数学九章

九千二百五十三各与定数用大衍求一各得乘数列右行对寄左行衍数具图如后

各以大数入之气乘率得四百七十三朔乘率得五纪乘率得一十七万二千七百一十七对左行衍数以右行乘率对乘左行衍数气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百朔泛得五亿四千九百三十三万六千纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十具图如后

右列用数并之共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一为泛用数与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母数当于各用内损去所多一倍按术验法元图内诸元数奇偶同类者各损其半今验法元图气元尾数是五纪元尾数是六百为俱五同类乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半得一十亿四千三百七十三万八千四百以损泛用图内气泛纪泛毕其朔泛不损各得气朔纪正用数其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百朔正用五亿四千九百三十三万六千纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前

既得正用数次验问题十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子余八日为朔不及次以初五亦减初九甲子余四日为气不及以二不及各乘正用得数具图如后

先以气不及甲子四日以乘气正用数九亿八千三百七十二万八千八百得三十九亿三千四百九十一万五千二百为气总次以朔不及甲子八日数以乘其朔正用数五亿五千九百三十三万六千得四十三亿九千四百六十八万八千为朔总并之得八十三亿二千九百六十万三千二百为总数满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之不满二十亿六千七百一十七万二千八百为所求率实具图如后

按求积嵗应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总并纪总朔总满衍母去之以嵗实分除之即已过积年草内以冬至距甲子前之日分乘气用数合朔距甲子前之日分乘朔用数并之乃求纪周法非求嵗周法也故不合

置所得率实二十亿六千七百一十七万二千八百如法元图纪元法二十二万五千六百而一得九千一百六十三年为厯过年数次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一得一万八千二百四十年为气朔甲子一会积年内减厯过九千一百六十三年余九千七十七年为未至年数次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十得六百六十六万二千一百六十日为一会积日又以术母为实如法元图朔元法九千二百五十二而一得二十二万五千六百月为一会积月合问

按此纪元即纪分以纪分除率实乃纪周数非已过年数也求一会积年当以气分为法以气元为法亦误此二数既误余数无是者矣然题已不合既法合数亦不能合也今改设一题于后以明其法焉

设古法嵗实三百六十五日四分日之一朔防二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何

荅曰距前八百七十六年距后六百四十四年

法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子后三十九日为纪余以日法【即气分母朔分母相乘之数】三千七百六十分通之得十四万六千六百四十为纪余分以乘纪正用得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三与冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八万一千八百一十六为朔余分以乘朔正用得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千并二总数满衍母去之得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实以嵗实一百三十七万三千三百四十为法除之得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数又以衍母为实以嵗实分为法除之得一千五百二十年为前会积距后会积之年数减去距前会积之年数余六百四十四年为距后会积之年数既得积年若欲还原求题中干支时刻则以前会之积年与嵗实相乘得三十一万九千九百五十九为积日满纪法六十去之余三十九日自初日起甲子得冬至为癸夘日子正初刻又置积日以朔防日分九百四十通之为实以朔防通分纳子为法除之得一万零八百三十四为积朔余二万零四百五十四又为实以朔防日分九百四十为法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四约之为四百七十分日之三百五十七为距冬至前日数与甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三为距甲子后日数自初日起甲子得辛巳为平朔干支悉与题合

推库额钱

问有外邑七库日纳息足钱适等递年成贯整纳近縁见钱稀少听各库照当处市陌凖解旧会其甲库有零钱一十文丁庚二库各零四文戊库零六文余库无零钱甲库所在市陌一十二文递减一文至庚库而止欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何

按题意系七邑日纳共钱同数以各邑市陌数计之或适足或有余多寡不同甲陌十二则余十乙陌十一丙陌十则无余丁陌九则余四戊陌八则余六己陌七则无余庚陌六则余四以求共钱同数此本术也又问展省旧会按草中展省乃官省陌以七十七为一百所展日息共钱之数旧会乃以各陌数为一百所升日息共钱之数二者在本术中已赘且不明言展省旧会用数求法皆故为溟涬也

