御制数理精蕴

濶

解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何

十四则

直形以长求濶

设直田积九百七十二步长三十六

步求濶法曰置积为实以长除之得

二十七步即所求

解曰濶为长之倍数故以长除积得

濶【本巻二则】

十五则

直形以濶求长

设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求

解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则

直形长濶求

设直田濶二十七步长三十六步求

法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得

七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之

得四十五步即所求

解曰此即勾股求【六巻一则】

十七则

直形濶求长

设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求

解曰此即勾求股【六巻二则】

十八则

直形长求濶

设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求

解曰此即股求勾【六巻三则】

十九则

直形长及濶差求濶

设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求

解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】

二十则

直形濶及长差求长

设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求

解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】

二十一则

直形及长濶和求长濶差

设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长

解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】

二十二则

直形长及濶和求濶

设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求

解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】

二十三则

直形濶及长和求长

设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】

二十四则

直形及长濶差求长与濶

设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶

解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】

二十五则

直形长和及濶和求长与濶

设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长

解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】

二十六则

直形长差及濶差求长与濶

设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶

解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】

二十七则

直形积及长濶和求长濶差

设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求

解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】

二十八则

直形积及长濶和求

设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求

解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚

辛形自乘之方也甲戊形内勾股

八及长濶差自乘之方一庚辛形内

勾股四及长濶差自乘之方一每二

勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】

【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也

二十九则

两边等之三角形求对角之垂线

设三角田底濶六步两余边各五步

求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九

步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一

十六步】平方开之得四步即所求

解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在

三十则

有一方角之三角形求对角之垂线

设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘

【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相

减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分

即所求

解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十

五则】因有方角故用之若无方角此法

又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则

三十一则

不等边而无方角之三角形求对角之垂线

设三角田底濶一十五步乙丙边八

步甲丙边十步求中长法曰置乙丙

甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实以底除之【得二

步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】

【即乙丁之度以下勾求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之得四步九分三厘有竒即所求

解曰甲乙丙三角形丁为对角防另作庚辛为乙丙

边上方壬癸为甲

丙边上方壬癸大

于庚辛之较为夘

子丑磬折形若移

丑于寅则成夘子

寅直形又作辰巳

为丁乙上方午未

为甲丁上方午未

大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长【以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长】以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾求股法【六巻二则】同前则

三十二则

方周求积

设方田周二百步求积法曰置周自乘【得四万步】以方法十六除之得二千五百步即所求

解曰假如一步以

四面计之则周四

步四步自乘得一

十六步是周自乘

之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣

三十三则

方环以周求积

设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘【外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步】两数相

减【余六万四千步】以方法十六除之得四千

步即所求

解曰此方内减方法也○如知环濶

则用梯田法置两周相并折半以濶

乘之即得环积

三十四则

方环以积及濶求边

设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积

以四归之【得六百步】以濶除之得三十步

即内边倍濶【得四十步】加之得七十步即

外边

解曰法以环濶自乘者求环之隅方

也【即甲等】以四因之者环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边减濶得内边

三十五则

直形依长截濶

设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步

求截濶法曰置积为实以元长除之

得三十二步即所求

解曰即以长求濶法【本巻十四则】

三十六则

直形依濶截长

设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求

解曰即以濶求长法【本巻十五则】

三十七则

直形截勾股

设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之得三十二步即所求

解曰勾股形当等高等濶直形之半

法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙

直形既倍勾股积则必与勾股等高

等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股

之濶也

三十八则

直形截三角

设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除

之得四十二步五分即所求

解曰三角形亦当等高等濶直形之

半法倍三角积即甲乙直形积也甲

乙直形既倍三角积则必与三角形

等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则

直形截斜方

设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以

元长除之【得三十二步】另置相差五步折

半【得二步五分】并三十二步得三十四步

五分即大边减三十二步得二十九

步五分即小边

解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分】故置差折半增减之即得两濶

四十则

直形截梯形

设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为

法除之得七十步即所求

解曰倍濶减差折半者求甲乙直形

之濶也甲乙直形濶为梯形两边之

中度【谓小于大边六步大于小边亦六步】则直形之容

必与梯形等故求直形之长即得梯形之长

四十一则

三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】

设三角田依角截积一千三百六十

步截濶六十四步求截长法曰置积

倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二

步五分即所求

解曰此与直田截三角同【本巻三十八则】

四十二则

三角形以截积截长求截濶

设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之【得二千七百二十步】以长除之得六十四步即所求

解曰此与直田截勾股同【本巻三十七则】

四十三则

三角形以截长求截濶

设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与

元长矣【谓截长大于截濶几

分之几则元长亦大于元濶几分之

几截濶小于元濶几分之几则截长

亦小于元长几分之几】法以

元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法详三巻五则】

四十四则

三角形以截濶求截长

设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则

三角形以截积求截长

设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之得一百五十步即所求

解曰甲乙丙即元

形丁戊丙即截形

丁壬为截形等高

等濶之直形辛壬

为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也

四十六则

三角形以截积求截濶

设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以

元长除之【得一万二千六

百五十六步二分五厘】平方

开之得一百一十

二步五分即所求

解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则

斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】

设斜方田元长九十步大边

濶三十八步小边濶二十步

依小边截积八百二十二步

五分截长三十五步求截濶

法曰置积为实以截长除之

【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小

边元濶余二十七步即所求

解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也

四十八则

斜方形以截积截濶求截长

设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长

四十九则

斜方形以截濶求截长

设斜方田元长九十步大边

濶三十八步小边濶二十步

截濶二十七步求截长法曰

置小边元濶与截濶相减【余七】

【步】为实以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之得三十五步即所求

解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同【本巻四十三则】

五十则

斜方形以截长求截濶

设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步即所求

解曰七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶得截濶余同前解

五十一则

斜方形依小边截积求截濶

设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之得二十七步即所求

解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己

为小边与截濶之较线甲戊

为两元濶之较线癸辛为截

濶上方形子辛为小边上方

形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛

者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷【两亷俱以小边为长以较线为濶】若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶

五十二则

斜方形依大边截积求截濶

设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求

解曰既自大边截积则

元形之大边亦即截形

之大边而截濶为小边

小边上方形之小于大

边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之

五十三则

梯形截勾股

设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求

截濶法曰置积倍之【得六百九十六

步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八

分】以元长除之【得一百七十四步二分四】

【厘】平方开之得一十三步二分即所求

解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】

五十四则

梯形截斜方

设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实

以元长除之【得三十步】另以两元

濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求

解曰元长除截积得己戊甲

庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶

五十五则

梯形截无法五边形

设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三

百四十八步四分八厘】以梯田截勾股