御制数理精蕴

小圜形试连四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊一正方形用方边求斜法求得乙丁斜加己乙与丁庚两半径【即一小圜形之全径】即得己庚大圜形全径也

设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺二寸求内容小圜形径几何

法以大圜形径一尺二寸求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰半径六寸为中埀线用三角形容圜法求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余卽小圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线皆与圜之全径等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以两全径为两腰一半径为中线用三角形容圜法算之卽得一小圜径也

设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何

法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边用等边三角形求外切圜形全径法求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余加小圜全径五寸得一尺零七分七厘三豪五丝有余卽大圜形

全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三

小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙

丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形

其毎边皆与小圜全径等又切乙丙丁

三角作一圜形用等边三角形求外切

圜形全径法【解见三角形卷】求得乙戊径线加

己乙与戊庚两半径【即一小圜形之全径】卽得己

庚大圜形全径也

御制数理精蕴下编卷二十

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十一

面部十一

圜内容各等边形

圜外切各等边形

圜内容各等边形

设如圜径一尺二寸求内容三等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸为半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为圜内容三等边形之每一边爰以三等边形之每一边为每一边折半为勾求得股九寸或以圜径一尺二寸取其四分之三亦得九寸为圜内容三等边形之中垂线乃以每一边之一尺零三分九厘二豪三丝有余与中垂线九寸相乘得九十三寸五十三分零七厘有余折半得四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形试自丁至乙作丁乙线即圜内容六等边形之每一边与丁戊半径等甲乙全径丁乙半径与甲丁边遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全径为丁乙半径为勾求得甲丁股即圜内容三等边形之每一边也其甲己中垂线即甲丁己丁勾所求之股又为圜径四分之三既得一边又得中垂线即如三角形求面积法算之而得圜内容三等边形之面积也

又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽倍之得一尺零三分九厘二豪三丝六忽为圜内容三等边形之每一边既得每一边之数乃取圜径四分之三为中垂线与每一边之数相乘折半得四十六寸七十六分五十六厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形每一边之弧皆一百二十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为六十度甲戊即六十度之正甲丙即一百二十度之通是故半径十万与六十度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之毎一边八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝有余即圜内容三等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积三二四七五九五三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积四一三四九六六七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容四等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余为圜内容四等边形之每一边其半径自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形试自圜心戊至丁角作戊丁半径线遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同为半径一为勾一即为股故止以半径自乘倍之开方而得甲丁即圜内容四等边形之每一边也每一边自乘是仍为半径自乘倍之之数即圜内容四等边形之面积也

又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸二分四厘二豪六丝六忽倍之得八寸四分八厘五豪三丝二忽为圜内容四等边形之毎一边既得每一边之数即以毎一边自乘得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形每一边之弧皆九十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为四十五度甲戊即四十五度之正甲丙即九十度之通是故半径十万与四十五度之正之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之毎一边七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽有余即圜内容四等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积六三六六一九七七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容五等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以所得中率与半径首率相减余二寸二分九厘一豪八丝为末率折半得一寸一分四厘五豪九丝为半末率即以此半末率为勾中率为求得股三寸五分二厘六豪七丝一忽有余倍之得七寸零五厘三豪四丝二忽有余为圜内容五等边形之每一边又以中率与半末率相加得四寸八分五厘四豪一丝有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十七寸一十一分九十厘有余五因之得八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形试自圜心庚至每角各作一半径线即分五等边形为五三角形又自乙至戊作乙戊线即圜内容十等边形之每一边庚乙庚戊半径与乙戊边遂成庚乙戊三角形又依乙戊线度截庚乙半径于辛作戊辛线则又成戊辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式形故庚乙为首率乙戊戊辛俱为中率辛乙为末率辛壬与壬乙俱为半末率是以壬乙半末率为勾乙戊中率为求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等边形之毎一边又以庚辛中率与辛壬半末率相加得庚壬中垂线用三角形求面积法算之得庚丁戊一三角形面积五倍之而得圜内容五等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正五万八千七百七十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸五分二厘六豪七丝四忽倍之得七寸零五厘三豪四丝八忽为圜内容五等边形之每一边次以半径十万为一率三十六度之余八万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸八分五厘四豪一丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与毎一边折半之数相乘五因之得八十五寸五十九分六十厘有余为圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形每一边之弧皆七十二度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十六度甲庚即三十六度之正甲丙即七十二度之通辛庚即三十六度之余是故半径十万与三十六度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十六度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之每一边五八七七八五二五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率七寸零五厘三豪四丝二忽有余即圜内容五等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积五九四四一○三一为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积七五六八二六七二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容六等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸即圜内容六等边形之每一边爰以半径六寸为毎一边折半得三寸为勾求得股五寸一分九厘六豪一丝五忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十五寸五十八分八十四厘有余六因之得九十三寸五十三分零四厘有余即圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形其每一边皆六寸与半径等试自圜心庚至每角各作一半径线即分六等边形为六三角形以甲庚半径为甲丙一边折半得甲辛为勾求得股为庚辛中垂线用三角形求面积法算之得甲丙庚一三角形之面积六倍之而得圜内容六等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正五万为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸倍之得六寸为圜内容六等边形之每一边次以半径十万为一率三十度之余八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘六因之得九十三寸五十三分一十二厘有余为圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形每一边之弧皆六十度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十度甲庚即三十度之正甲丙即六十度之通辛庚即三十度之余是故半径十万与三十度之正之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十度之余之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也