荅曰诸库纳日息足钱二十贯九百五十文

展省三十五贯文

甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文【按应作五百文又六分文之五】大月旧会六千七百三十七贯五百文【按少二十五文】小月旧会六千五百一十二贯九百二文【按应作六千五百一十贯五百又六分文之一】乙库日息旧会二百四十五贯文　大月旧会七千三百五十贯文　小月旧会七千五百贯文【按应作七千一百五贯】

丙库日息旧会二百六十九贯五百文　大月旧会八千八十五贯文　小月旧会七千八百一十五贯五百文

丁库日息旧会二百九十九贯四百四文【按应作四百四十四文又九分文之四】大月旧会八千九百八十三贯三百三文【按少三十文又三分文之一】　小月旧会八千六百八十三贯八百八文【按少八十文又九分文之八】戊库日息旧会三百三十六贯八百六文【按应作七十五文】　大月旧会一万一百六贯二百四文【按应作二百五十文】　小月旧会九千七百六十九贯三百六文【按应作七十五文】

己库日息旧会三百八十五贯文　大月旧会一万一千五百五十贯文　小月旧会一万一千一百六十贯文【按少五贯】

庚库日息旧会四百四十九贯一百四文【按应作一百六十六文又分三文之二】　大月旧会一万三千四百七十五贯文　小月旧会一万三千二十四贯八百二文【按应作二万三千二十五贯八百三十三文又三分文之一】

术曰以大衍求之置甲库市陌以库减库减之各得诸库原陌连环求等约竒弗约偶【按此特为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒】得定母诸定相乘为衍母以定约衍母得衍数衍数同衍母者去之为无【无者借之同类】其各满定母去余为竒数以竒定用大衍求乘率乘衍数为用数无者则以原数同类者求等约衍母得数为借数次置有零文库零钱数乘本用数并为总数满衍母去之不满为诸库日息足钱各大小月日数乘之各为实各以原陌约为旧会

草曰置甲库市陌一十二递减一得一十一为乙库陌十一为丙库陌九为丁库陌八为戊库陌七为己库陌六为庚库陌得诸库原陌

甲　乙　丙　丁　戊　己　庚

以连环求等约讫甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各为定母立各一为子按此法之要在于求定而术中独畧之今详其式于后

法列七库陌数于前先以甲与

乙相约无等数与丙数相约得

等数二【偶】约丙十得五【竒】与丁

数相约得等数三【奇】约甲十二

得四【偶】与戊数相约得等数四

【偶】约甲四得一【奇】甲数既为一

不能约即为与诸数徧约毕

次以乙与下五数相约俱无等

次以丙与下四数相约亦俱无

等次以丁与戊己二数相约俱

无等与庚数相约得等数三【奇】约庚六得二【偶】次以戊与己相

约无等与庚相约得等数二【偶】约庚二得一【奇】庚既为一己亦

不能与之相约乃为连环求等毕得定数为甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也后凡求定数仿此

【定母】

先以诸定相乘得二万七千七百二十为衍母次以诸定互乘诸子甲得二万七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二万七千七百二十各为衍数

定母右行

次验诸衍数有同衍母者皆去之为无衍数次各满定母去各本衍各得奇数甲无乙得一丙得四丁得二戊得一己得五庚无各为竒数

次验有奇数者得一便以一为乘率或得二数以上者各以奇数于右上定母于右下立天元一于左上用大衍求一之数入之验乘除至右上余一而止皆以左上所得为乘率甲无乙得一丙得四丁得五戊得一己得四庚无各为乘率列右行以对寄左衍数

以两行对乘之为用数甲无乙得二千五百二十丙得二万二千一百七十六丁得一万五千四百戊得三千四百六十五巳得一万一千八百八十庚无

次推无用数者惟甲庚合于同类处借之其同类谓原陌列而视之

今视甲一十二庚六皆与丙一十戊八俱偶为同类其戊用数三千四百六十五其数少不可借惟丙一十之用数系二万二千一百七十六为最多当以借之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等数二约衍母二万七千七百二十得一万三千八百六十为借数乃减丙用二万二千一百七十六余八千三百一十六为丙用数乃以所借岀之数一万三千八百六十为实以原等二为法除之得六千九百三十为甲用数以甲用数减借岀数余亦得六千九百三十为庚用数今不欲甲庚之借数同乃验得岀数一万三千八百六十可用几约如意乃立三取三分之一得四千六百二十为甲用取三分之二得九千二百四十为庚用列右行

