御制数理精蕴

率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○率也

设如撱圎体大径六寸小径四寸问积几何

法以小径四寸用径求圎面积法求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余以大径六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余为长圎体积三归之得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余倍之得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也如圗甲乙丙丁撱圎体以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积再以甲丙大径乗之得壬戊庚癸长圎体此撱圎体积即为

长圎体积之三分之二亦如圎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【大】球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁撱圎体积

也又法以小径四寸自乗得十六寸以径六寸再乗得九十六寸为长方体积

乃用方积　　　　　　　　　　　　【为】球积不同方　　　　　　　　　　　　　　　　　　【撱】邉球径相等之定率比例以方积一○○○○○

○○○○为　　　　　　　　　　　　　【圎】一率球积五二三五九八七七五为二率今所得之长方体积九十六寸为三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也葢函撱圎之长方体与所

函撱圎体之比　　　　　　　　　　　　　　【体】同于函球之正方【之】体与所【积也见几何原本十卷第十】函球体之比如甲乙丙丁撱圎体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以乙丁小径自乗又以甲丙大径再乗遂成戊己庚辛长方体形此长方体积与撱圎体积之比即同于正

【四】方体积与圎球体积之比故以定率

之正方　　　　　　　　　　　【节】体积为一率圎球体积为二率今所得之长方体积为三率求得四率

设如撱圎体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各防何

法用方积球积不同方邉球径相等之

定率比例以　　　　　　　　　　　　　【开】球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之撱圎体积五十寸为三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余为长方体积乃以大径比小径多二寸为长与濶之较用带一縦开立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有余即撱圎体之小径加大径比小径多二寸得五寸九分九厘二豪有余即撱圎体之大径也如圗甲乙丙丁撱圎体【立】用球积与方积之定率比例即成戊己庚辛长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚濶即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径多二寸即长濶之较故用带一縦方法算之得濶为撱圎体之小径得长为撱圎体之大径也

设如上下不等圎面体上径四尺下径六尺髙八尺问积防何

法以上径四尺用径求圎面积法求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余又以下径六尺用径求圎面积法求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余又以上径四尺与下径六尺相乗得二十四尺开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余用径求圎面积法求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余三数相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余与髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圎面体之积也葢上下不等圎面体立法与上下不等正方体同理但上下不等正方体上下俱系方面故求得上中下三方面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积也

又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙乃以下径六尺用径求圎面积法求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余与所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余三归之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余为大尖圎体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上尖圎体之髙以上径四尺用径求圎面积法求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余与上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余三归之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余为上小尖圎体之积与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余即上下不等圎面体之积也如圗甲乙丙丁上下不等圎面体如戊甲丁小尖圎体遂成戊乙丙大尖圎体故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也

又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例以正方体积一○○○○○○○○○为一率圎面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圎面体之积也

又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺相乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有余即上下不等圎面体之积也此法葢以三上下不等正方体与一上下不等圎面体为比例夫一上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为七八五三九八一六三若三上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为二六一七九九三八八故以上径自乗下径自乗上下径相乗三数相并以髙乗之所得为三上下不等正方体积彼定率之三上下不等正方体与一上下不等圎面体之比即同于今所得之三上下不等正方体积与所求之一上下不等圎面体积之比也

设如上下不等撱圎面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何

法以上大径四尺与上小径三尺相乗得一十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃用方积圎积之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率圎积七八五三九八一六三为二率三数相并之八十四尺为三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有余与髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有余三归之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢上下不等撱圎面体立法与上下不等圎面体同但上下不等圎面体上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系撱圎面故必求得上中下三长方面积相并用定率比例得三撱圎面积乃与髙相乗三归之而得体积也又法以上大径四尺与下大径八尺相减余四尺折半得二尺为一率髙十尺为二率下大径八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等撱圎面体上补成一尖撱圎体之共髙乃以下大径八尺小径六尺用求撱圎面积法求得下撱圎面积三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有余与所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有余三归之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余为大尖撱圎面体之积又以髙十尺与共髙二十尺相减余十尺为上小尖撱圎面体之髙以上大径四尺小径三尺用求撱圎面积法求得上撱圎面积九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有余与上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有余三归之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有余为上小尖撱圎面体积与大尖撱圎面体积二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余相减余二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有余即上下不等撱圎面体积也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面体如戊甲丁小尖撱圎面积遂成戊乙丙大尖撱圎面体故于戊乙丙大尖撱圎面体内减戊甲丁小尖撱圎面体而得甲乙丙丁上下不等撱圎面体之积也又法用上下不等长方体与上下不等撱圎面体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六归之得二百八十尺成上下不等长方体积为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢长方面积与撱圎面积之比同于方面积与圎面积之比故上下不等长方体与上下不等撱圎面体之比即同于长方体与长圎体之比也

