御制数理精蕴

】以梯田截勾股

法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步

八分即所求

解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶

五十六则

方环截外周

设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截

环内方法曰置元方自乘【得四千九百步】减

去截积【余二千五百步】平方开之得五十步

即所求

解曰余环外方即截环内方

五十七则

方环截内周

设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之得五十步即所求

解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也

数学钥巻一

<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>

钦定四库全书

数学钥巻二凡例

柘城杜知耕撰

凡例

一则

圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周【如甲乙丙

丁线】过心直线曰径【如丁丙线】

二则

一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率

三则

设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交

曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙

为丙之外切形

四则

曲线直线相杂曰杂线形

五则

割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线

曰背甲乙衡线曰丙丁纵线曰矢

丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离

径丙戊曰半径

六则

设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上

圆形

数学钥巻二凡例

钦定四库全书

数学钥卷二目録

柘城杜知耕撰

方田下【曲线类】

一则圆径求周

二则圆周求径

三则圆周径求积

四则圆径求积

五则圆周求积

六则圆积求径

七则圆积求周

八则圆环求积

【增】九则圆环以积及内周求外周

【增】十则圆环以积及外周求内周

十一则圆环以积及内外周求环濶

【增】十二则圆环以两周求环濶

【增】十三则圆环以积及濶求两周

【增】十四则圆环以积及濶求径

十五则圆环以全径及虚径求积

【西法】十六则撱圆求积

【西法】十七则弧矢求积

【增】十八则弧矢形以积矢及离径求背

【西法】十九则弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】

【西法】二十则弧矢形以矢径求

二十一则弧矢形以离径半径求

【西法】二十二则弧矢形以及余径求矢

【增】二十三则弧矢形以及全径求矢

二十四则弧矢形以半半径求矢

二十五则弧矢形以半及离径求矢

【增】二十六则弧矢形以半径半较及半离径较求矢与

二十七则旧弧矢法以矢求积

二十八则旧弧矢法以积矢求

二十九则旧弧矢法以积求矢

【增】三十则增弧矢法以矢求积

【增】三十一则圆截圆

三十二则圆截弧矢

【西法】三十三则弧矢形截杂线三角形

三十四则方内减圆以余积求圆积

三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】

三十六则圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】

三十七则圆内减方以余积求圆积

三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径

【增】三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方

四十则诸杂线形求积

数学钥巻二目録

钦定四库全书

数学钥巻二

柘城杜知耕撰

方田下【曲线类】

一则

圆径求周

设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之得八十八步即所求

解曰径法七周法二十二者径与周

之比例若七与二十二也何也西洋

亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七

十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十

一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三

步则戊午必三百零六步【戊午元与午子

等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲

午股得二万三千四百零九步戊午

得九万三千六百三十六步两数

相减余七万零二百二十七步平方

开之得二百六十五步有竒为戊甲

勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二

百六十五步有竒与一百五十三步

次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾甲庚为股庚戊为】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾甲辛为股辛戊为】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾甲寅为股寅戊为】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎　次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百

八十步次平分甲乙丙角作乙丁线

以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾

股形自相似葢同用丁方角在半圜

内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁

丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形

有两角等者各腰俱相似则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙

丙【大】与丁丙【大勾】若己丙【小】与丁己【小勾】

更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线【乙丁丙形之】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线【乙辛丙形之】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之

二则

圆周求径

设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求

解曰即前法反用之

三则

圆周径求积

设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半【得四十四步】为实以径折半【得一十四步】为法乘之得六百

一十六步即所求

解曰圆形与半径为高全周为底之

三角形等何也测量全义云甲乙丙

丁圜自戊心百分之必皆成三角形

而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲

戊壬为庚戊辛三角形两分形既等

两全形有不等乎故法以半径乘半

周得庚戊辛三角形之积即得甲乙

丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全

圜百分之一其底终属曲线不可与

直线三角形为比不知甲戊壬角大

于己戊甲角而己戊甲中垂线大于

甲戊壬中垂线两相折准即谓之无

差亦可

四则

圆径求积

设圆田径二十八步求积法曰置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求

解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形

之半己戊癸形既为己丁直形之半

必为倍大于己丁之己壬方形四之

一又己戊癸与庚戊辛两形同以半

径为高凡两形等高者形与形之比

例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛

底与圜周等己癸底与圜径等是己

戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七

与圜周二十二若以四倍大于己戊

癸之己壬方形与庚戊辛三角形较

其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也

五则

圆周求积

设圆田周八十八步求积法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之得六百一

十六步即所求

解曰戊己庚辛圜

戊己径与甲乙丙

丁圜周等则两圜

之比例为其径与

径再加之比例再

加云者以两径各

自乘之数以为比

例也设甲乙径七

戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也

六则

圆积求径

设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开

之得二十八步即所求

解曰以十四乘十一除者因圜积以

求戊己方积也平方开之得方边即

得圜径者方边与圜径等也

七则

圆积求周

设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之得八十八步即所求

解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之得圜周

八则

圆环求积

设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八

除之得三百三十六步八分七厘五

毫即所求

解曰与方环求积同【一巻三十三则及本巻五则】

九则

圆环以积及内周求外周

设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之得六十六步即所求

解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则

圆环以积及外周求内周

设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之得一十一步即所求

解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周

十一则

圆环以积及内外周求环濶

设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法除之得八步七分五厘即所求

解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶

十二则

圆环以两周求环濶

设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求

解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也

十三则

圆环以积及濶求两周

设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也

十四则

圆环以积及濶求径

设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实以四因濶【得三十五步】为法除之得三步五分即虚径倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全径

解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法【一巻五十六则】

十五则

圆环以全径及虚径求积

设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘【全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也

十六则

撱圆求积

设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求

解曰西洋亚竒黙德云取撱

圆两径之中率为径作圆其

容与撱圆等【四九之中率为六谓四之与六

犹六之与九也】夫求中率之法以两

径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也【撱圆形状不同恐不能无小差】

十七则

弧矢求积

设弧矢田矢濶五步长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法

曰置背以离径并矢【共十步】乘

之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置

以离径乘之【得八十六步六分有竒】两

数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】

折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘相减折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则

弧矢形以积矢及离径求背

设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步

一十七步三分二厘有竒离径五

步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二

厘三毫有竒】另置以离径乘之【得八十六步六

分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢

并离径【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求

解曰即前则求积法反用之

十九则

弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】

设弧矢田矢五步一十七步三分二厘有竒求余径法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求

解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为

余径自圆心戊作

戊乙线成丁戊乙

勾股形丁乙半

为股丁戊离径为

勾戊乙半径为

另作辛夘形为丁

戊勾上方形庚壬形为戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾较为濶勾和为长今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾较也故以矢除丁乙半【弧矢形之】自乘之积即得勾和又乙戊【勾股形之】既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径

二十则

弧矢形以矢径求

设弧矢田矢五步径二十步求法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求

解曰依前解矢与余径相乘之数即半自乘之数故平方开之得半倍之得全也

二十一则

弧矢形以离径半径求

设弧矢田半径十步离径五步求法曰置半径离径各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方