新法算书

以四率连比例之第二率再自之得数同

第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容【系凡委粟及垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容】

若不知其正高但知其底及棱则先求其正高

法曰若棱为偶数如上图得四甲乙

丙丁为底之四边各八又半甲丙对

角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊

丁戊丙为四棱各十而求次图之中

长线戊己【次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向

甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十】

【二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高】

法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【方】余六十四【股方】开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线【各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也】依句股法半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【方】相减得三百六十四

【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线用正法以五【底之边数】为法三百六十【全圈之周】为实【几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧半弧之正【即底之半边】为五八七七九第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高

底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也

若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高

论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也【说见九章算】

又外切圈之半径为句棱数为用句股法求股即元体之正高【此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也】

截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形【顶不锐近底之两腰稍平行】三也直

截之与轴平行截面为陶邱形【顶曲渐下渐直底两旁为锐角】四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五

【有本】论第三第四其面皆为一直线一曲

线两界之面所截体之一分皆为两平

面一曲面三界之体亚竒黙徳备论其

量法然非测量所必须又各截面皆有

底有轴【即中长线】有曲线若转轴环行即径

线为平底界曲线为曲面界生二界之

体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶

而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之逺近亦非测天所用未及详焉

第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体【凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然】

法曰若知本角体之高即先求本

角体之容后求所阙截分之容相

减余为元体之容假如斗体之底

长方一边得八一边得九则其积

七十二以全高二十四乗之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八【即阙分之底】以阙分之高十二乗之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也

若不知全角体之高则截体分求之

法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边

各二十四戊已庚辛小面也边各一

十八用垂线截斗体从戊已边向下

至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵【正二面一立一斜侧二面为句股】四隅四体为阳马【即角体亦名方锥】各以本法求其容并为斗体之容【堑堵以高乗底积二而一阳马以高乗底积三而一】

立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乗之得四八六○堑堵【一名句股体】其底长方辛子三【两面之较六折半得】

【三】辛庚为十八乗得五十四为底积以正高乗之得八

一二为法而一得四○五四倍之得一

六二○【四边四体故】阳马其底各三其积九

以正高乗之得一三五以三为法而一

得五四四倍之得一八○

若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上

边向下截成众体如图甲皆为堑堵

乙皆为阳马其中间无法之形则以

形为底分之中作一立面体余为四

三边形各形有棱有高可知其容又

公法【上二法遇圆体而穷】设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五

乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也

又便法【小差而不逺】并两面之边半之自乗得数以高乗之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳

凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似【几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法】

一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之

成一全体有六棱四隅

设各边一百因前法求

其容为一一七四七二

半　此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边

二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面

为正方形设各边一百

因前法求其容为十万

三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各

边设一百因几何求其

容为四七一四二五有

竒

四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十

隅边设一百其容为七

六八六三八九

五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二

隅边设一百其

容为五二三八

○九

依几何之説得一体之容可推同类【同类者同若干面数也】万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等

假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容

如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容【第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之】

一率　一百万

二率　　一二五○○

三率　一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容

又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之

一率　　一百万

二率　　一五六二五

三率　　七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率　　得一二○○九九为所求十二面体之容

又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数

一率　一一七四七二半【例容】

二率　一四六八四又四之一【设容】

三率　一百万【例边】

四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边

量圆球之容

圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之

第一题

球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也】系　凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径　解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚

矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与

庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方

形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形

之一边则两矩方形必等夫己壬周

线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣

二系　球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一

第二题

径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数

又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母【即一几何谓之命分数】是周上之立方也子数【几何之得分数】为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四

又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论置球之径　一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积【用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒】　一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒　置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒　置径置球之圆面相乗六而一

置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】　乗大圜之积三而二或径乗积三分之二　或径三分之二乗积俱得球之容

或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半　或大圜半积乘径三分之二所得亦半

量球一分之曲面

凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无

异【或半球或四之一或五之一俱同法】　若截球面不

过心为直面而曲面界为球上之圏

则借天球之界以明之

解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南

丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干

分则为无法之形

量球一分之容

取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等

如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之

半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容

若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容

量撱圆体之容

撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一防直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之

凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形

凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一

如甲乙为长径丙丁为小径

即丙戊丁甲半撱圆体倍大

于甲丙丁角体

解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体

之容也

若截面与小径平行如庚己

壬求撱圆分体如庚甲壬之

容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容

若求大分之容先求角体庚

壬乙之容次用三率法甲己

【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】

并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容

量无法之体

解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三

和灰涂其罅令不漏实之以水投所

量物其中则水溢取出物量水减几

何得物之容如减一寸而椟边设一

尺则得一百寸为物之容盖各边一

尺上面积为一百寸水减一寸则为

一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容

新法算书卷九十二

钦定四库全书

新法算书卷九十三　　明　徐光启等　撰测量全义卷七　　球面曲线形

圏内线相当之理

每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰余曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】

如上图丙丁为正弧甲丁为正

丙辛为正切线乙辛为正割线甲

丙为正矢戊丁为余己壬为余

切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似

一全数为正余割线两率之中率

如丙丁弧之正为甲丁全数为

丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁

乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆

全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也

又全数为余正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙【与乙丙等故】与乙辛

一系凡四率全数为中率【或二或三】若第一率

为正即弃正而变余割线为中率全

数为第一省而一　若第一率为余则

变正割线为中率　若第一率为正割线则变余若第一率为余割线则变正　凡所变者皆以易全数而使为第一率

论曰凡有连比例之三率一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲【正】与二乙【全数】若三丁与四戊可也谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变余割线为第一率若第一率为余则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是防法】

假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率

二三○七三五　六十四度十九分之正割线

又假设三率如一二二三四一

二三四三二

第一率变取六十四度十九分之余四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减

后五位所存即第四率

二全数为正余两切线之中率

如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬

何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙【或乙己】己壬为三率连比例

系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一

三正与余若全数与余切线余与正若全数与正切线

如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁若乙丙与丙辛

系四率断比例若一二率为正与余变为全数与余切线若为余与正变为全数与正切线

四凡两弧之正割线与其余为互相视之线两弧之余割线与其正为互相视之线

如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正

割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙

辛丙癸弧之余为庚癸丙丁弧之

余为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁

与癸庚

论曰全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余【丁戊】之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等其边互相视【防何六卷十四】

五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论説中领其意义乃得耳

圆球原本内借论题　　古徳阿多西阿撰

一大圏皆与球同心　系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】

二两大圏于球上相交各为两平分

三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏【一卷十一十二如赤道黄道等】

四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角】

五大圏与本极距一象限九十度

六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极

七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分

八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理

九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣

分球上三角形之各类

球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也】

球上角形或三边等其角必等边之度若四之一【九十度】则角为直角过四之一则钝角不及则鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度】

或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为鋭角或各边不等各角亦不等