又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有余即上下不等撱圎面体之积也此法葢以六上下不等长方体与一上下不等撱圎面体为比例夫一上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为七八五三九八一六三若六上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为一三○八九九六九四故以上大径倍之加下大径与上小径相乗以下大径倍之加上大径与下小径相乗两数相并以髙乗之所得为六上下不等长方体积彼定率之六上下不等长方体积与一上下不等撱圎面体积之比即同于今所得之六上下不等长方体积与所求之一上下不等撱圎面体积之比也

设如截　　　　　　【求】球体一段髙二寸底径九寸六分问积防何法以髙二寸为首率底径九寸六分折半得四寸八分为中率求得末率一

尺一寸五分二厘为　　　　　　　　　　　　　　　　【得】圎球之截径加

髙二寸得一尺三寸五分二厘　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】为圎

球之全径折半得六寸七分六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【圎】厘为圎球之半径又以髙二寸为勾底径九寸六分折半得四寸八分为股求得五寸二分作平圎半径用求圆面积法面积八十四寸九十四分八十六厘有

余即为截　　　　　　　　　　　　【圎】球体一段之外面积与【体】圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘有余三归之得一百九十一寸四百

一十七分五百一十二厘有余为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】自

圎球中　　　　　　　　　　　【一】心所分球面尖圎体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】积又以截球体底径九寸六分用求平圎面

【九】积法求得截球体之底面积七十二

寸三十八分二十　　　　　　　　　　　　　　　【十】二厘有余于圎球

半径六寸七　　　　　　　　　　　　　【一】分六厘内减去截球体

之髙二寸余　　　　　　　　　　　　　【寸】四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积与球面尖四百一十七分五百一十二厘有余相

减余七十　　　　　　　　　　　　【丑】六寸五百七十一分八【寅】十八厘有余即截球体一段之积也如

圗甲乙　　　　　　　　　　　【邜】丙截球体一段其乙丙底径即如弧矢形之长其甲丁髙即如弧

矢形之矢濶故甲丁为首率乙丙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【平】底

径折半　　　　　　　　　　　【圎】得乙丁为中率求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【面积】丁【之四倍若甲辛壬半球体】戊末率为截球径与甲丁

【其见】髙相加得甲戊为圎球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【各】全径折

半得甲巳为圎球　　　　　　　　　　　　　　　【面】半径又以甲丁为

勾乙丁为股　　　　　　　　　　　　　【形】求得甲乙乃以甲乙

为半径求　　　　　　　　　　　　　【】得　　　　　　　　　　　　　　　【矢】庚乙丙平圎面积

即与甲乙丙截球　　　　　　　　　　　　　　　【求】体一段之外面积

等葢圎　　　　　　　　　　　【圎】面半径与球体半径等者其

圎面积为　　　　　　　　　　　　【径】球体外面积之四分之一

【法】而圎面半径【见防何原本十卷第八节】与球体全

径等者其圎面积与球体外面积等故甲辛戊壬圎球体其外面积为同径子外面积必为子丑寅邜平圎面积之二倍然则甲己半径求得平圎面积又辛己半径亦求得平圎面积两面积相并

必与甲辛壬半　　　　　　　　　　　　　　【体】球体之外面积等矣

今甲乙丙　　　　　　　　　　　　【底】截球体一段若以甲丁为半径求得平圎面积又以乙丁为半径求得平圎面积两面积相并亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等而甲乙自乗之正方与甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相并之积等则甲乙为半径所得之圎面积亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等故以甲乙为半径所得之庚乙丙平圎面

积即与甲乙　　　　　　　　　　　　　【径】丙截球体一段之外面

积相等也　　　　　　　　　　　　【求】既得截球体一段之外面积与甲巳圎球半径相乗三归之得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球得乙丙底面积与丁巳截半径相乗三归之得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减所余即甲

