御制数理精蕴

位起算每方积二位定方边一位今积止有二位则于六尺上作记定单位以自一至九自乗之方根数与之相审知与六尺自乗之数恰合乃以六尺书于方积六尺之上而以六尺自乗之三十六尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为六尺也如图甲乙丙丁正方形每边皆六尺其中函一尺小正方三十六自边计之为六尺自乗之积以积开之则与六尺自乗方根之数相准故商除之恰尽也葢方积为二位是以方边止一位方积即六尺自乗之数故无廉隅之可用次商如有余积则自成廉隅而用次商矣

设如正方面积一丈四十四尺开方问每一边数几何

法列方积一丈四十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗之正方一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位积四十四尺续书于下【大凢以余积续书于下者每取方积之二位以当方边之一位也】为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺为廉法以除四十四尺足二尺即定次商为二尺书于方积四尺之上而以次商二尺为隅法与廉法二十尺相加共得二十二尺为廉隅共法书于余积之左以次商二尺乗之得四十四尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆一丈二尺其中函积一丈四十四尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边一丈即初商数其中函正方积一丈即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长十尺即初商数其各阔二尺即次商数廉有二故倍初商为廉法其己壬丙辛一小正方为隅其边二尺亦即次商数故以次商为隅法合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形此廉隅之法所由生也

设如正方面积五百二十九尺开方问毎一边数几何【此题正方面积之三位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积二位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也】

法列方积五百二十九尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于九尺上定单位五百尺上定十位其五百尺为初商积以初商本位计之则五百尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百尺爰以方边第二位积二十九尺续书于下共一百二十九尺为次商廉隅之共积乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商为三尺书于方积九尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得二十三尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆二十三尺其中函积五百二十九尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边二十尺即初商数其中函积四百尺即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长二十尺即初商数其各阔三尺即次商数其己壬丙辛一小正方为隅其边三尺亦即次商数合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形也

设如正方面积五丈四十七尺五十六寸开方问每一边数几何

法列方积五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈为初商积与二丈自乗之数相准即定初商为二丈书于方积五丈之上而以二丈自乗之四丈书于初商积之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积四十七尺续书于下共一百四十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减余一十八尺即一千八百寸复以方边末位积五十六寸续书于下共一千八百五十六寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸为廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商为四寸书于方积六寸之上而以三商四寸为隅法与廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸为廉隅共法书于余积之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得二丈三尺四寸为方面每一边之数也

设如正方面积四十五万九千六百八十四尺开方问每一边数几何【此题正方面积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺寸三色者不同然其每取方积二位续书于下其末位即命为单位立算仍与丈尺寸同也】

法列方积四十五万九千六百八十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于四尺上定单位六百尺上定十位五万尺上定百位其四十五万尺为初商积以初商本位计之则五万尺为初商积之单位而四十五万尺为四十五与六自乗之数相准即定初商为六书于方积五万尺之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余九万尺爰以方边第二位积九千六百尺续书于下共九万九千六百尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则六百尺为次商积之单位而九万九千六百尺为九百九十六而初商之六即为六十故以初商之六作六十倍之得一百二十为廉法以除九百九十六足七倍即定次商为七书于方积六百尺之上而以次商七为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十七为廉隅共法书于余积之左以次商七乗之得八百八十九与次商廉隅共积相减余一万零七百尺复以方边末位积八十四尺续书于下共一万零七百八十四尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十为廉法以除一万零七百八十四足八倍即定三商为八书于方积四尺之上而以三商八为隅法与廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八为廉隅共法书于余积之左以三商八乗之得一万零七百八十四与三商廉隅共积相减恰尽是开得六百七十八尺为方面每一边之数也

