数学九章

得八百七十七万八千尺丙得一千一百五十五万尺丁得一千一百八万八千尺各为实次以力率七百七十贯乗堤齐阔二十尺亦以贯黙约之得一万五千四百尺为法徧除诸各实甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各为四县众夫每日筑长率按大衍术命曰复数列右行

以复数【按前术以尾数在十以上者为复数此数不合】求总等得三大【按此条原本皆以丈为寸于义无取今皆改正】以约三位多者不约其少者甲得五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍为元数次以两两连环求等各约之

按四县每日筑长数皆以丈为单位非位数也但一等数可以度尽四数必先求总等约之然后可以为元数即此可见总等法不独用于通数复数也

先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不约次以丁甲求等得六只约甲五十四得九不约丁次以丙与乙求等又以丙与甲九求等皆得一不约后以乙与甲九求等得一不约复验甲九与丁二十四犹可再约又求等得三以约丁二十四得八复乘甲为二十七

次以定母四位相乗求得一十万二千六百为衍母各以定母约衍母甲得三千八百乙得五千四百丙得四千一百四丁得一万二千八百二十五为衍数

满定母各去衍数甲不满二十乙不满四丙不满四丁不满一各为竒数

以各定母与本竒数用大衍求一术入之各得乘率甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一

以右行乗率对乘寄左行衍数甲得八万七千四百乙得二万七千丙得七万七千九百七十六丁得一万二千八百二十五各为用数

次验四县所筑有无不及零丈尺寸今甲乙俱毕为无丙余五十一丈丁余一十八丈为有以丙丁二县余丈各乗丙丁二用数其丙五十一丈乗丙用七万七千九百七十六得三百九十七万六千七百七十六丈为丙总以丁余一十八乗丁用一万二千八百二十五得二十三万八百五十丈为丁总并二总得四百二十万七千六百二十六丈为总数亦以丈通衍母得一十万二千六百丈仍为衍母满去总数不满一千二十六丈为所求长率以四县因之得四十一百四丈为实以歩法五尺八寸除之得七千七十五歩五尺为堤长歩以里法三百六十歩约之得一十九里二百三十五歩五尺为堤通长置长率一千二十六丈以歩法约之得一千七百六十八歩五尺六寸又以里法约之得四里三百二十八歩五尺六寸为各县所给道里歩尺数

余米推数

问有米铺诉被盗去米一般三箩皆适满不记细数今左壁箩剰一合中间箩剰一升四合右壁箩剰一合后获贼系甲乙丙三名甲称当夜摸得马杓在左壁箩舀入布袋乙称踢着木履在中箩舀入袋丙称摸得漆椀在左邉箩舀入袋将归食用日乆不知数索到三器马杓满容一升九合木履容一升七合漆椀容一升二合欲知所失米数计赃结防三盗各防何答曰共失米九石五斗六升三合环甲米三石一斗九升二合　乙米三石一斗七升九合丙米三石一斗九升二合

术曰以大衍求之列三器所容为元数连环求等约为定母以相乘为衍母以定各约衍母得衍数各满定母去之得竒以竒定用大衍求得乘率以乘衍数得用数次以各剰米乗用并之为总满衍母去之不满为毎箩米各以剰米减之余为甲乙丙盗米并之为共失米

草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合为元数连环求等皆得一不约便以元数相乗得三千八百七十六为衍母以各元数为定母以定约衍母得衍数甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二十三各为衍数列左行以三定母甲十九乙十七丙十二列右行具图如后

各满定母去衍数得竒数甲得一十四乙得七得七丙得一十一

各以竒定用大衍求一各得乗率甲得十五乙得五丙得一十一各为乘率列右行对寄在行衍数具图如后

以丙行对乗之得用数甲得三千六十乙得一千一百四十丙得三千五百五十三列右行具图如后

既得用数始验问题三箩剰米列左行对三人所用以两行对乗之甲得三千六十乙得一万五千九百六十丙得三千五百五十三

并三数得二万二千五百七十三为总数满衍母三千八百七十六去之不满三千一百九十三合展为三石一斗九升三合为三箩适满细数以左箩剰一合减之余三石一斗九升二合为甲盗米又为丙盗米以中箩剰米一升四合减之余三石一斗七升九合为乙盗米并三人共得九石五斗六升三合为所失总米合问

