御制数理精蕴

为正列于下乃以上牛三遍乗下牛四马一骡八多三石得牛十二为正马三亦为正骡二十四为负多九石为正又以下牛四遍乗上牛三马三骡三得牛十二为正马十二为负骡十二为负于是以上层为主两下相较则牛各十二彼此减尽马一正一负故相加得十五仍依本层为正骡两层皆负故相减余十二仍依本层为负九石无可加减仍为九石依本层为正即马十五比骡十二所载多九石也【葢牛彼此减尽马上层多三下层少十二是上层比下层多十五也骡上层少二十四下层少十二是上层比下层所少为十二也马多十五骡少十二而米即多九石故为马十五比骡十二所载多九石也】爰将两次所得之余如和较兼用二色方程法算之其马十五骡十八共米二十四石列于上又马十五为正骡十二为负多米九石为正列于下因首色皆为十五两数齐同即不用互乘两下相较则马各十五彼此减尽骡十八加骡十二得三十米二十四石减九石余十五石乃骡三十共载之数以三十除之得五斗即为每一骡所载之数以骡十二乗之得六石为骡十二共载之数加马十五之多九石得十五石即为马十五共载之数以马十五除之得一石为每一马所载之数以牛三与马三骡三相等计之则马三应载三石骡三应载一石五斗共四石五斗以牛三除之得一石五斗即为每一牛所载之数也

设如有银买绫罗绢三色各不知价只云绫一疋罗二疋绢四疋共价七两四钱又绫二疋绢八疋比罗四疋多六两八钱又绫三疋比罗六疋绢七疋少一两二钱问各价几何

法先以绫一罗二绢四共银七两四钱列于上【和数皆为正不用号】又绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于下乃以下绫二遍乗上绫一罗二绢四共银七两四钱得绫二罗四绢八共银十四两八钱又以上绫一遍乗下绫二罗四绢八多六两八钱仍得原数于是以上层为主两下相较则绫各二彼此减尽罗一正一负故相加得罗八依本层为正绢两层皆正故相减恰尽价两层皆正亦相减余八两乃罗八疋之共价【葢绫彼此减尽绢亦减尽惟罗上层多四疋下层少四疋是上层比下层多八疋而价即多八两故为罗八疋之共价也】以罗八除之得一两即为罗每一疋之价也次以绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于上又绫三为正罗六为负绢七为负少一两二钱为负列于下乃以下绫三遍乗上绫二罗四绢八多六两八钱得绫六为正罗十二为负绢二十四为正多二十两四钱为正又以上绫二遍乗下绫三罗六绢七少一两二钱得绫六为正罗十二为负绢十四为负少二两四钱为负于是以上层为主两下相较则绫各六彼此减尽罗两层皆负亦减尽绢一正一负故相加得三十八银一正一负故相加得二十二两八钱乃绢三十八疋之共价【葢绫彼此减尽罗亦减尽绢上层多二十四疋下层少十四疋是上层比下层多三十八疋也银上层多二十两四钱下层少二两四钱是上层比下层多二十二两八钱也绢多而银亦多故为绢之共价也】以绢三十八除之得六钱即绢每一疋之价也以绫一罗二绢四共价七两四钱计之则罗二疋应价二两绢四疋应价二两四钱共四两四钱于共价七两四钱内减之余三两即绫每一疋之价也此法互乗相减之后即得一法一实故省重列二色若物与价俱各减尽者则此层必为彼层之几倍与少一层者同是为少一行不可算也

