新法算书

初亏东北日躔大火宫二十三度一十一分【两食之中积时为一千三百六十六年其间太阳行最髙一十六度有竒以减日躔两度差二十八度得一十二度为前后日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚防地景无二与无差同】月自行为二百九十一度三十五分用加法得均数为四度二十八分

两食时月本轮最髙前后等距【前过最髙六十四度后未至最髙六十九度其较五度距地之差甚防与无差同】食分大小等初亏方位等则两食之月距交等度【中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分】此时自行满交周外其距交为一百五十九度五十五分

如图甲乙丙丁为白道乙丁为正中二交甲为北为内为上为隂厯丙为南为外为下为阳厯乙戊己丁为距交等之两弧是

两食时月体一过交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之后前食用减法得均数四度二十○分【减者月在自行之前半周依表平交行为甲乙庚减庚戊得甲乙戊戊为月所至之实处】取戊庚后食用加法得均数四度二十八分【加者月在自行之后半周依表平交行为甲丙辛加辛巳得甲丙己巳为月所至之实处】取己辛庚辛为两食中积月距交之平行一百五十九度并戊庚辛巳得戊丙巳两距之实行一百六十八

度四十三分其余一十一度一十七分为乙戊丁巳两弧并半之得五度三十九分为两食时月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲为界则甲乙庚得九十九度五十九分是第一食时之交行根所谓交应也若他时他处求交应依此加减之

今拟崇祯元年戊辰天正冬至为厯元顺天府为厯元本所如日躔表推算本曜恒年表【如后卷】

交行两界任用但月体行度多端差数繁曲既成加减均齐则或用定界从宫次节气起算或用不定界从罗计起算所得正等

测黄道白道相距度分第十八

西史多禄某【汉光武时】其地为北极髙三十○度五十八分用三直仪【测髙仪皆可用】测得月轨极北距天顶二度○七分以减北极出地度得二十八度五十一分为月距赤道度分于时黄赤距度为二十三度五十一分【黄赤距古逺今近説见日躔厯指】以减太隂距赤度余五度正为黄白相距之度此测因月近天顶地半径差极防可以勿论又轨度最髙在清蒙限外亦无差分若在近浊测月轨髙不先定地半径差清差以为加减即所得者非实度分

西古史多言黄白距五度正上古则云四度五十八分回囘厯则五度○二分皆不逺近世第谷【万厯间】宻测详推功倍古人其言曰朔望时古测仅少一分半若上下两则五度一十七分本书有测法有算数今略举如左

总积四千八百○○年为汉章帝章和元年丁亥八月【建未之月】十八日【本地】午正后二十九刻一十分月在正午时为上依本表算得距交八十六度一十七分于时测得月距黄道【地半径蒙气二差俱加减讫外】为五度一十三分　【右二则所言度分通为日度则五度一分半者当为五度九分八十二秒五度一十七分者当为五度三十六分五度一十三分者当为五度二十九分】

大统以前诸厯黄白相距俱六度正通为平度则是五度五十五分距度恒大于西术以推算月食往往小于天验殆縁于此

西术定黄白距度求月轨极髙得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此古今通法但多禄某当汉光武时去今一千四百余年于时黄赤距为二十三度五十一分所减大所余必小今时则二十三度三十一分半所减小所余必大故今之黄白距较古为大【是黄赤渐近而黄白不移其所以然难可窥度】

又恒星厯言近至之恒星古今纬度不一在冬至则南纬度小北纬度大在夏至反是亦黄赤渐近之徴也

今推黄白距度列表略同黄赤距度法【见日躔厯指及测量八卷】其用法见月离表

论月视差第十九

日躔厯指论地球半径与月天半径为比例若本天视地为逺为髙则比例为小若为近为庳则比例为大【两数相近其比例名谓大相逺名为小】

凡视差有三【清蒙不与】一曰地平纬差二曰黄道经差三曰去极纬差其根则一地球之半径是也葢推算之地平纬恒与地心为对人目所见之地平纬恒与地面为对故因地之半径而生视差若日月星在天顶即实行与视行为一线即测騐与推算为一率自此而外七政皆有视差但以去地逺近出地髙庳分别大小耳今所论者地平纬差也【余二差详见交食厯指】前史谓之南北差因曜实在北所见在南故立此名今通称之

