御制数理精蕴

各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方

开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步

三分二厘有竒即所求

解曰半径乙戊为【勾股形之】离径丁

戊为勾求得乙丁股即半也【弧矢形之】

【】故倍之得全

二十二则

弧矢形以及余径求矢

设弧矢田一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之得五步即所求

解曰依十九则解半自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢

二十三则

弧矢形以及全径求矢

设弧矢田一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置径各自乘【得三百步径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步即所求

解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全上方形当半上方形四又半上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也

二十四则

弧矢形以半半径求矢

设弧矢田半八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半半径各自乘【半得七十五步半径得一百步】两数相

减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径

得五步即所求

解曰半丁乙为股戊乙半径为

求得丁戊勾即离径也故以之减半

径得矢

二十五则

弧矢形以半及离径求矢

设弧矢田半八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半离径各自乘【半得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊即径也故减去离径得矢

二十六则

弧矢形以半径半较及半离径较求矢与设弧矢田半径多半一步三分四厘弱半多离径三步六分六厘强求矢及法曰并两数【共五步】以半径多半之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半之数得五步即离径再加半多离径之数得八步六分六厘即半再加半径多半之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢

解曰戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半之数即股较丁乙半多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股较即勾较此即勾较股较求勾股法也【六巻二十则】

二十七则

旧弧矢法以矢求积

设弧矢田矢十步二十步求积法曰置矢相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧説圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六

十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其

背为全周之半必三十步法以矢

相并即与弧背等折半以矢乘之犹

圆法以半径乘周折半得积之义也

【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之

二十八则

旧弧矢法以积矢求

设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百　十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余

一十七步三分二厘即所求

解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢

积若以矢除弧矢积必仍得半半

矢以矢除弧矢积既得半半矢以

矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何

二十九则

旧弧矢法以积求矢

设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二

百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三

分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减

去【余十步】折半得五步即所求

解曰甲丁方形边与一二矢等甲

戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己

等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之

三十则

增弧矢法以矢求积

设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以

甲己为甲乙为股求乙巳勾得十

步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙

己折半得巳辛复为勾戊巳半径为

求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚

辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三一矢相并以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求

解曰此借两弧三一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积眞数密量弧背从十七则可也

三十一则

圆截圆

设圆田径二十一步依外周截积三

百三十六步八分七厘五毫求余圆

径法曰置径自乘【得四百四十一步】另置截

积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十

一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之得三步五分即所求

解曰此与方环截积同【一巻五十六则】

三十二则

圆截弧矢【旧法】

设圆田径一十三步截弧矢积三十

二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十

四步】为实用商法商矢四步即以所商

之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷另以

矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷并两亷【共二百五十六步】为法除实得四步即所求

解曰弧矢之积元以矢乘半半矢而得【本巻二十七则】若以半半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢

之数三十二倍之与三十二全矢并

即与三十二半三十二半矢相并

之数同今无半数须以矢乘余径

以为半自乘之方【本巻十九则】如甲乙

方形甲己为半甲丁为半矢丁己为半矢较【即半大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢较以半为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎

三十三则

弧矢截杂线三角形

设半圆弧矢田二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置

截背以折半【得十步】乘之【得一百零四步七分

六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘

零八丝即所求

解曰杂线三角形为圆之分形故求

积之法同圆【本巻三则】

三十四则

方内减圆以余积求圆积

设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】

以圆法十一与方法十四相减余三

为法除之得六百一十六步即所求

解曰圆既为方十四分之十一则方

内减圆之余积必为方十四分之三

圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也

三十五则

方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】

设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求

解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则

圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】

设圆田减去内切方田余积二百二

十四步求方积法曰置积为实以七

乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一

相减余四为法归之得三百九十二

步即所求

解曰内切方形之与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径

三十七则

圆内减方以余积求圆积

设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求

解同前

三十八则

方内减不相切之圆以余积求方边及圆径

设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】为纵方以平方带纵开之【得九十步　一巻十三则】减

去纵方余六十步即方边再

减两边各五步【共十步】余五十

步即圆径

解曰依图分之成甲乙等方

形四子丑等直形八干坎等

杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长

则圆之半径也干坎等四形

为方减内切圆形之余积以

方四圆三推之【旧法谓方内容圆圆居方

四分之三】四形并必当方四分之

一干坎艮三形并必足以补

癸形之阙而与一小方二直

形一杂形并共凑成一坤震

方形矣次移甲于丁移乙于

戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】

三十九则

圆内减不相切之方以余积求圆径及方

设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步

求圆径及方法曰置一步

自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与

余积并【并四十五步】另置一步以

四因之【得四步】为纵方以平方

带纵开之【得一十四步】减去纵方

即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步即方

解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三

故止作方环之三隅即与圆

环等依图分之成甲乙丙三

方形丁戊己庚辛壬六直形

尚余癸子丑寅四弧矢形为

圆减内切方形之余积以圆

三方二推之【旧法谓圆内容方方居圆三分

之二】四弧矢形并当圆三分之

一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方者为两边之各一步故减之得方

四十则

诸杂线形求积

第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移

戊实形补

己虚形庚

亦成三角

形癸借壬

虚形亦成

三角形【得积

减去壬圆形】此

一大形内

成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】

皆依五形例

<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>

钦定四库全书

数学钥卷三凡例

柘城杜知耕撰

凡例

一则

设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除

二则

设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除

三则

凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也

四则

设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍

五则

命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数

六则

设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也

数学钥巻三凡例

钦定四库全书

数学钥巻三上目録

柘城杜知耕撰

粟布

一则籴粜一法

二则籴粜二法

三则籴粜三法

四则籴粜四法

五则籴粜五法

六则籴粜六法

七则籴粜七法

八则籴粜八法

九则撞换一法

十则撞换二法

十一则撞换三法

十二则盘量仓窖

十三则布帛

十四则银色一法

十五则银色二法

十六则银色三法

十七则银色四法

十八则银色五法

十九则银色六法

二十则斤两一法

二十一则斤两二法

二十二则斤两三法

二十三则斤两四法

二十四则斤两五法

二十五则斤两六法

二十六则权重一法

二十七则权重二法

【増】二十八则权重三法

巻三下目録

衰分

一则合率差分

二则折半差分

三则四六差分

四则三七差分

五则二八差分

六则逓减差分一法

七则逓减差分二法

八则逓减差分三法

九则带分子母差分一法

十则带分子母差分二法

十一则互和逓减差分一法

十二则互和逓减差分二法

十三则匿价差分一法

十四则匿价差分二法

十五则二色差分

十六则三色差分【四色五色六色附】

十七则贵贱和率差分

十八则首尾和率差分

附分法

一则命分

二则约分

三则乗分

四则课分

五则通分

数学钥巻三目録

钦定四库全书

数学钥巻三上

柘城杜知耕撰

粟布

一则

籴粜一法

设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求

二则

籴粜二法

设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求

三则

籴粜三法

设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则

籴粜四法

设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣

五则

籴粜五法

设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之得八两七钱五分即所求

解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇竒零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也

六则

籴粜六法

设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之得三十五石即所求

解同前

七则

籴粜七法

设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法除之得三十五石即所求

解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也

八则

籴粜八法

设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求

解同前

九则

撞换一法

设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之得三十五石即所求

十则

撞换二法

设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳

十一则

撞换三法

设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍

三石黍一石共黍

三十三石于左列

麦一石菽三石共

菽麦一十九石于