程行计地

问军师获防当早防差急足三名徃都下节节走报具甲于前数日申末到乙后数日未正到丙于今日辰未到据供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日行一百八十里问自军前至都里数及三人各行日数防何

答曰军前至都三千三百里　甲行一十一日乙行一十三日四时半　　丙行一十八日二时

术曰以大衍求之置各行里先求总等存一约众得原里次以连环求等约竒复乘偶得定母以定相乘为衍母满定除衍

衍得乘率以乘衍数得用数　次置辰刻正末乗各行里为实以昼六时约之得余里各乗用数并为总满衍母去得所求至都里以各日行约之得日辰刻数草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里先求总等得六十只存甲三百勿约乃约乙二百四十得四次约丙一百八十得三各为元数连环求等

先以丙乙求等得一不约次以丙甲求等三于术约竒不约偶盖以等三约三因得一为竒卢无衍数乃便径先约甲三百为一百复以等三兼丙三为九既丙九为竒甲百为偶此即是约竒弗约偶次以一四与甲百求等得四以四约一百得二十五为甲复以四乗乙四得一十六为乙各为定母

以定母相乗得三千六百为衍母以各定约衍母为衍数甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百

术数各满衍母去之不满为竒数甲得一十九乙得一丙得四

以各竒数与定母用大衍入之各得乘数甲得四乙得一丙得七各为乗率列右行

以乗率对乘寄左行衍数甲得五百七十六乙得二百二十五丙得二千八百各为用数

次置甲申末到者其酉初为夜此是甲以全日到为无余里次置乙于未正到乃于卯时数至未正得四个半时以四半乗乙行二百四十里得一千八十为实以画六时约之得一百八十里为乙行不及全日之余里次置丙于辰未到自卯初数至辰未得二时以因丙行一百八十里得三百六十为实以六时除之得六十里为丙行不及全日之余里

以乙余一百八十乗乙用二百二十五得四万五百于中以丙余六十乗丙用二千八百得十六万八千加中共得二十万八千五百为总满衍母三千六百去之不满三千三百里为军前至都里以甲三百除之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四时半以丙一百八十除之得一十八日二时合问按凡总等数必小于连环等数若甚大即为连环等数此题数是也故再约即用求续等法不然不能合也

程行相及

问有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙日行二百里先差丙徃他处下文字旣两日又有文字遣乙追付已半日复有文字续令甲赶付乙三人偶不相及乃同时俱至彼所先欲知乙果及丙甲果及乙得日并里次问彼处去此里数各防何

按题意谓三行迟疾不同乙后丙两日甲后乙半日问防日防里可以追及又旣及之后三人不能同行及各至彼处之时刻皆与各起程之时刻相同盖言自此至彼所行皆为整日数也

答曰乙果追及丙八日行二千里　甲果追及乙二日半行七百五十里　彼处去此三千里

术曰以均输求之大衍入之置乙己去日数乗乙行里为实以甲乙行里差为法除之得甲及乙日数辰刻以乗甲行得里次置丙旣去日乗丙行里为实以丙乙行里差为法除之得乙及丙日数以乗乙行得里然后置三人日行求总等约得原数以连环求等约得定母以定相乗得衍母各定约衍得衍数满定去衍得竒竒定大衍得乗率以乗寄衍得用数视甲及乙里为乙率乙及丙里为丙率以乙日行满去乙率不满为乙余以丙日行满去丙率不满为丙余以二余各乗本用并之为总满衍去之不满为彼去此里

草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二十五里为实次置甲日行三百里减去乙行二百五十里余五十里为差法除实得二日五十刻甲果及乙数以乗甲行三百里得七百五十为甲及乙里数次置丙既行二百乗丙日二百里得四百里为实次置乙行二百五十里减丙行二百里余五十里为差法除实得八百为乙及丙日数以乗乙行二百五十里得二千里为乙得及丙之里数已上为先欲知果及数次列甲乙丙三名日行求总等得五十先约甲丙存得甲六乙二百五十丙四

