御制数理精蕴

体之每一边求外切二十面体之每一边则先求得八面体之角相对斜线折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与大分之比同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比既得毎边之半倍之即八面体外切二十面体之一边也

设如二十面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何

法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余【面体】见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面

体内容圆　　　　　　　　　　　　【中】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得一○七○四六六二六为一率小分三八一

九　六六一为二率今所得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为三率求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余即二十面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容十二

心至角之斜线二十面体内容圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】球

径即十二面体外切　　　　　　　　　　　　　　　　【一】圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即二十面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切二十面体之一边则先求

得十二面体外　　　　　　　　　　　　　　【边】切圆球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】又求得球外切二十面体之一边即十二面体外切二十面体之

更体形

设如正方体每边一尺二寸今欲作与正方体积相等之圆球体问径几何

法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○

○○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　　【积】球径一二四○七○○九八为二率今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余

即　　　　　　　　　【亦】圆球之径也葢正方体之每边为

一○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　【为】○圆球径为一二四○七○○九八则两体积相等故以子丑寅卯正方体之每边一○○○

○○○○○与　　　　　　　　　　　　　　【相】辰巳圆球径一二四○七○○九八之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比而两体等也

设如正方体积一尺七百二十八寸今欲作与正方边相等之圆球体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○

○○○为一率圆　　　　　　　　　　　　　　　【八】球积五二三五九八七七五为二率今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十

三厘有余即　　　　　　　　　　　　　【分】圆球之积也葢正方体

积为一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【六】○圆球积为五二三五九八七七五则正方体

之每　　　　　　　　　　【百】边与圆球径相等故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○

【八】与辰巳圆球积五二三五九八七七

五之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己圆球积九百零四寸七百七十十三厘有余之比而正方体之每边与

圆　　　　　　　　　【分】球径亦为相等

也设如圆球径一尺二寸今欲作与圆球积相等之四面体问毎一边几

何法用体积相等边线不同之定率比

例以定率之　　　　　　　　　　　　　【二】圆球径一二四○七○○九八为一率四面体之毎边二○三九六四八九○为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余即四

面体之每一边也　　　　　　　　　　　　　　　【厘】葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故

以　　　　　　　　　【七】子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比即同于今所设【豪】之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七三丝八忽有余之比而两体积亦为相等也

设如圆球积一尺七百二十八寸今欲作与圆球径相等之四面体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例

以定率之圆　　　　　　　　　　　　　【面】球积五二三五九八七七五为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五

厘有余即四面体之积也葢　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】圆球积为五二三五九八七七五四面体积为

一一七八五一一二九　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】则圆球径与

四面体之每边相等故以　　　　　　　　　　　　　　　　　　【三】子丑圆球积五二三五九八七七五与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸与今所得之丙丁戊己四百八十八寸九百三十六分六百四十

五厘有余之比而圆　　　　　　　　　　　　　　　　【面】球径与四面体之毎边亦为相等

也设如八面体每边一尺二寸今欲作与八面体积相等之十二面体问每边几

何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也

设如八面体积一尺七百二十八寸今欲作与八面体毎边相等之二十面体问积几何

法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也

御制数理精蕴下编卷二十九

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十

体部八

各体权度比例

堆垜

各体权度比例

数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法防以诸物制爲正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之爲质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也

赤金十六两八钱

纹银九两

水银十二两二钱八分

红铜七两五钱

白铜六两九钱八分

黄铜六两八钱

纲六两七钱三分

生铁六两七钱

熟铁六两七钱三分

高锡六两三钱

六锡七两六钱

倭铅六两

黑铅九两九钱三分

白玉二两六钱

金珀八钱

白玛瑙二两三钱

红玛瑙二两二钱

砗磲一两五钱二分

青石二两八钱八分

白石二两五钱

红石二两五钱六分

象牙一两五钱四分

牛角一两九钱

沉香八钱二分

白檀八钱三分

紫檀一两零二分

花梨八钱七分

楠木四钱八分

黄杨七钱五分

乌木一两一钱

油八钱三分

水九钱三分

设如有金一方每边三寸问重几何

法以一寸爲一率金寸方重一十六两八钱爲二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积爲二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也