求月视差法依表算得月在极南【即冬至但此论经度非时也故称南至以别之】近冬至十度以内又在两交之中【正半交中半交黄白相距极逺之际】又在黄平象限之上测其地平以上之髙是为视髙次用赤道出地度南至距赤纬度太隂距黄纬度推得月在地平以上之髙是为实髙次以视髙减实髙其较为地半径之视差　若不用南至任以恒日依表推月过子午线或黄平象限上求其黄道上经度及其距交经度距黄纬度得地平以上之实髙亦测其视髙两数之较为地半径之视差此法古今累测所得数无异略举如左

总积四千八百四十八年为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月【建酉之月】初三日西史多禄某在本地极髙三十○度五十八分太阳躔夀星宫五度二十八分月在子午线亦为黄平象限【凡两至在黄平象限与子午线同度】推其经度为星纪宫三度○九分月距交为七十四度四十○分其距黄纬度为四度五十九分计本地赤道髙五十九度○二分星纪三度九分之距赤纬于时为二十三度四十八分以减

赤道髙得纬度髙为三十五度一

十四分【黄道某度地平上髙】加月距黄纬度

【在黄道北故加】得四十○度一十三分为

太隂之实髙次测得三十九度○

五分为视髙一推一测其较一度八分为地半径视差

又总积六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月【建申之月】二十七日午正后二十二刻一十分西史歌白泥测得月轨视髙七度一十分于时日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度为本轮之最髙推黄道经为在星纪一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黄纬为四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分减去月距赤道度余七度五十七分为月在地平上之实髙一测一推之较为四十四分即月在最髙地半径视差

右两术所推太隂之地半径差各依本法论定太隂出入地平时若在本轮之最髙则多禄某为○度五十三分歌白泥为五十分若在最髙冲则多禄某为一度一十九分歌白泥为六十六分异同若此将何适从所以然者縁两史测月时未悟月近地平有清蒙一差故也【説见日躔厯指】清蒙映物能升卑为髙凡测月之地平髙所得数乃所见之视髙【与人目平行】非月行之实髙【与地心平行】以地半径差减实髙则为视髙又以清蒙差加视髙则为真视髙近世第谷依此法推得太隂出入地平时在最髙为五十六分二十一秒在最庳为六十六分○六秒其各逺近之差在多禄某为二十六分歌白泥为一十六分第谷为一十分三家皆有地半径差表今以第谷【新术为正】以地半径大差求月距地心第二十

如图甲为地心乙丙为视地平乙甲为地半径丙角为视差【用第谷之大数】六十六分○六秒乙为直角乙甲半径为度【为度者恒呼为一以上累加之】求月距地心之甲丙法为全数【内】与乙甲【外】若丙角之余割线【内】与甲丙得五十二又十万之二万一千○二十五是月极近地为五十二

地半径有竒若用小数五十六分二十一秒推得六十一又十万之二千七百八十二

系既定甲乙乙丙之比例若有月距天顶之戊丁弧或称戊乙丁角或称丁乙甲之余角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恒为地半径之角

如前论月本天本轮次轮各半径之比例为十万为一一○二为二二一并之得地心至太隂极逺【最髙】之线一一三三三次用变率法一一三三三得六十一地半径又十万之二千七百八十二则本轮之半径一一○二得若干次轮之半径二三一得若干依此推之

系如图得丁

戊【月距地心十万分之

几】若干数亦

可得月距地

心若干地半径数有表【图説见前】

二系地半径差月距地心恒互推

三系若定地半径若干里亦可得月近逺若干里【有本解】论太隂清蒙气第二十一

日躔厯指有论有法以测清蒙差度分因之列表凡测太隂得其视髙则求地半径差加之得数又以清蒙气差减之为其实髙凡推太隂得其实髙则以地半径差减之得数又以清气差加之为其视髙但清蒙之差因地因时所在各异今表其折通用之率也必求本地本时之确数宜随处所积歳月累测以定之

测月径地景径第二十二

测日月径度西古史有本用仪器今以月食立法则厯家之正术也

总积四千○九十三年为周襄王三十一年子月日子正后【顺天府时刻下同】四十一刻○五分月食十二分之三约为四之一于时日躔降娄宫二十七度○五分月离夀星二十七度○五分月自行为三百四十○度○五分月距交九度二十分距黄道北四十八分半【依表算】