设如正方面积三十五丈九十一尺六十寸四十九分开方问每一边数几何

法列方积三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作记即于九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈为初商积与五丈自乗之数相准即定初商为五丈书于方积五丈之上而以五丈自乗之二十五丈书于初商积之下相减余一十丈即一千尺爰以方边第二位积九十一尺续书于下共一千零九十一尺为次商廉隅之共积乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺为廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商为九尺书于方积一丈之上而以次商九尺为隅法与廉法一百尺相加共得一百零九尺为廉隅共法书于余积之左以次商九尺乗之得九百八十一尺与次商廉隅共积相减余一百一十尺即一万一千寸复以方边第三位积六十寸续书于下共一万一千零六十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸为亷法以除一万一千零六十寸足九寸即定三商为九寸书于方积空寸之上而以三商九寸为隅法与廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸为廉隅共法书于余积之左以三商九寸乗之得一万零七百零一寸与三商廉隅共积相减余三百五十九寸即三万五千九百分复以方边末位积四十九分续书于下共三万五千九百四十九分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一万一千九百八十分为廉法以除三万五千九百四十九分足三分即定四商为三分书于方积九分之上而以四商三分为隅法与廉法一万一千九百八十分相加共得一万一千九百八十三分为廉隅共法书于余积之左以四商三分乗之得三万五千九百四十九分与四商廉隅共积相减恰尽是开得五丈九尺九寸三分为方面每一边之数也

设如正方面积五百八十五万六千四百尺开方问每一边数几何

法列方积五百八十五万六千四百尺补二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作记于空尺上定单位四百尺上定十位五万尺上定百位五百万尺上定千位其五百万尺为初商积以初商本位计之则五百万尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百万尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百万尺爰以方边第二位积八十五万尺续书于下共一百八十五万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则五万尺为次商积之单位而一百八十五万尺为一百八十五而初商之二即为二十故以初商之二作二十倍之得四十为廉法以除一百八十五足四倍即定次商为四书于方积五万尺之上而以次商四为隅法与廉法四十相加共得四十四为防隅共法书于余积之左以次商四乗之得一百七十六与次商廉隅共积相减余九万尺复以方边第三位积六千四百尺续书于下共九万六千四百尺为三商防隅之共积以三商本位计之则四百为三商积之单位而九万六千四百尺为九百六十四而初商之二即为二百次商之四即为四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十为廉法以除九百六十四足二倍即定三商为二书于方积四百尺之上而以三商二为隅法与防法四百八十相加共得四百八十二为廉隅共法书于余积之左以三商二乗之得九百六十四与三商防隅共积相减恰尽是开得二千四百二十尺为方面每一边之数也此法方积之末有二空位故所得方边之末亦补一空位凢设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之

设如正方面积八十二丈六十二尺八十一寸开方问每一边数几何

法列方积八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作记于一寸上定寸位于二尺上定尺位于二丈上定丈位其八十二丈为初商积与九丈自乗之数相准即定初商为九丈书于方积二丈之上而以九丈自乗之八十一丈书于方积八十二丈之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积六十二尺续书于下共一百六十二尺为次商廉隅之共积乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺为防法以除一百六十二尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积二尺之上以存次商之位复以方边末位积八十一寸续书于下共一百六十二尺八十一寸即一万六千二百八十一寸为三商防隅之共积仍以一百八十尺作一千八百寸为防法以除一万六千二百八十一寸足九寸即定三商为九寸书于方积一寸之上而以三商九寸为隅法与防法一千八百寸相加共得一千八百零九寸为防隅共法书于余积之左而以三商九寸乗之得一万六千二百八十一寸与三商防隅共积相减恰尽是开得九丈零九寸为方面每一边之数也此法方积无空位而商出之方边有空位凡防法除余积而数不足者皆依此例推之

设如正方面积六千四百一十一万二千零四十九尺开方问每一边数几何

法列方积六千四百一十一万二千零四十九尺自末位起算每隔一位作记于九尺上定单位空百尺上定十位一万尺上定百位四百万尺上定千位其六千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万为初商积之单位而六千四百万为六千四与八自乗之数相合即定初商为八书于方积四百万尺之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积一十一万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则一万尺为次商积之单位而一十一万尺为一十一而初商之八即为八十故以初商之八作八十倍之得一百六十为廉法以除一十一其数不足是次商为空位乃书一空于方积一万尺之上以存次商之位复以方边第三位积二千尺续书于下共一十一万二千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空百尺为三商积之单位而一十一万二千尺为一千一百二十尺而初商之八即为八百次商之空即为空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百为廉法以除一千一百二十其数仍不足是三商之为空位乃再书一空于方积空百尺之上以存三商之位复以方边末位积四十九尺续书于下共一十一万二千零四十九尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之八千倍之得一万六千为廉法以除一十一万二千零四十九足七倍即定四商为七书于方积九尺之上而以四商七为隅法与防法一万六千相加共得一万六千零七为防隅共法书于余积之左而以四商七乗之得一十一万二千零四十九与余积相减恰尽是开得八千零七尺为方面每一边之数也此法方积中虽有一空位而商出之方边却有二空位凡开方遇此类者皆依此例推之