设如有银一方每边二寸问重几何

法以一寸爲一率银寸方重九两爲二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积爲八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也

设如黄铜一条重三百七十四两问积几何

法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸爲二率今所设黄铜重三百七十四两爲三率求得四率五十五寸即黄铜之积也

设如熟铁一块重十六两欲镕爲正方体问毎边几何

法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率一寸爲二率今铁重十六两爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也

设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何

法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水银一匣之积数爰以一寸爲一率水银寸方重一十二两二钱八分爲二率今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也

设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何

法以玉寸方重二两六钱爲一率一寸爲二率今所设玉重九十三两六钱爲三率求得四率三十六寸爲长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸爲带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸爲阔再加长比阔多三寸得六寸爲长也

设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何

法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱爲一率金一寸爲二率今相减所余之三十一两二钱爲三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱爲一率一寸爲二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱爲三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也

设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何

法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分爲高再乘得一十二寸五百分爲炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱爲一率金一寸爲二率今相减所余一十四两二钱爲三率求得四率一寸爲金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分爲玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱爲玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱爲一率一寸爲二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也

设如空心金　　　　　　　　【率】球一个外径一尺二寸厚三分问重几

何法以　　　　　　　　　　　【球】金球外径一尺二寸自乘再

乘得一尺七百二十八寸乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【积】方边球径相等方积球积不同之定率比例

以方积一○○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【五】爲

一率球积五二三五九八七七五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】爲二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分爲空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○爲一五九八七七五爲二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三

厘有余爲　　　　　　　　　　　　【边】球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十

厘有余爲空　　　　　　　　　　　　　【较】心球体积乃以一寸爲一率金寸方重十六两八钱爲二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空【二】心金球体之

重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数

各几何法以红石比青石每边多二寸爲边较体积多五十六寸爲积较用大小二立方有边较积较求边法算之以寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸爲一率红石寸方重二两五钱六分爲二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸爲一率青石寸方重二两八钱八分爲二率青石每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆爲正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也

设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸爲一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十两爲第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余爲第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余爲第三桶之边数乃以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余爲三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余爲三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也

设如金　　　　　　【二】球一个径二寸二分六厘今欲作一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】银

球其重　　　　　　　【七】与金球等问

径几何法以金方边一寸爲一率银方边一寸二分三厘爲二率今所设之金球径二寸二分六厘爲三率求得四率

二寸七分七厘有　　　　　　　　　　　　　　　【分】余即银球之径数也此法葢因各色俱爲正方体其重数俱设爲十六两八钱与金寸方等故金方边爲一寸银方边爲一寸二分三厘水银方边爲一寸一分一厘铅方边爲一寸一分九厘铜方边爲一寸三分一厘铁方边爲一寸三分六厘锡方边爲一寸三分九厘石方边爲一寸八分九厘水方边爲二寸六分四厘油方边爲

四厘皆系边与边之比例故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四

率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重

几何法以青石寸方重二两八钱八分爲一率熟铁寸方重六两七钱三分爲二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重

堆垜

堆垜之法虽爲体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则爲四角尖堆以三角面层累者则爲三角尖堆此二者每层之边皆同爲递加一数每层之面积则三角爲按位相加之数四角爲按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则爲长方堆以全堆而减去上截者则爲半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后

设如一面直角尖堆底十二求积几何

法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二层其每层皆加一爲挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖爲一防无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也

设如一面直角尖堆积二十八求底几何

法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等爲一面直角尖堆之底阔也

设如一面三角尖堆底七求积几何

法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也

设如一面三角尖堆积三十六求每边几何

法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也

设如一面梯形堆上五下九求积几何

法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五爲层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲层数五【凡自一递加之数其末数即位数今首数爲五计自一己截去四位故于末数内减去所少之位即爲今之所有之位见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也