御制数理精蕴

十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也此法与前法同此法之以上长倍之加下长与上阔相乘之数即前法之上长上阔相乘倍之又加上阔与下长相乘之数也又此法之以下长倍之加上长与下阔相乘之数即前法之下长下阔相乘倍之又加下阔与上长相乘之数也图解并同又法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺又以上长四尺与下阔六尺相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺与高十尺相乘得八百四十尺三归之得二百八十尺亦即上下不等长方体形之积也葢此法与上下不等正方体求积之法同但正方体上下俱系正方面故止用上下方边各自乘上方边与下方边相乘此则上下方面各有长阔既用上方长阔相乘下方长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘上阔相加折半以取中数乃可相并而与高数相乘三归之而得体积也又法以上长四尺与下长八尺相减余四尺折半得二尺为一率高十尺为二率下长八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等长方体形上补成一尖长方体之共高乃以下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所得共高二十尺相乘得九百六十尺三归之得三百二十尺为大尖长方体之积又以高十尺与共高二十尺相减余十尺为上小尖长方体之高以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高十尺相乘得一百二十尺三归之得四十尺为上小尖长方体之积与大尖长方体积三百二十尺相减余二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形加戊甲丁小尖长方体形遂成戊乙丙大尖长方体形先以上长与下长相减折半如己庚以下长折半如己辛依勾股比例己庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下长方面相乘三归之得戊乙丙大尖长方体积以戊癸与甲丁上长方面相乘三归之得戊甲丁小尖长方体积于戊乙丙大尖体积内减去戊甲丁小尖体积所余必甲乙丙丁上下不等长方体形之积也

设如上下不等刍荛体形上长十尺下长十四尺下阔五尺高十二尺问积几何

法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺为上下相等刍荛体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下阔五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍荛体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍荛体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍荛体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍荛体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛阔【与乙丙等】相乘即得己辛壬庚刍荛体之底面积与甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊刍荛体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙阔相乘得乙辛与庚丁二尖方体之底面积与高相乘三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与甲己辛壬戊一刍荛积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍荛体之总积也

设如两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸高三尺七寸问积几何

法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等【见几何原本五巻第十九节】故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立之长方体为相等也

设如空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何

法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸为内方边与外方边相乘长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅巳子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为内方边长为外方边也

又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乘再乘得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边加较四寸得一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅则空心正方体变为甲戊辛庚丙丁壬磬折体形其甲戊即磬折体之厚为甲乙外方边与戊己内方边之较依开立方次商法分之得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅体与共积相减余三方廉体三长廉体三归之则余癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方体则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即空心方体之内方边以甲戊与戊乙相加得甲乙即空心方体之外方边也

设如大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边各几何

法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乘再乘得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺即小正方之边数加较四尺得十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减去戊己庚辛小正方体余壬甲戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊边较自乘再乘得巳一小隅体与磬折体积相减余三方廉体三长廉体三归之则得癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也

设如大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何

法以共边二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百一十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔八尺即小正方之边数与共边二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙癸子一总正方体内减甲乙丙丁与戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅卯三方廉体辰巳午三长廉体三归之则得丑一方廉体辰一长廉体共成未壬乙丙戊申一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊申之长方面形其未壬阔与壬甲等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长阔和用带纵和数开平方法算之得未壬阔即小正方之边数与长阔和相减余壬戊长即大正方之边数也

御制数理精蕴下编卷二十五

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷二十六

体部四

曲线体

曲线体

设如长圎体径与髙皆七尺问积防何

法以长圎体径七尺用求圎面积法求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁长圎体之积也

又法以长圎体径七尺用径求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余与髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余为长圎体之外面积以半径三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先求得乙己丙戊圎周与甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面积为底以庚甲半径乗之得庚甲丙辛长方体为甲乙丙丁长圎体积之二倍葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等而长圎体之半径又与长方体之髙度等则长圎体为长方体之一半【见防何原本五卷第二十四节】故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也