设如有积一万四千九百二十八尺开方问每一边数几何

法列积一万四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作记于八尺上定单位九百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺为初商积以初商本位计之则一万尺为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万尺之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积四千九百尺续书于下为次商防隅之共积以次商本位计之则九百尺为次商积之单位而四千九百尺为四十九而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除四十九足二倍即定次商为二书于方积九百尺之上而以次商二为隅法与防法二十相加共得二十二为防隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余五百尺复以方边末位积二十八尺续书于下共五百二十八尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为廉法以除五百二十八足二倍即定三商为二书于方积八尺之上而以三商二为隅法与廉法二百四十相加共得二百四十二为防隅共法书于余积之左以三商二乗之得四百八十四与三商廉隅共积相减余四十四尺不尽是开得一百二十二尺为方面每一边之数仍余四十四尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増书两空于总积之后复续书两空于四十四尺之后为几十几寸之位是则四十四尺作四千四百寸为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸为廉法以除四千四百寸足一倍即定四商为一寸书于余积空寸之上而以四商一为隅法与廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸为廉隅共法书于余积之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸与余积相减余一千九百五十九寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书两空于后増空十空寸之后复续书两空于五十九寸之后为几十几分之位是则一千九百五十九寸作一十九万五千九百分为五商廉隅之共积爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一万二千二百一十分倍之得二万四千四百二十分为廉法以除一十九万五千九百分足八倍即定五商为八分书于余积空分之上而以五商八为隅法与防法二万四千四百二十分相加共得二万四千四百二十八分为廉隅共法书于余积之左以五商八分乗之得一十九万五千四百二十四分与余积相减仍余四百七十六分不尽是开得一百二十二尺一寸八分为方面每一边之数也此法原积本非自乗所得之数虽递析之终不能尽凡开方遇此类者皆依此例推之

设如有一方台上面共铺方甎四千零九十六块问每一边得甎几何

法列方甎四千零九十六块为方积于六块上定单位空百块上定十位其四千块为初商积以初商本位计之则空百块为初商积之单位而四千块为四十与六自乗之数相准即定初商为六书于方积空百块之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余四百块爰以余积九十六块续书于下共四百九十六块为次商廉隅之共积而以初商六作六十倍之得一百二十为廉法以除四百九十六足四倍即定次商为四书于方积六块之上而以次商四为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十四为廉隅共法书于余积之左以次商四乗之得四百九十六与余积相减恰尽是开得六十四块为方台上面每一边之甎数也

设如有三百六十一人用船分载其每船所载人数与共船数相等问共船几何

法列三百六十一人为方积于一人上定单位三百人上定十位其三百人为初商积以初商本位计之则三百为初商积之单位止与一自乗之数相准即定初商为一书于方积三百之上而以一自乗之一书于初商积之下相减余二百爰以余积六十一续书于下共二百六十一为次商廉隅之共积而以初商一作一十倍之得二十为廉法以除二百六十一足九倍即定次商为九书于方积一人之上而以次商九为隅法与廉法二十相加共得二十九为防隅共法书于余积之左以次商九乗之得二百六十一与余积相减恰尽是开得十九为共船数而每船载十九人也

设如有银七百八十四两散给夫匠其每人所得银数与其人数相等问共人数几何

法列七百八十四两为方积于四两上定单位七百两上定十位其七百两为初商积以初商本位计之则七百为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积七百之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余三百爰以余积八十四续书于下共三百八十四为次商廉隅之共积而以初商二作二十倍之得四十为廉法以除三百八十四足八倍即定次商为八书于方积四两之上而以次商八为隅法与防法四十相加共得四十八为防隅共法书于余积之左以次商八乗之得三百八十四与余积相减恰尽是开得二十八为共人数而每人得银二十八两也