又总积四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻○五分月食十二分之六约为半径于时日躔星纪一十八度一十二分月离鹑首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分【前食月距本轮最髙二十度弱两食之较八度有竒俱在本轮上弧不能变逺近之数】月距交七度四十八分距黄道南四十分四十秒

如图日光照地面即地背生景形如角体渐小以趋尽月

过交入地景【一名

闇虚】有髙庳食分

为之大小今两

食时同在最髙之左右其距地等食分一为半径一为四之一其较为四之一距黄道一为四十分四十秒一为四十八分三十秒其较七分五十秒依法算月径四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似径也

测月径度法详见三圜比例説

系凡食分为月之半径即月距黄道为景之半径因上数当食时地影半径为四十分四十秒

二系若食时能测定食分又推算得躔离自行距交距黄等诸率可得月径及景径不必用古两食法

日月距地率日月实径率地景长率总论第二十三

如图乙甲丙为日已丁戊为地日光照地以两光线从乙过己从丙过戊而遇于丑是生已戊丑角体之景次从

乙从丙至地心作乙丁丙丁二线又作甲丁丑线过日地两心次从地心丁上下取月距地心之数【地半径为度如上文所定】为丁庚为丁寅两距等作庚辛壬巳戊寅子线皆平行其太阳似径之度为三十一分二十○秒【欲解其义先定太阳之似径此在三圜説有各种法今用者古多禄某所定也又太阳行最髙最庳不等似径亦不等本章所用者日在最髙之似径也论月亦在小轮之最髙如下文】

庚辛丁直角形有庚丁【月距地】六十四又六之一有丁角【甲丙庚】一十五分四十○秒求庚辛法为全【内】与丁庚六十四又六之一【外】若丁角之切线四五五【内】与某数【外】得地半径十万分之二万九千一百九十六次求寅子【壬丑三角形内有庚壬丁戊寅子三线相距等用递加法三率之第一第三井为第二率之倍数】庚辛为月最髙半径度依多禄某説约与日半径度等又寅子为地景之半径四十分四十秒即两数之比例【庚辛十五分四十秒寅子四十分四十秒】为若五与十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九以并辛得一十○万五千一百○五以满丁戊之倍数二十万为不足地半径十万分之九万四千八百九十五为辛壬【丁戊倍之为二十万与壬寅子并等于倍数内减辛寅子井所余为辛壬】

次丙戊戊丁两线所作戊角拟为直角【实非直角其差极防非算所及】丙戊甲丁两线亦拟为平行【实非平行以差防故】用几何法【第六卷第二题】为戊丙与壬丙若丁丙与辛丙又丁甲与庚甲若戊丁【地半径十万】与壬辛【九四八九五】既丁甲与庚甲若戊丁与壬辛则甲丁为十万【若戊丁】庚甲为九四八九五【若壬辛】所余之庚丁必为○○五千一百○五先定丁为六十四地半径又六之一依变率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半径者一千二百一十也

以上系古法后世累代宻推有亚巴徳于总积五千六百○四年为唐昭宗大顺二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥于正徳间推得一千一百七十九倍第谷于万厯间推得一千一百八十二倍此差列数至微推算极难或日径月径加减以分计则其差以数百倍计故名厯家于此殚思竭虑焉今时所用大都歌白泥之率也

一系依上论丁戊地半径为一万分庚辛月半径为一万分之二千九百二十六是为地月之两实径用此比例可推两体之比例

二系甲丙丁庚辛丁两形相似则庚丁与庚辛若丁甲与甲丙推得日实径与月实径之比例

三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例　以上三系详见三圜説

四系置日距地度及日与地之比例又距月行本轮距地度【于上图为丁寅】可得月所过地景之径列表其引数为月本轮自行之数然图説所设者日在最髙若去最髙即复异此故表有本行名地景差其引数为太阳之引数以所得之分与引数相减即得【无加法】葢日在髙景大在庳景小故也

