御制数理精蕴

十二丈为长方积以一根作一丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得长二百八十九丈为一根之数卽正方之面积亦卽长方之长开平方得一十七丈卽正方之边亦卽长方之阔以正方面积二百八十九丈与长方面积八万三千二百三十二丈相并共得八万三千五百二十一丈又以正方面积二百八十九丈自乘亦得八万三千五百二十一丈是与两方之共面积相等也【此带纵较数开平方法】

设如有银买驼马共六十一匹驼毎匹之价与共驼数等马毎匹之价与共马数等今卖马一匹之价与共驼数等卖驼一匹之价为共马数之二倍共得利银七百一十九两问驼数马数及毎匹价各若干

法借一根为共马数则六十一匹少一根为共驼数以共马数一根自乘得一平方为买马之共价以共驼数六十一匹少一根自乘得三千七百二十一两少一百二十二根多一平方为买驼之共价两共价相加得三千七百二十一两少一百二十二根多二平方为买驼马之总银数又以共马数一根与共驼数六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方为卖马之共银数以共驼数六十一匹少一根与二倍共马数二根相乘得一百二十二根少二平方为卖驼之共银数两共银数相加得一百八十三根少三平方为卖驼马之总银数内减买驼马总银数三千七百二十一两少一百二十二根多一平方余三百零五根少五平方又少三千七百二十一两与利银七百一十九两相等两边各加三千七百二十一两得三百零五根少五平方与四千四百四十两相等三百零五根少五平方旣与四千四百四十两相等则六十一根少一平方必与八百八十八两相等乃以八百八十八两为长方积以六十一根作六十一为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四为一根之数卽共马数亦卽马毎匹之价为二十四两也以二十四匹与六十一匹相减余三十七匹卽共驼数亦卽驼毎匹之价为三十七两也以二十四匹与二十四两相乘得五百七十六两为买马之共银数以三十七匹与三十七两相乘得一千三百六十九两为买驼之共银数相加得一千九百四十五两卽买驼马之总银数以二十四匹与三十七两相乘得八百八十八两为卖马之共银数以三十七匹与四十八两相乘得一千七百七十六两为卖驼之共银数相加得二千六百六十四两卽卖驼马之总银数比买驼马之总银数多七百一十九两为利银数也【此带纵和数开平方法】

设如有木匠瓦匠共三十名又有匠头不知名数但知毎匠头一人得银三十六两其木匠一人之银数与瓦匠之人数等瓦匠一人之银数与木匠之人数等而匠头之人数与木匠瓦匠相差之数等匠头之共银数与木匠之共银数等问匠头与木匠瓦匠之人数及毎人所得之银数各几何法借一根为木匠之人数则瓦匠之人数为三十少一根以一根与三十少一根相乘得三十根少一平方为木匠之共银数亦为瓦匠之共银数又以木匠之人数一根与瓦匠之人数三十少一根相减得三十少二根为匠头之人数与毎人三十六两相乘得一千零八十两少七十二根为匠头之总银数与木匠之共银数三十根少一平方相等两边各加七十二根得一百零二根少一平方与一千零八十两相等乃以一千零八十两为长方积以一百零二根作一百零二为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十二为一根之数卽木匠之人数以一十二人与三十人相减余一十八人卽瓦匠之人数以十二与十八相乘得二百一十六两卽木匠之共银数亦卽瓦匠之共银数以十二与十八相减余六卽匠头之人数与三十六两相乘亦得二十一十六两卽匠头之共银数与木匠之共银数等也【此带纵和数开平方法】