以甲六丙四求等得二以二约甲为三复以二因丙为八次将乙二百五十与丙八相约得二乃约乙为一百二十五复以二因丙为十六定得甲三乙一百二十五两十六为定母

以定相乗得六千为衍母以各定约衍母得衍数甲得二千乙得四十八丙得三百七十五求竒数

左上二千以甲三去之竒二左中四十八即为乙竒左下三百七十五丙十六去之竒也

各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各为乘率

以乗率对乗衍数甲得四千乙得五千三百七十六丙得二千六百二十五为泛用数

并三泛得二万二千一乃多衍母一倍当半衍母六千得三千以消甲四千余一千又消乙五千三百七十六余二千三百七十六丙不消各为定用数

既得用数次视前草中甲及乙七百五十里为乙率乙及丙一千里为丙率各满乙丙日行里去之

今乙丙二人所行各皆适满去之无余虽称同时俱至乃各系全日所行便以乙丙二人约六千里得三千里为彼去此里数合问

按复数求元数用总等法尚属未密盖总等约后有当连环求等者有当即求续等者其法不能定也今少为变通凡复数皆见十者先以十为总等徧约之【百千万同】为元数俟连环求等毕复以总等十乗一数【百千万同】然后再求续等以得定数爰依题数具式于后

法列三数于上以十为总等徧约之得甲三十乙二十五丙二十即为元数连环求等以甲与乙约得等数五【竒】约甲得六【偶】以甲与丙约得等数二【偶】约甲得三【竒】为甲数徧约毕次以乙与丙约得等数五【竒】约丙得四【偶】为乙丙二数徧约毕乃以总等十乗乙数得二百五十次求续等以甲与乙与丙相约俱无续等以乙与丙约得续等二【偶】约乙数得一百二十五【竒】复乗丙得八则甲三乙一百二十五丙八即为各定数也以三定数连乗得三千为衍母即所问彼处去此之里数较旧术算省而数亦确矣

数学九章卷一下

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷二上　　　　宋　秦九韶　撰天时

推气治厯

问太史测验天道庆元四年戊午嵗冬至三十九日九十二刻四十五分绍定三年庚寅嵗冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中间嘉泰甲子嵗气骨嵗余斗分各得几何

按绍定三年庚寅之冬至实绍定四年辛夘之始辛夘距戊午三十四年积年为三十三

答曰气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分余嵗五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分

术曰先距前后年数为法置前测曰刻分减后测曰刻分余为率【不足减则加纪防】以纪防累加之今及天道合用五日以上数为实以法除实得嵗余去全日余为斗分以所求中间年上距前测年数乘嵗余益入前测日刻分满纪防去之余为所求气骨

草曰置前测戊午嵗距前嵗庚寅嵗得三十三为法置前测戊午嵗冬至三十九日【日辰癸夘】九十二刻四十五分减后测绍定三年庚寅嵗冬至三十二日【日辰丙申】九十四刻一十二分今后测者少不及前测者以减乃加纪法六十日于后测日内得九十二日九十四日一十二分然后用前测者减之余五十三日一刻六十七分为率按术当以法三十三余率须使啇数必得五日以上乃可今率未得五日乃两度累加纪法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分为刻实如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分【不尽弃之】为嵗余乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分为斗分次推嘉泰甲子上距庆元戊午嵗得六以乘嵗余五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前测戊午嵗三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分满纪法六十去之余一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为所求甲子　气骨之数合问

按气骨者年冬至时距甲子日子正初刻后之日分也嵗余者嵗实去六甲子之余日分也斗分者嵗实去三百六十五日之余分也此未知嵗实之法故先以前后两气骨相减余数为实以积年为法除之嵗余约五日余纪日六十故实数内累加六十日至啇得五日上而止则实数为积嵗余之数以积年除之得嵗余日分既得嵗余以甲子积年六乘之得甲子积嵗余与前测气骨相加满纪法去之余即甲子气骨也

治厯推闰

问开禧厯以嘉泰四年甲子嵗天正冬至为一十一日【日辰乙亥】四十四刻六十一分五十四杪十一月经朔一日【日辰乙丑】七十五刻五十五分六十二杪问闰骨闰率各几何

答曰闰骨九日六十九刻五分九十一杪【不尽一百六十九分杪之一百二十一】

闰骨率十六万三千七百七十一

术曰以日法各通气朔日刻分杪各为气骨朔骨分其气骨分如约率而一约尽者为可用【或收弃余分在一刻以下者亦可用】然后与朔骨分相减余为闰骨率以日法约之为闰骨防

草曰置本厯曰法一万六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九万三千四百四十分二十六小分为实其歴约率系三千一百二十以约之得六十二可用其余小分二十六乃弃之只用一十九万三千四百四十为气骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日法一万六千九百乘之得二万九千六百六十八分九十九杪七十八小分将近一分故于气骨内所弃二十六小分借二十二小分以补朔内收上得二万九千六百六十九为朔然后以朔骨分减气骨分余有一十六万三千七百七十一为闰骨率复以日法除之得闰骨防九日六十九刻五分九十一杪不尽一百二十一筭直命之为一百六十九分杪之一百二十一合问