月距地视差视径三家异率第二十四

汉章帝时西史多禄某术

月距诸率为地半径　　　地半径视差　月视径十单又十分【六十为半径】度十分【天度】　十分十秒

正徳间西史歌白泥术

万厯间西史第谷术

【刻尔白改之法今所用又测太阳视径】

【为冬至三十一分半夏至】

【三十分新法算书卷二十】

第谷及其门人

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

钦定四库全书

新法算书卷三十　　　明　徐光启等　撰月离厯指卷三

三圜比例说第二十五

三圜者日一月二地三皆为圜体厯家先求其比例大小逺近之数为测騐推算之基本此诸数者骤言之似出恒闻习见之外故是信情所不能及如太阳之体目视之不过数寸耳曰大于地球之体一百五十倍谁即信之月与日人目不能别其大小曰月之体小于日防千倍谁即信之然从古至今诸厯名家测騐推以理以数反覆论定咸宗斯指迨用以求七政行度交食合防一切诸法非此不合即又无能不信也先臣邓玉函定着一书甄明此术引入月厯疑于过繁今择其要切者着于萹凡为题十借题一共十一题

借题【借题者不属本论借外论以为义据下文所必须也】

一地体为圆球【见表度説及地球图説】

二地球在大圜之中心【见测天约说及表度】

三目见物仅能定其似大小　目接于物物之诸分皆发本象来至于目目则全收其象云收象者非在目之外郛也睛本圎球有同鸟卵重重抱裹收象之处在其最中谓之瞳心若目视物之两端则四和线发来至瞳心合而成角为角体之形若视物之两端则两腰线发来至瞳心合成三角面之形凡角之末鋭必在瞳心名为视角角之大小称物之大小若视角极防目不见物乃不能定其大小若视角过大则目眶所限不能尽角之广必移目两视乃得全见

四同是一物在近见大在逺见小　以三角形之理明

之如图甲乙同底若腰长则底

之对角必小【甲乙线以近逺生目中视角大小】

五未定物之近逺目不能定其实大小　近逺大小视法皆有比例

六近逺两物大小不等若小者在近大者在逺而视角等则目定其大小亦等【如日月之视径等不知者疑其大小亦等不能辨其逺近不能分似大实大故也】

七有光之体体之各分能发光

八光景之限难分凡有光之体体之四周皆有切气借光于体亦可当有光之体而发浮光故表景之末渐至虚淡其浓实者是正光之景其虚淡者则浮光之景

第一题测太阳太隂之视径　凡八法

月去人近日去人逺先得月之视径及其视差乃可求日之大小逺近故先求月之视径　视大小之度在瞳心之视角角之度分即对弧之度分　人目在大圜之心【或在地心或在地面今此无分不烦别论】则天上度分为目所定视大小之度分故论日月视径皆用周天度如曰半度曰三十分则周天七百二十之一也

第一法　古用壶漏法【西土厄日多国人所剏】从午正初启霤至明日午正止权其废水得重若干次候月初升启霤【用原壶原水】升竟则止权其废水得重若干次用三率法先水若干得九十六刻后水若干得几何刻分为月径全升之时再用三率法得为全周之几何古亚利谷以此定为七百二十一分之一约为二十九分五十九秒　古依巴谷定为三十三分一十四秒　加白蜡定为三十六分　以上三术未定太隂最高庳自行近逺数多不合又水漏法参差之縁甚多难于切准或用沙漏自鸣钟其定太隂升降与此同法　以下诸法测日多通用第二法　后此厯家谓太隂出入升降舒亟无恒或经时不行【太白升降有时迟至一刻不见运动】或俄然陨坠凡此皆清之气所为也则气之中未可以行定时以时定径更立法植物为表或版或墙在目之南表之西际以当午线目在表北依不动之处候月之西周至于午线便须啓霤【或水或沙或自鸣钟】体全过午止霤考之得时得度与前法同