又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之每一边五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸即圜内容六等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积六四九五一九○五为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积八二六九九三三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容七等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七厘零二丝五忽有余为圜内容十四等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与十四等边形之毎一边二寸六分七厘零二丝五忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸六分零三豪三丝有余倍之得五寸二分零六豪六丝有余为圜内容七等边形之每一边爰以半径六寸为七等边形之每一边折半为勾求得股五寸四分零五豪八丝一忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十四寸零七分二十九厘有余七因之得九十八寸五十一分零三厘有余即圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形试自圜心壬至毎角各作一半径线即分七等边形为七三角形又自戊至乙作戊乙线即圜内容十四等边形之毎一边壬乙壬戊半径与戊乙边遂成壬戊乙三角形故以壬乙半径为底壬戊半径与戊乙十四等边形之每一边为两腰求得戊癸垂线倍之得戊己即圜内容七等边形之每一边也又壬戊为戊癸为勾求得股为壬癸中垂线用三角形求面积法算之得壬戊己一三角形之面积七倍之而得圜内容七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之正四万三千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸六分零三豪二丝八忽倍之得五寸二分零六豪五丝六忽为圜内容七等边形之每一边次以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余九万零九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸四分零五豪八丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘七因之得九十八寸五十分九十六厘有余为圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正甲丙即五十一度二十五分四十二秒有余之通癸壬即二十五度四十二分五十一秒有余之余是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之每一边四三三八八三七四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸二分零六豪六丝有余即圜内容七等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积六八四一○二五四为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积八七一○二六四一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容八等边形之每一边及面积几何

法以圜径一尺二寸求得圜内容四等边形之每一边为八寸四分八厘五毫二丝八忽有余折半得四寸二分四厘二毫六丝四忽有余为股又以四边之半四寸二分四厘二豪六丝四忽有余与半径六寸相减余一寸七分五厘七毫三丝六忽有余为勾求得四寸五分九厘二豪一丝九忽有余为圜内容八等边形之毎一边爰以半径六寸为八等边形之毎一边折半得二寸二分九厘六豪零九忽有余为勾求得股五寸五分四厘三豪二丝八忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十二寸七十二分七十八厘有余八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余即圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形先求得圜内容四等边形之毎一边为戊己折半得戊壬与癸壬等为股以癸壬与癸乙半径相减余壬乙为勾求得戊乙为圜内容八等边形之每一边试自圜心至每角各作一半径线即分八等边形为八三角形以癸乙半径为戊乙折半得子乙为勾求得股为癸子中垂线用三角形求面积法算之得癸戊乙一三角形之面积八倍之而得圜内容八等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正三万八千二百六十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸二分九厘六豪零八忽倍之得四寸五分九厘二豪一丝六忽为圜内容八等边形之每一边次以半径十万为一率二十二度三十分之余九万二千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸五分四厘三豪二丝八忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余为圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形毎一边之弧皆四十五度试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正甲丙即四十五度之通癸壬即二十二度三十分之余是故半径十万与二十二度三十分之正之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十二度三十分之余之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也

乂用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之毎一边三八二六八三四三为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸五分九厘二豪二丝有余即圜内容八等边形之每一边也

又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也

又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积九○○三一六三一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也

设如圜径一尺二寸求内容九等边形之每一边及

面积几何

法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率三倍等之法求得二率二寸零八厘三豪七丝七忽有余为圜内容十八等边形之每一边【详见割圜卷中】乃以半径六寸为底仍以半径六寸与圜内容十八等边形之毎一边二寸零八厘三豪七丝七忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸零五厘二豪一丝一忽有余倍之得四寸一分零四豪二丝二忽有余即圜内容九等边形之毎一边爰以半径六寸为九等边形之毎一边折半为勾求得股五寸六分三厘八豪一丝五忽有余为自圜心至毎一边之中垂线乃以毎一边折半之数与中垂线相乘得一十一寸五十七分零一厘有余九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余即圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形试自圜心子至每角各作一半径线即分九等边形为九三角形又自己至乙作己乙线即圜内容十八等边形之毎一边子乙子己半径与己乙边遂成子己乙三角形故以子乙半径为底子己半径与己乙十八等边形之毎一边为两腰求得己丑垂线倍之得己庚为圜内容九等边形之每一边也又子己为己丑为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己庚一三角形之面积九倍之而得圜内容九等边形之总面积也

又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正三万四千二百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸零五厘二豪一丝二忽倍之得四寸一分零四豪二丝四忽为圜内容九等边形之每一边次以半径十万为一率二十度之余九万三千九百六十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸六分三厘八豪一丝四忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余为圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形毎一边之弧皆四十度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为二十度甲子即二十度之正甲丙即四十度之通丑子即二十度之余是故半径十万与二十度之正之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十度之余之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也