御制数理精蕴

将其积以其分数归之比例并同

又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也

又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆仿此类推之

设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣

又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相

减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也

设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何

法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减卽余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边旣得方边则各自乗卽得各面积矣

又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边卽长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也

设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何

法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长卽两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也

设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何

法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方

形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也

设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也

设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何

法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所

多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍卽成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干卽长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较卽得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较卽得大正方形之边也

设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简防而密合也

设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何

法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺卽每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线

【积为】内同底两三角形其面积【见几何原本三卷第十节】必等故甲丁乙甲丁丙两三角形相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者仿此类推

设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何

法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也

设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何

法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也

御制数理精蕴下编卷十九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十

面部十

曲线形

曲线形

设如圜径一尺二寸问周几何

法用周径定率比例以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤卽所求之圜之周数也葢圜之数竒零不尽立法必自方数始是故圜内容形屡求勾股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿万边内外凑集使圜周变为直线精密已极始为得之爰设圜径为一而圜周得三一四一五九二六五有余是为定率故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比卽同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一防八纤之比也

又周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径一一三周得三五四九九九九六九有余进而为三五五则周数微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之间耳

又周径定率比例以径数七为一率周数二十二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五防七纤有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径七周得二一九九一一四八五有余进而为二二则周数大而所得周数亦大至于旧术径一围三乃圜内容六等边形之共度实小于圜之周线故径一则围三有余围三则径一不足也

设如圜周一丈五尺问径几何

法用周径定率比例以周数三一四一五九二六五为一率径数一○○○○○○○○为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防有余即所求之圜之径数也葢前法有径求周故以定率之径与定率之周为比卽如今所设之径与今所得之周为比此法有周求径故以定率之周与定率之径为比卽如今所设之周与今所得之径为比也

又周径定率比例以周数一○○○○○○○○为一率径数三一八三○九八八为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二防为圜之径数也葢圜周为三一四一五九二六五则圜径为一○○○○○○○○若圜周为一○○○○○○○○则圜径为三一八三○九八八其比例仍同也如以周数三五五为一率径数一一三为二率今所设之圜周一丈五尺为三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余为圜之径数又或以周数二二为一率径数七为二率今所设之圜周一丈五尺为三率则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余较之前法所得径数稍小葢径为七而周稍小于二二若周为二二径必稍大于七今截而为七则径数稍小故所得径数亦稍小也

设如圜径八寸问面积几何

法以圜径八寸用径求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余卽圜之面积也葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等而圜之周界又与直角三角形之大边线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等【见几何原本四卷第二十一节】如甲乙丙丁圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形【癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等】卽为圜之面积也如以全周与全径相乗则以四归之亦得圜面积葢全径为半径之倍全周为半周之倍则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍为隔一位相加之比例故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也

又法用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢因圜径方边相等圜积方积不同故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如子寅圜径为一○○○○则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以圜径一○○○○○○○○为一率方边八八六二二六九二为二率今所设之圜径八寸为三率求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余为与圜面积相等之正方形每边之数自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢以圜积方积设为相等使圜径与方边不同先定为线与线之比例既得线而后自乗之为面也如子寅圜径一○○○○○○○○其所得之积开方则得八八六二二六九二即为辰己午未正方之每边是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面积为相等也

又法用方周圜周定率比例以方周数四五二为一率圜周数三五五为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余即圜之面积也此法葢因

方　　　　　　　　　　　　　　【丑圜径为一一】周与圜周之比同于方【见算法原本二卷第二十八节】积与圜积之比如子三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰己方周为四五二【方边一一三以四因之则得四五二】试以正方面之午丑半径为高寅卯辰己方周为底作一午丑未申长方形则比寅卯辰己正方形之面积大一倍又以圜面之午丑半径为高子丑圜周为底作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形之面积亦大一倍此两长方形同以午丑为高故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例且全与全之比例又同于半与半之比例故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二与圜周三五五之比即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也

又法以十四分为一率十一分为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余为圜之面积也此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比葢圜径七则圜周为二二半之得一一方边七则方周为二八半之得一四故以十四分与十一分之比亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也然所得之面积过大者因径七围二十二之定率其周既大故所得之圜积亦大也旧术圜积得方积四分之三求积则以圜径自乗四分损一得圜积求径则以圜积三分益一开方得圜径此仍以径一围三立法故径求积所得之数必小积求径所得之数必大也

设如圜周六尺六寸问面积几何

法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也

设如圜面积六尺一十六寸问径几何

法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之圜面积六尺一十六