设如用船运粮六千五百六十一石欲取一船别用将此船米分载各船每船领去一石其本船尚余一石问共船几何

法列米六千五百六十一石为方积于一石上定单位五百石上定十位其六千五百石为初商积以初商本位计之则五百石为初商积之单位而六千五百为六十五与八自乗之数相准即定初商为八书于方积五百之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减余一百爰以余积六十一续书于下共一百六十一为次商廉隅之共积而以初商八作八十倍之得一百六十为廉法以除一百六十一足一倍即定次商为一书于方积一石之上而以次商一为隅法与廉法一百六十相加共得一百六十一为廉隅共法书于余积之左以次商一乗之仍得一百六十一与余积相减恰尽是开得八十一为共船数而每船载米八十一石也此法葢因一船所载之米分与各船毎船各领一石即共去八十石故本船尚余一石也

设如有钱一万五千六百二十五文买瓜每瓜一个与脚钱一文因无现钱将一瓜准作脚钱问瓜数几何

法列钱一万五千六百二十五为方积于五文上定单位六百上定十位一万上定百位其一万为初商积以初商本位计之则一万为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以第二位积五千六百续书于下为次商防隅之共积以次商本位计之则六百为次商积之单位而五千六百为五十六而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除五十六足二倍即定次商为二书于方积六百之上而以次商二为隅法与防法二十相加共得二十二为防隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余一千二百复以末位积二十五续书于下共一千二百二十五为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为防法以除一千二百二十五足五倍即定三商为五书于方积五文之上而以三商五为隅法与防法二百四十相加共得二百四十五为防隅共法书于余积之左以三商五乗之得一千二百二十五与余积相减恰尽是开得一百二十五为共瓜之数亦即每瓜之价也此法因每瓜应给脚钱一文今以一瓜准之即知一瓜之价与瓜之共数相等故以开方法算之而得也

带纵平方

带纵平方者两等边直角长方面积也有积数因长比阔之较或长与阔之和而得边故曰带纵葢正方之纵横皆同故止有积即可得其边若长方则纵横不等知其积又必知其纵横相差之较或纵横相并之和始能得其边故以长阔之较为问者则皆较为带纵加所开之数商除之而得阔或四因积数加较自乗平方开之即长阔之和和加较半之而得长和减较半之而得阔或半较自乗加原积而开平方即得半和加半较而得长减半较而得阔如以长阔之和为问者则用和为带纵减去所开之数商除之而得阔或四因积数减和自乗平方开之即长阔之较较减和半之而得阔较加和半之而得长或半和自乗减原积而开平方即得半较加半和而得长减半和而得阔夫用半较半和之法与四因积数之法同出一理葢四因积数加全较自乗故开方而得全和半较自乗加原积故开方而得半和四因积数减全和自乗故开方而得全较半和自乗减原积故开方而得半较此即面与线之比例面加四倍而边加一倍边得其半而积为四分之一也法虽不一要之皆使归于正方以求其和较是则虽曰带纵仍不外乎平方之理也

设如有长方面积八尺纵多二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之积八尺止可商二尺乃以二尺书于原积八尺之上而以所商二尺加纵多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺书于原积之下相减恰尽即知长方之阔得二尺加入纵多二尺得四尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲乙长比甲丁阔所多戊乙即纵多之数初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一边葢因此法长阔两边俱止一位而积亦止一位故初商所得即为一边而加入纵多即又一边是以两边相乗而与原积相等也

又法以积八尺用四因之得三十二尺而以纵多二尺自乗得四尺加八四因之数得三十六尺开方得六尺即为长阔相和之数乃以纵多二尺与长阔之和六尺相加得八尺折半得四尺即长方之长减纵多二尺得二尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑成一空心正方式再加入纵多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊类每一边即长阔之和故开方得长阔之和既得和加纵多是为倍长故折半而得长减纵多则为倍阔故折半而得阔或得长而减纵多亦得阔也