和较交变类

设如有琴瑟筝三种乐器各不知价但知琴一张瑟三张筝三张共价九十两又琴一张瑟二张筝五张共价八十八两又琴三张瑟八张筝五张共价二百二十两问琴瑟筝每张各价几何

法先以琴一瑟三筝三共银九十两列于上又琴一瑟二筝五共银八十八两列于下【因和数皆为正故不用号】因首色皆为一故省互乗即以上层为主两下相较则琴各一彼此减尽瑟两下相减余一本层多仍为正筝两下相减余二本层少变正为负银九十两减八十八两余二两本层多亦仍为正即瑟一比筝二价多二两也【葢两层琴各一张其价必相等但上层多瑟一张下层多筝二张则上层多银二两即瑟一比筝二所多之价也】次以琴一瑟二筝五共银八十八两列于上又琴三瑟八筝五共银二百二十两列于下乃以下琴三遍乗上琴一瑟二筝五共银八十八两得琴三瑟六筝十五共银二百六十四两又以上琴一遍乗下琴三瑟八筝五共银二百二十两仍得原数于是以上层为主两下相较则琴各三彼此减尽瑟两下相减余二本层少变正为负筝两下相减余十本层多仍为正银二百六十四两减二百二十两余四十四两本层多亦仍为正即筝十比瑟二价多四十四两也【葢两层琴各三张其价必相等但上层多筝十张下层多瑟二张则丄层多银四十四两即筝十张比瑟二张所多之价也】因首色减尽则瑟转而为首应为正今瑟为负重列二色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将瑟二变负为正而以筝十与价多四十四两俱变正为负葢原筝十比瑟二多四十四两今变为瑟二比筝十少四十四两也【若以下层为主则本层多即得瑟二为正不用变号】爰将两次所得之余如较数二色方程算之其瑟一为正筝二为负多二两为正列于上瑟二为正筝十为负少四十四两为负列于下乃以下瑟二遍乗上瑟一筝二多二两得瑟二仍为正筝四为负多四两为正又以上瑟一遍乘下瑟二筝十少四十四两仍得原数两下相较则瑟各二彼此减尽筝两层皆负故相减余六多四两与少四十四两相加得四十八两即筝六张之共价也【葢瑟皆为二张则其共价必相等然比筝四张之价则多比筝十张之价则少是多少相加之四十八两即筝十与筝四相差六张之价也】乃以筝六除银四十八两得八两为筝毎张之价以筝十因之得八十两为筝十张之共价瑟二张既比筝十张少四十四两则于八十两内减四十四两余三十六两即为瑟二张之共价以瑟二除之得十八两为瑟毎张之价以琴一瑟三筝三共银九十两计之则瑟三价五十四两筝三价二十四两共七十八两于共银九十两内减之余十二两即琴毎一张之价也

设如有古量斛庾釜三种盛米各数不同只云三斛二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升问斛庾釡各盛米若干

法先以斛三为正庾二为负釜二为正多一石零八升为正列于上又斛二为正庾三釜五为负少六石亦为负列于下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二多一石零八升得斛六仍为正庾四为负釜四为正多二石一斗六升亦为正又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少六石得斛六仍为正庾九釜十五俱为负少十八石亦为负于是以上层为主两下相较则斛各六彼此减尽庾两层皆负故相减余五本层少乃变负为正釡一正一负故相加得十九仍依本层为正多二石一斗六升与少十八石相加得二十石一斗六升仍依本层为正即五庾十九釡共二十石一斗六升也【斗四升也葢斛彼此减尽庾上层少四下层少九是下层比上层所少为五即上层比下层多五也釜上层多四下层少十五是上层比下层多十九也米上层多二石一斗六升下层少十八石是上层比下层多二十石一斗六升也庾釜多则米亦多故为五庾十九釜共二十石一】次以斛二为正庾三釡五与少六石俱为负列于上又斛一庾一为正釜二为负多一石三斗二升为正列于下乃以上斛二遍乗下斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛二庾二为正釡四为负多二石六斗四升为正又以下斛一遍乗上斛二庾三釜五少六石仍得原数于是以上层为主两下相较则斛各二彼此减尽庾一正一负故相加得五仍依本层为正釜两层皆负故相减余一本层少乃变负为正多二石六斗四升与少六石相加得八石六斗四升仍依本层【斗六升也】为正即五庾一釜共八石六【葢斛彼此减尽庾上层多二下层少三是上层比下层多五也釜上层少四下层少五是下层比上层所少为一即上层比下层多一也米上层多二石六斗四升下层少六石是上层比下层多八石六斗四升也庾釜多而米亦多故为五庾一釡共八石六斗四升也】爰以两次所得之余如和数二色方程算之其庾五釜十九共二十石一斗六升列于上庾五釡一共八石六斗四升列于下【变为和数故不用号】夫首数皆为五则省互乗两下相较庾各五彼此减尽釡十九减一余十八米二十石一斗六升减八石六斗四升余十一石五斗二升即为釜十八所盛之共数以十八除之得六斗四升为毎一釜所盛之数于八石六斗四升内减之余八石为庾五所盛之共数以五除之得一石六斗为毎一庾所盛之数以斛三釡二比庾二多一石零八升计之则庾二应三石二斗加多一石零八升得四石二斗八升即为斛三釜二之共数减釡二之一石二斗八升余三石为斛三所盛之共数以三除之得一石为每一斛所盛之数也