按此题若置冬至日分内减经朔日分余九日六十九刻五分九十二杪得闰骨防此原草仅多一百六十九分杪之四十八尽草中气骨内弃小分二十六朔骨分内进二十二并之为一百六十九分杪之四十八其不径相减而必用通分约分累乘累除者为向后推筭用耳

治厯演纪

问开禧歴积年七百八十四万八千一百八十三欲知推演之原调日法求朔余朔率斗分嵗率嵗闰入元嵗入闰朔定骨闰泛骨闰缩纪率气元率元闰元数及气等率因率蔀率朔等数因数蔀数朔积年二十三事各几何

答曰日法一万六千九百

朔余八千九百六十七

朔率四十九万九千六十七

斗分四千一百八

嵗率六百一十七万二千六百八

嵗闰一十八万三千八百四

入元嵗九千一百八十

入闰四十七万四千二百六十

朔定骨二万九千六百六十九

闰泛骨一十六万三千七百七十一

闰缩一十八万八千五百七十八

纪率一百一万四千

气元率一万九千五百

元闰三十七万七千八百七十三

元数四百二

气等率五十二

因率一百四十四

蔀率三百二十五

朔等数一

因数四十五万七千九百九十九

蔀数四十九万九千六十七

朔积年七百八十三万九千

积年七百八十四万八千一百八

术曰以厯法求之大衍入之调日法如何承天术用强弱母子互乘得数并之为朔余以二十九日通日法增入朔余为朔率又以日法乘前厯所测冬至气刻分收弃末位为偶数得斗分与日法用大衍术入之求等数因率蔀率以纪乘等数为约率置所求气定骨如约率而一得数以乘因率满蔀率去之不满以纪法乘之为入元嵗次置嵗日以日法通之并以斗定分为嵗率以十二月乘朔率减嵗率余为嵗闰以嵗闰乘入元嵗满朔率去之不满为入闰与闰骨相减之得差【或适足便以入元嵗为积年后术并不用或差在刻分法半数以下者亦以入元嵗为积年】必在刻分法半数以上却以闰泛骨并朔率得数内减入闰余与朔率求闰缩【在朔率以下便为闰缩以上用朔率减之亦得】以纪法乘日法为纪率以等数约之为气元率以气元乘嵗闰满朔率去之不满为元闰虗置一亿减入元嵗余为实元率除之得乘限乃以元闰与朔率用大衍入之求得等数因数蔀数以等约闰缩得数以因数乘之满蔀数去之不满在乘限以下以乘元率为朔积年并入元嵗为演纪积年又加成厯年今人相乘演积年其术如调日法求朔余朔率立