一　　○　○　　　　　　○　　【零数】　左行乃视诸库有无零钱数验得乙丙己三库无先去其用数乃以甲子戊庚四库零钱列左行对乘本用甲得四万六千二百丁得六万一千六百戊得二万七百九十庚得三万六千九百六十合为总

并此四总得一十六万五千五百五十满衍母二万七千七百二十去之不满二万六千九百五十为所求率以贯约为二十六贯九千五十文为诸库日息等数以官省七十七陌展得三十五贯文【按官省陌以七十七为一百故二十六贯余展为三十五贯】各以其库陌纽计【按库陌纽计即以各陌数为一百】各得旧会零钱各以三十日乘为大月息以日息减大月息余为小月息合问

分粜推原

问有上农三人力田所收之米系用足斗均分各徃他处岀粜甲粜本郡官塲余三斗二升乙粜与吉安乡民余七斗丙粜与平江戸余三斗欲知共米及三人所分各粜石几何

荅曰共米七百三十八石　三人各分米二百四

十六石

甲粜官斛二百九十六石　乙粜安吉斛二百二十三石　丙粜平江斛一百八十二石

术曰以大衍求之置官塲斛率安吉乡斛率平江市斛率【官私共知者官斛八斗三升安吉乡斛一斗一升平江市斛一石三斗五升】为原数求总等不约一位约众位连环求等约竒不约偶或犹有类数存者有求等约彼为复乘此各等定母相乘为衍母互乘为衍数满定去之得竒大衍求一得乘率乘衍数为用数以各余米乘用并之为总满衍母去之不满为所分以原人数乘之为共米

草曰置文思院官斛八十三升吉安州乡一百一十升平江府市斛一百三十升各为其斛原率

先以三率求总等得一不约【按此题只一数见十不必用复数求总等】次以连环求等其安吉率一百一十与平江率一百三十五求等得五以约平江率得二十七【按五为中数或约偶或约奇皆可但不约可以约者】余皆求等得一不约各得原数

以定相乘得二十四万六千五百一十为衍母各以原率约之得二千九百七十为官斛衍数得二千二百四十一为安吉州衍数得九千一百三十为平江斛衍数

官斛　　安吉　　平江　　　　　衍母

次以定母满法去衍数得不满六十五为官斛奇不满四十一为安吉奇不满四为平江奇数

定母奇数各以大衍入之求得乘数得二十三为官斛乘率得五十一为安吉乘率得七为平江乘率

以乘率各乘寄左行衍数得六万八千三百一十为官斛用数得一十一万四千二百九十一为安吉用数得六万三千九百一十为平江用数

次以甲余三十二升乘官斛用数六万八千三百一十得二百一十八万五千九百二十升于上次以乙余七十升乘安吉用数一十一万四千二百九十一得八百万三百七十升于中次以丙余三十升乘平江用数六万三千九百一十得一百一十九万七千三百于下各为总并之得一千二百一十万三千五百九十升为总数满衍母二十四万六千五百一十升去之不满二万四千六百升为所求率展为二百四十六石为三人各分米以兄弟三人因之得七百三十八石为共米置分米二百四十六石各以官斛八斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升约之甲得二百九十六石余三斗二升乙得二百二十三石余七斗丙得一百八十二石余三斗各为粜过及余米合问