又法用长方体长圎体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之长圎体径七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺为三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余即长圎体之积也此法葢以长方体与长圎体为比例定率之一○○○○○○○○○为长方体积而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积故以径自乗髙再乗得长方体积彼定率之长方体与长圎体之比即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也

设如尖圎体底径六尺中髙六尺问积防何

法以底径六尺用求圎面积法求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余三归之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余即尖圎体之积也如圗甲乙丙丁戊尖圎体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底面积以甲己髙乗之得庚乙丁辛长圎体为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍葢因上下面平行各体与平底尖体同底同髙者其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一【见防何原本五卷第二十三节】故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之即得甲乙丙丁戊尖圎体积也

又法用尖方体尖圎体之定率比例以尖方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺成尖方体积为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余即尖圎体之积也盖尖方体为长方体之三分之一而尖圎体为长圎体之三分之一故尖方体与尖圎体之比即同于长方体与长圎体之比也

又捷法定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积二六一七九九三八八为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余即尖圎体之积也此法葢以长方体与尖圎体为比例长方体积为一○○○○○○○○○则长圎体积为七八五三九八一六三将此长圎体积三归之则得尖圎体积为二六一七九九三八八故定率之长方体与尖圎体之比即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也

设如尖圎体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何

法以底周二十二尺用周求径法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎体以乙丙丁戊底周求得乙丁底径折半得乙巳半径为勾以自尖至底周之甲乙斜线为求得甲巳股即中垂线之髙也

设如圎　　　　　　【与】球径二尺问外面积几

何法以　　　　　　　　　　　【球】圎球径二尺用径求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余与径二尺相乗得一十二尺五

十六寸六十三分七十厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】即圎

球之外面积也如圗甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　【半】丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径

径等者其圎面积为　　　　　　　　　　　　　　　　【癸】球体外面积之

四分之一而圎面半径　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】与球体全径等者其圎面积与球体外面【圎体此球体之乙见

几何】积等　　　　　　　　　　　【原】故圎球全径与全周相乗【本】而得圎球之

外面积　　　　　　【十】也设如圎球径一尺二

寸问积　　　　　　　　　　　【巻】几何法以圎球径一尺二寸用径求圎面积法求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四

【第】十丝有余以圎球径一尺二寸乗之

得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余为长圎体积三归之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余倍之得九百零四寸七

百七十八分六百八　　　　　　　　　　　　　　　　【八】十二厘有余即

圎球之体积　　　　　　　　　　　　　【节】也如圗甲乙丙丁圎球体求得戊己庚辛平圎面积以甲丙全径乗之得与圎球同径同髙之壬戊庚丁全径与长圎体之戊庚底径度等而

【有】球体之甲丙全径又与长圎体之壬

戊髙度等则球体积为长圎体积之三

分之【余以半径六寸乗之得二】二试以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】圎球同径

之平圎面积为　　　　　　　　　　　　　　【见】底圎球之半径为髙

作一甲乙丁尖圎体则其积为甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【防】乙丁半球体积之半夫尖圎体与长圎体同底同髙其比例为三分之一而尖圎

【何】体又为半球体之二　　　　　　　　　　　　　　　　　【原】分之一则半

球体必为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【本】之三分之二半

球体既为半长圎体　　　　　　　　　　　　　　　　【十】之三分之二则全球体必为全长圎体之三分之二可知故以所得壬戊庚癸长圎体积三归

倍　　　　　　　　　【卷】之即得

甲乙丙丁　　　　　　　　　　　　【第】圎球体积也又法以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【九】圎

球径一尺二寸用　　　　　　　　　　　　　　　【节】求圎球之外面积法求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之

体积也如圗甲乙丙丁圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】球体先求得外面积乃以此外面积为底戊丙半径为髙作一戊己庚尖圎体其体积必