设如用船车驼运粮各不知数只云三船比七车一驼少三十三石六斗二车比一船十二驼少二十一石六斗八驼比一船三车少二十一石六斗问船车驼各载几何

法先以船三为正车七驼一与少三十三石六斗俱为负列于上又船一改为正车二改为负驼十二亦改为正少二十一石六斗改为多二十一石六斗亦为正列于下【葢二车比一船十二驼少二十一石六斗即一船十二驼比二车多二十一石六斗也】乃以上船三遍乗下船一车二驼十二多二十一石六斗得船三为正车六为负驼三十六为正多六十四石八斗为正又以下船一遍乗上船三车七驼一少三十三石六斗仍得原数于是以上层为主两下相较则船各三彼此减尽车两层皆负故相减余一本层少乃变负为正驼一正一负故相加得三十七仍依本层为正多六十四石八斗与少三十三石六斗相加得九十八石四斗亦依本层为正即车一驼三十七共载九十八石四斗也【葢船彼此减尽车上层少六下层少七是下层比上层所少为一即上层比下层多一也驼上层多三十六下层少一是上层比下层多三十七也粮上层多六十四石八斗下层少三十三石六斗是上层比下层多九十八石四斗也车多驼多则粮亦多故九十八石四斗为车一驼三十七之共数也】次以船一为正车二为负驼十二为正多二十一石六斗为正列于上又船一车三俱改为正驼八改为负少二十一石六斗改为多二十一石六斗为正列于下【葢八驼比一船三车少二十一石六斗即一船三车比八驼多二十一石六斗也】首数皆一故省互乘即以上层为主两下相较则船各一彼此减尽车一正一负故相加得五仍依本层为负驼一正一负故亦相加得二十仍依本层为正粮两层皆正相减恰尽即为驼二十与车五相等今车应转为首色为正故重列之际须俱变其号以车变负为正驼变正为负即为车五与驼二十相等也【葢两下相较船数相等上层少车二下层多车三上之所少即下之所多是下层多车五上层多驼十二下层少驼八下之所少即上之所多是上层多驼二十今既两下粮数相等则为车五与驼二十相等矣】爰以两次所得之余如和较兼用二色方程算之其车一驼三十七共粮九十八石四斗列于上【因为和数故不用号】又车五为正驼二十为负列于下【粮两下相等故无数可列仍作空以存其位】乃以下车五遍乗上车一驼三十七共粮九十八石四斗得车五驼一百八十五共粮四百九十二石又以上车一遍乗下车五驼二十仍得原数两下相较则车各五彼此减尽驼一百八十五加驼二十得二百零五粮止一层无数可加减仍得四百九十二石即驼二百零五所载之共数也以驼二百零五除之得二石四斗为每一驼所载之数以二十乗之得四十八石为驼二十所载之共数车五既与之相等即以车五除之得九石六斗即为每一车所载之数以三船比七车一驼少三十三石六斗计之则一驼应二石四斗七车应六十七石二斗共六十九石六斗减三船少三十三石六斗余三十六石为三船所载之共数以三除之得十二石为毎一船所载之数也

设如有钱买瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共价一百五十六文瓜一梨八共价一百二十六文桃二榴七共价一百六十文榴四梨七共价一百四十八文问瓜桃榴梨各价几何