乙丙截　　　　　　　　　　　【减】球体一段之积

也又法先求得　　　　　　　　　　　　　　【去】圎球径一尺三寸五分二厘用径求周法求得圎周四尺二

寸四分七厘四豪三丝三忽有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【截】与截球体一段之髙二寸相乗得八十四

寸九十四分八十六厘有余　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】即为截

球一段之外　　　　　　　　　　　　　【体】面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十

二厘　　　　　　　　　　【之】有余为自　　　　　　　　　　　　　　　【髙】圎球中心所分球

面　　　　　　　　　【二】尖圎体积又以截球体底径九寸

六分用求　　　　　　　　　　　　【寸】平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内

余四寸七分六厘与截　　　　　　　　　　　　　　　　　【则】球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘

有余为自　　　　　　　　　　　　【与】圎球中心　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】至截球径所

分平面尖圎　　　　　　　　　　　　　【巳】体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七

十一分八十八厘　　　　　　　　　　　　　　　【半】有余即截球体一

段之积也如　　　　　　　　　　　　　【径】圗甲乙丙截球体一段先求得甲戊全径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗得庚子丑

辛截长圎体一段之外面　　　　　　　　　　　　　　　　　　【相】积与甲乙

丙截球体一　　　　　　　　　　　　　【乗】段之外面积等葢球体全径与长圎体底径髙度相等者其相当每【见防何原本十卷第十一节】段之外面积皆相等既得甲乙丙截球体一段之外面积

三归之而得己丙甲乙　　　　　　　　　　　　　　　　　【厘】球面尖圎体

积又以乙丙　　　　　　　　　　　　　【相】截球体底面积与丁己截半径相乗三归之而得己丙丁乙平

面尖圎体积与己丙　　　　　　　　　　　　　　　　【减】甲乙球面尖圎

体积相减余即得甲　　　　　　　　　　　　　　　　【余】乙丙截球体一

段之积也设　　　　　　　　【三】如空心圎球积二千寸厚三寸问内外

径数各防何法用球径方邉相等球积

方积不同之　　　　　　　　　　　　　【尺】定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九

○九八五九三一七为二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】所设之空心圎球积二千寸为三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪为内径与外径相乗长方面积乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九

丝七忽有余即空心圎　　　　　　　　　　　　　　　　　【心】球外径也此

法盖以空心　　　　　　　　　　　　　【正】圎球体与空心正方体

为比例即　　　　　　　　　　　　【方】如用球积与方积定率为

比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】空心圎球体其甲丙外径与壬癸外方邉等其戊庚内径与寅邜内方邉等是以

甲　　　　　　　　　【之】乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比而空心圎球体与空

比即如　　　　　　　　　　　【十】球体积与方体积之比也既得空心正方体积则用算空心正方体法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体六归之得酉戌坎未一长方扁体用厚三寸除之得酉戌亥干一长方面积其酉戌濶与戊庚等即内径其酉干长与壬丑等即外径其酉寅巳干皆与壬酉厚度等酉寅巳干并之即长濶之较故以厚三寸倍之为带縦求得濶为内径长为外径

也又法用定率比例求得空心正方体积以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较自乗再乗得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减余三尺六百零三寸七百一八分六百三十四厘有余三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余以内外方邉之较六寸除之得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积以内外方邉之较六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余

即空心圎　　　　　　　　　　　　【度】球外径也如圗甲乙丙丁

戊己庚辛空心　　　　　　　　　　　　　　【自】圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚为甲丙外径与戊庚内径之较依开立方法分之得酉戌亥三方亷体干坎艮三长亷体震一小隅体以壬寅厚乗再乗得震一小隅体与空心正方体积相减余三方亷体三长亷体三归之则余酉一方亷体干一长亷体共成巽壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长濶之较故用带縦较数开平方法算之得邜辰濶与寅癸等即空心圎球之内径以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等

即空心圎　　　　　　　　　　　　【十】球之外径

也设如圎窖一座周二十四尺髙十尺问盛米防何法以周二十四尺用圎周求面积法求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余与髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为圎窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圎窖体积四百五十八尺三百六六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米数也此法与求长圎体积之法同如甲乙丙丁长圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面积用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁长圎体积既得体积则以一石积数二千五百寸与一石之比同于今所得之体积与今所求之米数之比也

设如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各防何

法以米一石为一率一石积数定率二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圎窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圎窖之面积乃用圎积方积之定率比例以圎积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之圎窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余即圎窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余即圎窖之周数也