设如有马骡防物不言马骡共数亦不言马骡各数但知马比骡多十匹马共防一万二千斤骡亦共防一万二千斤而骡一匹所防之数比马一匹所防之数多四十斤问马骡数及所防数各若干法借一根为骡数则马数为一根多十匹以一根除一万二千斤得一根之一万二千斤为骡一匹所防之数以一根多十匹除一万二千斤得一根多十匹之一万二千斤为马一匹所防之数因两分母不同乃用互乘法以齐其分将马分母一根多十匹与骡分子一万二千斤相乘得一万二千根多一十二万斤以骡分母一根与马分子一万二千斤相乘得一万二千根以互乘所得两分子相减余一十二万斤为骡比马多防之数又以马分母一根多十匹与骡分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦为骡比马多防之数是为四十平方多四百根与一十二万斤相等四十平方多四百根旣与一十二万斤相等则一平方多十根必与三千斤相等乃以三千为长方积以十根作一十为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔五十为一根之数卽骡数加十匹得六十匹卽马数以五十匹除一万二千斤得二百四十斤卽骡一匹所防之数以六十匹除一万二千斤得二百斤卽马一匹所防之数也【此带纵较数开平方法】

设如有数一十万欲分为大小两分与全分为相连比例三率问大小两分各几何

法借一根为大分则小分为十万少一根是全分十万为首率而一根为中率十万少一根为末率矣乃以首率十万与末率十万少一根相乘得一百亿少十万根而与中率一根自乘之一平方相等乃以一百亿为长方积十万根作十万为长阔数用带纵较数开平方法算之得阔六万一千八百零三为一根之数卽大分与全分十万相减余三万八千一百九十七卽小分也葢十万与六万一千八百零三之比卽同于六万一千八百零三与三万八千一百九十七之比而为相连比例之三率也【此即求圜内容十边法】

设如有股二十尺勾较十尺问勾各几何法借一根为勾数则一根多一十尺为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数两自乘之数相减得二十根多一百尺为股自乘之数而与股二十尺自乘之四百尺为相等两边各减一百尺得二十根与三百尺相等二十根旣与三百尺相等则一根必与一十五尺相等卽勾数加勾较十尺得二十五尺卽数也如圗甲乙为甲丙为勾【乙丁同】丙乙为勾较甲丁为勾和甲己戊乙为自乘方庚己壬辛为勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形为股自乘数与甲庚勾较【甲庚与丙乙等】乘甲丁勾和之甲庚癸丁长方积等借一根为勾数者卽庚己或庚辛也【庚己庚辛皆与甲丙等】一根多十尺为数者卽庚己加庚甲也一根自乘得一平方为勾自乘方者卽庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺为自乘方者卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根【甲庚较十尺乘甲丙一根得十根为甲庚辛丙长方辛子较十尺乘子戊一根得十根为辛壬戊子长方是共为二十根】又多丙辛子乙之一百尺共为甲己戊乙之正方也于甲己戊乙自乘方内减去庚己壬辛勾自乘之一平方余二十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬折形亦卽甲庚癸丁之长方形而与股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁长方内减去丙辛子乙一百尺余甲庚辛丙及乙子癸丁卽二十根之数为三百尺也二十根之数为三百尺则一根之数必为十五尺也【此勾股和较相求法】

设如有股二十四尺勾和三十二尺问勾各几何

法借一根为勾数则三十二尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方为自乘之数两自乘之数相减得一千零二十四尺少六十四根为股自乘之数而与股二十四尺自乘之五百七十六尺为相等两边各加六十四根得一千零二十四尺与五百七十六尺多六十四根相等两边各减五百七十六尺得四百四十八尺与六十四根相等四百四十八尺旣与六十四根相等则七尺必与一根相等卽勾数以勾七尺与勾和三十二尺相减余二十五尺卽数也【此勾股和较相求法】