法先以【四共价一百五十六文列于上】瓜二桃【因题有四色而此行无榴梨乃各作空位以存其分余俱照式对位列之】又以瓜一梨八共价一百二十六文列于下【因为和数故不用号】乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共价一百二十六文得瓜二梨十六共价二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共价一百五十六文仍得原数于是以下层为主两下相较则瓜各二彼此减尽桃四无可减仍为四依本层为正榴仍为空位梨十六无可减仍为十六本层无数乃变正为负价二百五十二文内减一百五十六文余九十六文本层少乃变正为负即为桃四比梨十六价少九十六文也【葢瓜皆为二则其共价必相等然上层有梨十六则共价二百五十二文下层有桃四则共价一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之价也】至是瓜既已减尽但余三色即变四色为三色而以桃为首对位列之是以桃四为正【此行无榴数故仍作空位以存其分余俱对位列之】梨十六为负少九十六文为负列于上桃二榴七共价一百六十文列于下【因为和数故不用号】乃以上桃四遍乗下桃二榴七共价一百六十文得桃八榴二十八共价六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍为正梨三十二仍为负少一百九十二文为负于是以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽榴二十八无可减仍为二十八依本层为正梨三十二无可加仍为三十二本层无数乃变负为正六百四十文与少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本层为正即榴二十八梨三十二共价八百三十二文也【葢桃彼此减尽上层多榴二十八下层少梨三十二即上层多梨三十二故多与少相差之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共价也】至是桃又减尽但余二色即变三色为二色而以榴为首对位列之是以榴二十八梨三十二共价八百三十二文列于上榴四梨七共价一百四十八文列于下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共价一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共价四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共价八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共价三千三百二十八文两下相较则榴各一百一十二彼此减尽梨两下相减余六十八价两下相减余八百一十六文即梨六十八之共价也以梨六十八除之得十二文为梨每个之价以七因之得八十四文为梨七之共价于榴梨共价一百四十八文内减之余六十四文为榴四之共价以四除之得十六文即榴毎个之价以桃二榴七共价一百六十文计之则榴七应价一百一十二文于桃榴共价一百六十文内减之余四十八文为桃二之共价以二除之得二十四文为桃每个之价再以瓜二桃四共价一百五十六文计之则桃四应价九十六文于桃瓜共价一百五十六文内减之余六十文为瓜二之共价以二除之得三十文即瓜毎个之价也

附法

设如有石二块大小不等不知重数只有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条一头离提系五分而以小石作砣称之离提系得六分始平又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作砣称之离提系得四分始平问大小二石各重几何

法先以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也爰将二两四钱以大石离提系五分因之得十二两为五大石比六小石所多之数【大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分也若五大石六小石则各得三十分其重始等然五分之一端应加二两四钱是大石重六分尚多二两四钱也若五大石则多十二两矣故为五大石比六小石多十二两也】又将二两四钱以小石离提系五分因之亦得十二两为四大石比五小石所少之数【小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分也若五小石四大石则各得二十分其重始等然五分之一端应加二两四钱是小石重四分尚多二两四钱也若五小石则多十二两矣故为五小石比四大石多十二两因以大石为首故变为四大石比五小石少十二两也】因作较数方程法算之以大石五为正小石六为负重多十二两为正列于上又大石四为正小石五为负重少十二两为负列于下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二两得大石二十小石二十五少六十两又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二两得大石二十小石二十四多四十八两两下相较则大石各二十彼此减尽小石两层皆负故相减余一重少六十两与多四十八两相加得一百零八两即为一小石之重数以小石六因之得六百四十八两为六小石之共重数加五大石所多十二两得六百六十两为五大石之共重数以五归之得一百三十二两即为一大石之重数也此本叠借互征之法而以方程算之稍为简易焉

设如有银一千六百四十两兄弟二人分之各不知数只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五十两问兄弟各分银几何

法以一千六百四十两为兄四分弟六分之共银数以三百五十两为兄一分弟一分之共银数如和数方程法算之以兄四分弟六分共银一千六百四十两列于上兄一分弟一分共银三百五十两列于下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共银一千六百四十两仍得原数又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共银三百五十两得兄四分弟四分共银一千四百两两下相较则兄各四分彼此减尽弟两下相减余二分银两下相减余二百四十两即弟二分之共银数以弟二分除之得一百二十两为弟一分之银数以弟六分乗之得七百二十两即弟所分之共银数于共银一千六百四十两内减之余九百二十两即兄所分之共银数也【此法用叠借互征算之亦可】

