三尚余八百只问原共数若干

法以两分母相乘得三十　　　　　　　　　　　　　　　　　　【借】五为总羊衰数内去七分之五余一【衰将三十五分为七分每