斗分嵗余求气骨朔骨闰骨及衍等数约率因率蔀率求入元嵗嵗闰入闰元率元闰已上皆同此术但其所以求朔积年之术乃以闰骨减入闰余为之闰赢却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位除乘消减谓之方程乃求得元数以乘元率所得为之积年加入元嵗共为演纪嵗积年所谓方程正是大衍术【今人少知】非特置筭繁多初无定法可传甚是惑悮后学易失古人之术意故今术不言闰赢而曰入闰差者盖本将来可用入元嵗便为积年之意故今止将元闰朔率二项以大衍先求等数因数蔀者仍仿前前求入元嵗之术理假闰骨如气骨以等数为约数及求乘数蔀数以等约闰缩得因乘数满蔀去之不满在限下以乘元率便为朔积年亦加入元嵗共为演纪积年此术非惟止用乘除省便又且于自然中取见积年不惑不差矣新术敢不用闰赢而求者实知闰赢已存于入闰之中但求朔积年之竒分与闰缩等则自与入闰相合必满朔率所去故也数理精微不易窥识穷年致志感于梦寐幸而得知谨不敢隐草曰本厯以何承天术调得一万六千九百为日法系三百三十九强一十七弱先以强数三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四于上次以弱数一十七乘弱子九得一百五十三并上共得八千九百六十七为朔余次以日法通朔防二十九日得四十九万一百增入朔余得四十九万九千六十七为朔率又以日法乘统天厯所测毎嵗冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪为斗泛分验八分既偶遂弃三十九杪只以四千一百八分为斗定分与日法以大衍术入之□得五十二为等数一百四十四为因率三百二十五为蔀率以甲子六十为纪法乘等数得三千一百二十为约率却置本厯上课所用嘉泰甲子嵗气骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九万三千四百四十分二十六杪为气泛骨欲满约率三千一百二十而一故就近乃弃微杪只以一十九万三千四百四十为气定骨然后以约率三千一百二十除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九百二十八满蔀率三百二十五去之不满一百五十三以纪法六十乘之得九千一百八十年为入元嵗次置嵗　三百六十五以日法乘之得六百一十六万八千五百并斗定分四千一百八得六百一十七万二千六百八为嵗率却以十二月乘朔率四十九万九千六百七得五百九十八万八千八百四率内减去此数余一十八万三千八百四为嵗闰以嵗闰乘入元嵗九千一百八十得一十亿八千七百三十二万七百二十满朔率去之不满四十七万四千二百六十为入闰次置本厯所用嘉泰甲子嵗天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法乘之得二万九千六百六十八分九千九百七十八杪为朔泛骨就近收杪为一分共得二万九千六百六十九为朔定骨数然后乃以朔定骨减气骨一十九万三千四百四十余一十六万三千七百七十一为闰泛骨置日法以二百归除之得八十四半为半刻法次以入闰数内减去闰泛骨与入闰相课减之余三十一万四百八十九【此是闰赢】为差半刻法以上乃以闰泛骨并朔率共得六十六万二千八百三十八以入闰四十七万四千二百六十减之余一十八万八千五百七十八在朔率下便为闰缩次以纪防六十乘日法得一百一万四千为纪率以等数五十二归除纪率得一万九千五百【按即六十乘三百二十五之数为一蔀年数】为气元率以气元率乘嵗闰一十八万三千八百四得三十五亿八千四百一十七万八千满朔率去之不满三十七万七千八百七十三为元闰次置一亿【按此数似虗设不过取一亿之数为限耳此所求过限又将改率数以迁就之矣】以入元嵗元千一百八十减之余九千九百九十九万八百二十为实以元率一万九千五百为法除之得五千一二十七为乘元限数乃以元闰三十七万七千八百七十三余与朔率四十九万九千六十七用大衍术求之得等数一因等四十五万七千九百九十九蔀数四十九万九千六十七然后以等数一约闰缩只得一十八万八千五百七十八以因数四十五万七千九百九十九乘之得八百六十三亿六千八百五十三万五千四百二十二满蔀数四十九万九千六百七十去之不满四百二在乘元限数以下为可用以乘元率一万九千五百得七百八十三万九千年为数积年并入元嵗九千一百八十共得七百八十四万八千一百八十为嘉泰四年甲子嵗积算本厯系于丁夘嵗进呈又加丁夘三年共为七百八十四万八千一百八十三年为本厯积年合具绘图如后

按此术草内竒定相求有等数又有因数蔀数之异盖等数即度尽定竒两数之数因数为竒数之倍数任倍定竒二数相较但得一等数则竒之倍数即为因数蔀数者竒数最大之倍数也任倍竒定至两边相等无较数则竒数之倍数即谓之蔀数也等数甚小者因数不患其甚大有蔀数以限之也草中尚多讹舛正之于后

按此题术草皆曰何承天调日法而宋书所载何承天法并无甚率且各用数亦与此不同今细按其草日法已有定数所调者朔防余分也然从来朔防余分皆以实测之朔防分嵗实分两母子互乘相通即得并无所谓调法今所载强弱母子四数大约已有朔防余分与日法分相约而得非别有所本乃故设曲折以为竒也试以朔余分八千九百六十七分为第一条置日法分内减朔防余分余七千九百三十三为第二条以此二数数取之先置第一条减第二条余一千零三十四为第三条七因第三条以减第二条余六百九十五为第四条以第四条减第三条余三百三十九为第五条二因第五