设如有五尺勾股和七尺问勾股各几何

法借一根为股数则七尺少一根为勾数以一根自乘得一平方为股自乘之数以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方为勾自乘之数两自乘数相加得四十九尺少一十四根多二平方为自乘之数而与五尺自乘之二十五尺为相等两边各加一十四根得四十九尺多二平方与二十五尺多一十四根相等两边各减四十九尺得二平方与一十四根少二十四尺相等二平方旣与十四根少二十四尺相等则一平方必与七根少十二尺相等乃以十二尺为长方积七根作七尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得长四尺为一根之数卽股数以股四尺与勾股和七尺相减余三尺卽勾数也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己为勾股和自乘方辛丙庚己为股自乘方乙丁壬丙为勾自乘方借一根为股数者卽甲乙也【壬戊己庚皆与甲乙等为一根数】一根自乘得一平方为股自乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方为勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共为十四根【甲乙一根乘甲己和七尺得七根为甲乙庚己长方辛己一根乘己戊和得七根为辛壬戊己长方共十四根】又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也【于甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙丙壬戊己磬折形余乙丁壬丙为勾自乘数今减去十四根乃减去甲乙庚己一长方又减去辛壬戊己一长方是比磬折形多减去辛丙庚己一平方故必加一平方以补多减之数始为乙丁壬丙勾自乘方也】辛丙庚己股自乘数乙丁壬丙勾自乘数相加与自乘之数相等两边各加各减得一平方与七根少十二尺相等者卽辛丙庚己一平方与甲乙庚己七根数相较而少甲乙丙辛之长方十二尺也今不知七根之数又不知一平方之数但知一平方与七根相较之甲乙丙辛长方为十二尺故卽以十二尺为长方积以甲己为长阔和用带纵和数开平方法算之得甲乙长而为股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾和五十尺股和八十一尺问勾股各几何

法借一根为勾数则五十尺少一根为数一根多三十一尺为股数【以五十尺与八十一尺相减余三十一尺为勾股较故一根多三十一尺为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一千五百三十九尺少一百六十二根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以一千五百三十九尺为长方积以一百六十二根作一百六十二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾和五十尺相减余四十一尺卽数以勾九尺与勾股较三十一尺相加得四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和二十三尺勾和二十五尺问勾股各几何

法借一根为勾数则二十三尺少一根为股数二十五尺少一根为数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方为股自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得九十六尺少四根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以九十六尺为长方积四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽勾数以勾八尺与勾股和二十三尺相减余十五尺卽股数以勾八尺与勾和二十五尺相减余十七尺卽数也【此勾股和较相求法】

设如有股和二十五尺勾较八尺问勾股各几何

法借一根为股数则二十五尺少一根为数十七尺少一根为勾数【股和二十五尺内减勾较八尺得一十七尺为勾股和故勾为十七尺少一根】以一根自乘得一平方为股自乘之数以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方为勾自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为自乘之数以勾自乘之数与自乘之数相减得三百三十六尺少一十六根亦为股自乘之数而与股数一根自乘之一平方为相等乃以三百三十六尺为长方积十六根作十六尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽股数以股十二尺与股和二十五尺相减余一十三尺卽数内减勾较八尺余五尺卽勾数也【此勾股和较相求法】

设如有股较一尺勾较三十二尺问勾股各几何

法借一根为勾数则一根多三十二尺为数一根多三十一尺为股数【股较与勾较相减余三十一尺为勾股较故股为一根多三十一尺也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺为自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得二根多六十三尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以六十三尺为长方积以二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得长九尺为一根之数卽勾数以勾九尺与勾较三十二尺相加得四十一尺卽数内减股较一尺余四十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和七十三尺勾较与股较之和三十三尺问勾股各几何

法借一根为勾数则七十三尺少一根为股数五十三尺为数【以勾股和七十三尺加勾较与股较之和三十三尺得一百零六尺卽二数故半之得五十三尺为数也】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方为股自乘之数以五十三尺自乘得二千八百零九尺为自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺与二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺旣与二平方相等则七十三根少一千二百六十尺必与一平方相等乃以一千二百六十尺为长方积七十三根作七十三尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十八尺为一根之数卽勾数以勾二十八尺与勾股和七十三尺相减余四十五尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股总和一百五十尺勾股较股较勾较共八十尺问勾股各几何

法借一根为勾数则一根多四十尺为数【将三较共八十尺折半得四十尺卽勾较】一百一十尺少二根为股数【总和一百五十尺内减去勾数一根又减去数一根多四十尺得一百一十尺少二根为股数】以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺为自乘之数以一百一十尺少二根自乘得一万二千一百尺少四百四十根多四平方为股自乘之数以股自乘之数与自乘之数相减得五百二十根少三平方又少一万零五百尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加三平方得五百二十根少一万零五百尺与四平方相等五百二十根少一万零五百尺旣与四平方相等则一百三十根少二千六百二十五尺必与一平方相等乃以二千六百二十五尺为长方积以一百三十根作一百三十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十五尺为一根之数卽勾数以勾二十五尺与勾较四十尺相加得六十五尺卽数以勾和九十尺与勾股总和一百五十尺相减余六十尺卽股数也【此勾股和较相求法】