数学九章卷一上

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷一下　　　　宋　秦九韶　撰大衍

积足寻原

问欲砌基一叚见管大小方甎六门城甎四色令匠取便或平或侧只用一色甎砌湏要适足匠以甎量地计料称用大方料广多六寸深少六寸【按即多七寸】用小方广多二寸深少三寸【按即多八寸】用城甎长广多三寸深少一寸【按即多一尺一寸】以阔深少一寸【按即多五寸】广多三寸以厚广多五分深多一寸用六门甎长广三寸深多一寸以阔广多三寸深多一寸用厚广多一寸深多一寸皆不匼匝未免修破甎料禆补其四色甎大方方一尺三寸小方方一尺一寸城甎长一尺二寸阔六寸厚二寸五分六门长一尺阔五寸厚二寸欲知基深广防何

按题意谓以一尺三寸量基之广未余六寸以一尺一寸量之余二寸以一尺二寸量之余三寸以六寸量之亦余三寸以二寸五分量之余五分以一尺量之余三寸以五寸量之亦余三寸以二寸量之余一寸以求广也其求深之意亦同

答曰深三丈七尺一寸　广一丈二尺三寸

术曰以大衍求之置甎方长阔厚为元数以小者为单起一先求总等存一位约众位【列为多者随意立号】乃为元数连环求等约为定母以定相乗为衍母各定约衍母得衍数满定去之得竒竒定大衍得乗率以乗衍数得用数次置广深多少数多者乘用少者减元数余以乘用并为总满衍母去之不满得广深

草曰置四甎方长阔厚系八数城甎厚有分为小者皆通之为单大方得一百三十分小方得一百一十分城甎长得一百二十分阔得六十分厚得二十五分六门甎长得一百分阔得五十分厚得二十分

锥行置之右列位稍多甎名相互今假八音为号位先以最少者自木二十与革二十五求等得五乃反约木二十为四木四与土五十求等得二以约五十为二十五木四与匏六十求等得四约六十为一十五木四与竹一百求等得四约一百为二十五木四与丝一百一十求等得二约一百一十为五十五木四与石一百二十求等得四反约木四为一以木一与金求等得一不约为木与诸数求等约讫为一变得数具图如后

次以革二十五与土五十【按前巳约土为二十五次变不应复用原数然于得数却无碍】求等得二十五约五十为二以革二十五与匏一十五求等得五约匏一十五为三以革二十五与竹二十五求等得二十五约竹二十五为一又以革二十五与丝五十五求等得五约丝五十五得一十一以革二十五与石一百二十求等得五约一百二十为二十四以革二十五与金一百三十求等得五约金一百三十得二十六革与诸数徧约讫为二变具图如后

乃以土二与匏三竹一丝一十一求等皆得一不约以土二与石二十四求等得二及约土二得一又不土一与金二十六求等得一不约土与诸数约讫为三变具图如后

乃以匏三与竹一丝十十一求等皆得一又以匏三与石二十四求等得三约石二十四为八又匏三与金二十六求等得一不约匏与诸数约讫以为四变次以竹一与丝一十一与石二十四【按巳约为八云二十四误】与金二十六求等皆得一竹与诸数约讫为五变次以丝一十一与石二十四【按误同上】与金二十六求等皆得

一不约为六变复以石二　　　　　　　　　　　　　　　【十】四【按误同上】与金二十六求等得二约金二十六为一十三至此七变连环求等约俱毕得数为定母列图如后

右定母列右行以相乗得八万五千八百为衍母以各定母约衍母各得衍数其竹木土定得一者为无

金定一十三得衍数六千六百石定八得衍数一万七百二十五丝定一十一得衍数七千八百竹定一无衍匏定三得衍数二万八千六百土定一无衍数革定五五得衍数三千四百三十二木定一无衍数各满定母去之得竒数

金得竒九石得竒四丝得竒一匏得竒一草得竒七其丝匏得竒数一者便以一为乗率其金石革三处竒数皆与本定母用大衍求一入之各得乘率列右行

金得三石得五丝得一革得一革得一十八各为乘率寄左行衍数各得为用数

凡诸用数同类者类必多可互借以补无者先验革元数二十五与木元数二十为同类求等得五以等五约衍母八万五千八百得一万七千一百六十乃于革用数内减出以补木位为木用余四万四千六百一十六为革用次验竹元数一百与土五十为同类以求等得五十以等五十约衍母八万五千八百得一千七百一十六亦于革用内各借与竹土为用数革止余四万一千一百八十四为用得诸定用数