设如甲乙二人分果不知其数只云甲予乙九枚则乙与甲等乙予甲九枚则一甲与二乙等问甲乙分果各几何

法将甲予乙九枚以二因之得一十八枚为一甲比一乙所多之数【与二乙相等也葢甲予乙九枚则甲与乙等若甲不予乙则甲多九枚乙少九枚是甲比】又将乙予甲九枚以三因之得二十七枚为一甲比二乙所少之数【乙多十八枚也葢乙予甲九枚则一甲与二乙等若乙不予甲则乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙】因作较数方程法算之以甲一为正乙一为负多十八枚为正列于上又甲一为正乙二为负少二十七枚为负列于下因甲首色皆为一故不用互乗两下相较则甲各一彼此减尽乙两层皆负故相减余一果一正一负故相加得四十五枚即为乙之果数如甲多十八枚得六十三枚即为甲之果数也若甲与乙九枚则甲余五十四乙亦得五十四是甲与乙相等若乙与甲九枚则

乙余三十　　　　　　　　　　　　　　　　　【少二十七枚也】六甲得七十二是一甲【此法用叠借互征算之亦可】

设如有田二千六百五十亩令上中下三等农夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七亩中等比下等毎人多五亩问上中下三等毎人各耕几何

法以二千六百五十亩为和以多七亩多五亩为较如和较兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩列于上【因为和数故不用号】又上等一人为正中等一人为负多七亩为正列于下【无下等则作空以存其位】乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩仍得原数又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七亩得上等四十人为正中等四十人为负多二百八十亩为正于是以上层为主两下相较则上等各四十人彼此减尽中等五十人加四十人得九十人下等无可加减仍得七十人田二千六百五十亩减二百八十亩余二千三百七十亩即中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩也【因依本层故仍为和数】次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩列于上【因为和数故不用号】又中等一人为正下等一人为负多五亩为正列于下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩仍得原数又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五亩得中等九十人为正下等九十人为负多四百五十亩为正两下相较则中等各九十人彼此减尽下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十亩减四百五十亩余一千九百二十亩即下等一百六十人之共数也以下等一百六十人除之得十二亩为下等每人所耕之数加五亩得十七亩为中等毎人所耕之数又加七亩得二十四亩为上等每人所耕之数也【此法本和数比例以方程算之亦可】

御制数理精蕴下编卷十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷十一

面部一

平方

带纵平方

平方

平方者等边四直角之面积也以形而言则为两矩所合以积而言则为自乗之数因其有广无厚故曰平方因其纵横相等故曰正方葢方积面也而其边则线也有线求面则相乗而得积有面求线则开方而得边开之之法略与归除同但归除有法有实而开方则有实而无法故古人立为商除廉隅之制以相求每积二位得边之一位所谓一百一十定无疑一千三十有零余九千九百不离十一万方为一百推是也其法先从一角而剖其幂以自一至九自乗之数为方根与所有之积相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方边止一位若有余实即初商方积外别成一磬折形其附初商之两旁者谓之廉两廉之角所合一小方谓之隅廉有二故倍初商为两廉之共长是为廉法视余积足廉法几倍即是次商隅即次商之自乗故次商为隅法合廉隅而以次商乗之则得两廉一隅之共积所谓初商方积外别成一磬折形者是也故次商为初商所得方边之零如次商数与初商余积相减尚有不尽之实则又成一磬折形而仍为两廉一隅但较前廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照初商之例逐层递析之实尽而止实不尽者必非自乗之正数递析之至于纎尘终有奇零若余实不足廉隅法之数者则方边为空位此开方之定法也面形不一而容积皆以方积为准故平方为算诸面之本诸面必通之方积而后可施其法也

设如正方面积三十六尺开方问每一边数几何法列方积三十六尺自末位起算每方积二位定方边一位今积止有二位则于六尺上作记定单位以自一至九自乗之方根数与之相审知与六尺自乗之数恰合乃以六尺书于方积六尺之上而以六尺自乗之三十六尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为六尺也如图甲乙丙丁正方形每边皆六尺其中函一尺小正方三十六自边计之为六尺自乗之积以积开之则与六尺自乗方根之数相准故商除之恰尽也葢方积为二位是以方边止一位方积即六尺自乗之数故无廉隅之可用次商如有余积则自成廉隅而用次商矣