第三法

上法测用月午可免清之差然月行自有

迟疾以时定径亦未能得其实经度也

第谷别立一法两人用两象限仪月

正午同时并测一测其上弧距地平若

干一测其下弧距地平若干两数之较为月半径如总积六千三百○○年为万厯十五年丁亥在其本地测得上弧距地一十五度二十分下弧距地一十四度四十分其较三十四分为目之似径度分

第四法

或用横直二表及景符直表

平圭定上弧之高横表立圭

定下弧之高相减得径【用表求高

法见测量十卷】

第五法

两人同时同测一以表景求

高一以象限求高两高之较

日月之半径也表景得上弧

之高象限得心之高

第六法　第谷及其门人刻

白尔借古依巴谷多禄某法

爲木候仪先作木架立柱高

与人等柱端爲两运之轴【一周

转一上下】木爲长衡三分之一在

前二在后而入之轴上下左

右无所不可至也衡之两端

各立一表上表中心爲圆孔

径二三分下表与上表同心

从心作圏与上孔等圏之外更作数平行圏两表之间为景箫【法见测量全义十卷新仪觧】以束上景而致之下表也箫之下端剡寸许缺之令旁见下表之景圏或不用景箫则设之幽室独直上表其外以受日光达于下表室须黝黒絶无次光【日月火所照皆为正光所照之外而能见物皆其次光也】乃得实景用时以上表承日光在下表则成圆形必合一圏【不合更作合者】如甲为下表之心甲乙圏与上孔等光

之半径为甲丁取丙丁与甲乙等作丙

圏即甲丙与乙丁亦等乙为日周其光

至丁甲为日心其光至丙是两表相距若干因生大甲丙之光若干用三角形法求甲丙于两表之距度得几分即见日视角之度分法表相距之几丈尺与全若甲丙与视角之切线【查八线表取数】刻白尔用此得冬至日径为三十一分半夏至减一分有竒为是三十分则半度也第谷之表间一丈四尺冬至得三十一分【较刻白尔为少半分】系日视径有大小则为日之近逺既有近逺安得无最高最庳大不恒在冬至小不恒在夏至而有运移安得谓最高最庳不有运移假令不信日有自行则视径大小无义可説　若无本仪则于宻室中穴墙壁以版如上表法承日别用平表凖下表以受光诸法同前作孔或方或撱无所不可

若测月径光淡难分则上表之孔特宜加大刻白尔所测为月平【两留际也】距地少至二十九分半强多至三十一分一十二秒弱【光淡难定故】极近距地少至三十二分强多至三十四分一十八秒弱

第七法　以逺镜求冬夏二至两径之差法木为架以逺镜一具入于定管量取两镜间之度后镜之后有景圭欹置之管与圭皆因冬夏以为頫仰其管圭之相距则等至时从景圭取两视径以其较较全径为二至日径之差

第八法　测月求附近两恒星一左一右与月叅直以月之两弧当两星用纪限仪或弧矢仪测其两相距度分得径分

系月高庳有四限一在本轮次轮之两最高为极逺二在两轮之两最庳为极近三在本轮之高次轮之庳为中逺四在本轮之庳次轮之高为中近各限之径诸家所测多不等极近或曰三十三分或曰三十四乃至三十五分三十秒中逺中近或曰三十一分或曰三十二分三十五秒极逺曰二十九分三十杪

问古今一月也古今一仪也诸名家所测乃尔参差何以故曰其故多矣或人目有利钝不等或夜有幽明不等或太空氤氲之气有清浊厚薄不等是皆能变易视径为大小

其正法以月食为本【见本篇第】

本卷求日月径多从歌白泥所测葢取诸天騐月厯中大都宗本其说

第二题日月视径大小

古史记日食既者或言昼晦恒星皆见鸟栖兽宿或言月不尽掩日有金环

系如图中月全掩日即其似径与日

似径等此则食既于东生光于西既

与甚同时不移晷也如右图月体不

足掩日则有金环月之似径为小如

三图则食既以后更有食甚久而生光月之似径为大所以然者日在最高月在本轮最庳日高故视径小月庳故视径大则掩日有余也日在最庳月在最高日之视径大月小则掩日不足也俱在最高俱在最庳故两视径等则掩日适足也

第三题日食时月视径之小大随地不等

旧法于日全食时测定月之视径随时不等曰日在最庳月在最高则两视径约皆三十一分是以月掩日为适足若日高月庳是日小月大以月掩日则赢矣而或谓全食时有金环是有时月小而日大或曰无之此两说者古来通士疑弗能明也至近今二十年间名厯蔚兴世济其美辨义既晰测加精因而南北订然后乃知两视径随地各异究极根缘又知日食时絶难定视径之大小遂使千年疑障豁尔蠲除繇是观之理弥析而愈有智日出而靡涯数甚而难穷岂可见限自封谓循古为己足哉