设如有勾股和二十三尺与勾股较之较十尺问勾股各几何

法借一根为勾股较数则一根多十尺为数以一根自乘得一平方为勾股较自乘之数以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为自乘之数倍之得二平方多四十根又多二百尺内减去勾股较自乘之一平方余一平方多四十根多二百尺为勾股和自乘之数而与勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺为相等两边各减去二百尺得一平方多四十根与三百二十九尺相等乃以三百二十九尺为长方积以多四十根作四十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔七尺为一根之数卽勾股较与勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺为股内减较七尺余八尺为勾又以勾股较七尺与与勾股较之较十尺相加得十七尺为也【此勾股和较相求法】

设如有勾股积一千零八十尺勾股总和一百八十尺问勾股各几何

法借一根为数则一百八十尺少一根为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一百八十尺少一根自乘得三万二千四百尺少三百六十根多一平方为勾股和自乘之数又以勾股积一千零八十尺四因之得四千三百二十尺与自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之三万二千四百尺少三百六十根多一平方为相等【勾股和自乘数内有一自乘方有四勾股积故四因勾股积与自乘之数相加卽与勾股和自乘之数相等也】两边各减四千三百二十尺得二万八千零八十尺少三百六十根多一平方与一平方相等两边各加三百六十根得二万八千零八十尺多一平方与一平方多三百六十根相等两边再各减一平方得三百六十根与二万八千零八十尺相等三百六十根旣与二万八千零八十尺相等则一根必与七十八尺相等卽数以七十八尺与一百八十尺相减余一百零二尺卽勾股和又以自乘得六千零八十四尺与四勾股积四千三百二十尺相减余一千七百六十四尺平方开之得四十二尺卽勾股较与勾股和一百零二尺相减余六十尺折半得三十尺卽勾数加勾股较四十二尺得七十二尺卽股数也【此勾股积与勾股和较相求法】

设如有勾股积六十尺与勾股和之较六尺问勾股各几何

法借一根为数则一根多六尺为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数又以勾股积六十尺四因之得二百四十尺与自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等两边各减去一平方得十二根多三十六尺与二百四十尺相等两边又各减去三十六尺得十二根与二百零四尺相等十二根旣与二百零四尺相等则一根必与十七尺相等卽数加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也【此勾股积与勾股和较相求法】

设如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何

法借一根为中垂线之面积以小腰十尺自乘得一百尺内减去一根得一百尺少一根为小分底之面积【中垂线为股小腰为小分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内减去一根余二百八十九尺少一根为大分底之面积【中垂线为股大腰为大分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根余五十二尺多二根折半得二十六尺多一根为小分底乘大分底之面积【底边自乘内有大分底自乘之一正方小分底自乘之一正方小分底乘大分底之二长方故减去二正方余数折半卽为小分底乘大分底之一长方也】此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二数为相等两边各加三百八十九根得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等两边各减一平方得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等两边再各减去六百七十六尺得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等二万八千二百二十四尺旣与四百四十一根相等则六十四尺必与一根相等卽中垂线之面积开平方得八尺卽中垂线也【此三角形求中垂线法】

设如有三角形底十四尺大腰与中垂线之较三尺小腰与中垂线之较一尺求中垂线及两腰各几何

法借一根为中垂线则大腰为一根多三尺小腰为一根多一尺以一根自乘得一平方为中垂线之面积以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺为大腰之面积内减去中垂线之面积一平方余六根多九尺为大分底之面积以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺为小腰之面积内减去中垂线之面积一平方余二根多一尺为小分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小两分底之共面积八根多十尺余一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二数为相等两边各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等两边各减十二平方得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等两边再各减八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣与四平方相等则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等乃以二千一百六十尺为长方积以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽中垂线加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也【此三角形和较相求法】

御制数理精蕴下编卷三十五

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷三十六