与　　　　　　　　　【零】圎球体积等葢尖圎体之底面【四】积与球体之外面积等尖圎体之髙度与球体之半径等则其体积【寸七百七十见防何原本五卷】亦必等故以戊丙半径与外面积相乗三归之即如得戊己庚尖圗体积

而为甲乙　　　　　　　　　　　　【第】丙丁圎

球体积也又　　　　　　　　　　　　　【二】法以方邉球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】径相等方积球积不同之定率比例以方积一

○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【五】○○○为一率球积

五二三五九八七七五为　　　　　　　　　　　　　　　　　　【节】二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九

八分六百八十三厘有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【八】球之

体积也此法葢因　　　　　　　　　　　　　　　【十】圎球径与正方邉相等而圎球积与正方积不同故以圎球径自乗再乗作正方积为体与体之

比例如子　　　　　　　　　　　　【三】丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为

一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积

为五二三五九八七七五故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【有】以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○【余】

○与子丑圎球径所得　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】之子午丑未圎球体积五二三五九八七七五之比

即同于　　　　　　　　　　　【比】今所设之甲丙圎球径一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积

一尺七百二十八寸与今　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】所得之甲乙丙丁圎球体积九百零四寸七百七十八分六百

又法用　　　　　　　　　　　【寅】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【邜】等球径方邉

不同之定率比例　　　　　　　　　　　　　　　【正】以圎球径一○○○○○○○○为一率正方邉八○五

九九五九七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】设之圎球径一尺二寸为三率求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有【邉】余为与圎球积相等之正方体每邉之数自乗再乗得九百零四寸七百七十

八分六百四十九　　　　　　　　　　　　　　　【八】厘有余即圎球之

体积　　　　　　　　　　【○】也此法葢以圎球积与正方【五】积设为相等使圎球径与正方邉不同先定为线与线之比例既得线而后自

乗再乗　　　　　　　　　　　【九】之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅

邜辰巳正方体之　　　　　　　　　　　　　　　【九】每一邉是子午丑未圎球积与寅邜辰巳正方积相等故子丑圎球径一○○○○○○○○与五九七之比即同于今所设之甲丙圎

【积】球径一尺二寸与今所得之戊巳正

方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲

乙丙丁　　　　　　　　　　　【六】圎球体积为相

等也又法以二十一分为一率十一分为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零五寸一百四十二分

八百五十七厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　【尺】为圎球之体积也葢以正方体积一○○○○○○○

【问】○○圎球体积五二三五九八七七

五之定率约之则正方体积二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】十一而圎球体积得一○九九有余进而【防】

为十一则圎球体积稍大　　　　　　　　　　　　　　　　　　【何】故今所得之圎

球体积亦稍大也设如圎球

法用　　　　　　　　　　【○】球径方邉相　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球积方积不

同之定率比　　　　　　　　　　　　　【○】例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八

五九三一七为二率今所　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】设之圎球积六尺为三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘

有　　　　　　　　　【○】余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四

厘五豪零二　　　　　　　　　　　　　【○】忽有余即圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【为】球之径也葢圎球积为五二三五九八七七五

则正方积为一○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】○○○○○若圎球积为一○○○○○○○○○则正方积为一九○九八五九三一

七　　　　　　　　　【率】其比例仍同故以圎球积一○○

○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【也】○为一率者即如以圎球积五二三五九八七七五为一率而以正方积一九○九八五九三一七为二率者即如以正方积一○○○

又法用　　　　　　　　　　　【○】球积方积相　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○

○九八为二率今所设　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圎球积六尺开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余为三率求得四率二尺二寸

五分四厘五豪零二忽有　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】余即圎球之径也此法亦以圎球积与正方积设

为　　　　　　　　　【○】相等使圎球径与正方邉　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】不同故以圎球积开立方得立方邉为线与

线之比例葢方邉为八○五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】九九五九七则球径为一○○○○○○○○

若方邉为一○○　　　　　　　　　　　　　　　【为】○○○○○○则球径为一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○为一率者即如以方邉八○五九九【二】五九七为一率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○率也