按无用数则此条可省借数转生烦扰非法也其所以可用借补者盖以同类之元数其较余之竒偶必同故一数可分用也然惟元数同偶者为然同竒则有不可用者此题可用因题中余数未过小元数

也

右行定用始列锥行假号求得今照甎色迁次列之

旣照甎次序列用数于右行乃验问题所谓大方甎砌广多六寸小方多二寸城甎长多三寸城甎阔多三寸厚多五分六门长多三寸阔多三寸厚多一寸对本用列左行各对乘之具图如后

两行乗毕金得一百一十八万八千丝得一十五万六千石得一百六十万八千七百五十匏得八十五万八千革得二十万五千九百二十竹得五万一十四百八十土亦得五万一千四百八十木得一十七万一千六百乃并前八位数共得四百二十九万一千二百三十分为总满衍母八万五千八百去之不满一千二百三十分约之为一丈二尺三寸为基元广数　乃求其深验问题大方砌少六寸小方砌少三寸城甎长砌少一寸阔砌少一寸厚砌多一寸六门长砌多一寸六门阔砌多一寸六门厚砌多一寸列为中行次置诸甎元数列为左行课减之具图如后

今以中行多者存之少者用减左行存者左行元数去之所减者左行余数存之金得七十丝得八十石得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本一十具图如后

列为左行以对右行定用数具图如后

以左行多余数对乘右行用数金得一百三十八万六千丝得六十二万四千石得五百八十九万八千七百五十匏得一百四十三万革得四十一万一千八百四十竹得一万七千一百六十土得一万七千一百六十木得一十七万一千六百具图如后

并八位得九百九十五万六千五百一十分为总满衍母八万五千八百去之不满三千七百一十分展为三丈七尺一寸为基地深

推计土功

问筑堤起四县夫分给里歩皆同齐阔二丈里法三百六十歩歩法五尺八寸人夫以物力差定甲县物力一十三万八千六百贯乙县物力一十四万六千三百贯丙县物力一十九万二千五百贯丁县物力一十八万四千八百贯每力七百七十贯科一名春程人功平方六十尺先到县先给今甲乙二县俱毕丙县余五十一丈丁县余一十八丈不及一日全功欲知堤长及四县夫所筑各防何

按题意以四县修堤总长相同毎日所修之长不同以各每日所修之长计总长或适足或有余以求总长也但不正言其数而设堤阔数各县物力数一夫力数一夫平方数以取每日所修堤长数故令人不能骤觧

答曰堤长一十九里二百三十五歩五尺　甲县夫筑一千二十六丈【乙丙丁同】　乙县夫筑一千七百六十八歩五尺六寸【甲丙丁同】　丙县夫筑四里三百二十八歩五尺六寸【甲乙丁同】　丁县夫筑【同前三县数】

按四县所筑堤长等则丈数歩数里数皆同今以三数分载三县下而复注以与某县同殊混人目

术曰置各县力以程功程为实以力率乗堤齐阔为法除之得各县日筑复数【有分者通之互乗之得通数】求总等不约一位约众位曰元数连环求等约竒得定母陆续求衍数竒数乗率用数以丙丁县不及数乘本用并为总数以定母相乘为衍母满母去总数得各县分给里歩积尺数以县数因之为堤长各以里法歩法约之为里歩

草曰置甲县力一十三万八千六百贯乙县力一十四万六千三百贯丙县力一十九万二千五百贯丁县力一十八万四千八百贯以程功六十尺徧乗之皆以贯黙【按贯黙乃以一贯千文为法之名与前官陌市陌名相似】约之甲得八百三十一万六千尺乙得八百七十七万八千尺丙得一千一百五十五万尺丁得一千一百八万八千尺各为实次以力率七百七十贯乗堤齐阔二十尺亦以贯黙约之得一万五千四百尺为法徧除诸各实甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各为四县众夫每日筑长率按大衍术命曰复数列右行