新法算书

角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异】若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙

对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正与乙丙边之正若丙角之正与乙丁边之正乙角与丁丙边同理

第二题

四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率

解曰甲乙全数线上方【数与线两类相当互解】丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲

乙线【一率】与壬线【四率】

论曰因防何【六卷十】甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等【六卷十七】则全数【甲乙】上方与二三率之矩内方【丁丙丙戊矩丙形或已形】若甲乙线【一率】与壬线【四率】

系若二三率为切线或割线或正即相乘以全数除之得第四率

第三题

球上斜角形全数上方形与两腰之正矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧【即角对边】之之矢其一为两腰较弧之矢

圗説乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半

圈戊丁乙为斜面半

圈两半圈各平分于

辛于寅作己辛己寅

已丙皆半径又作寅

辛弧即乙角之弧也其正为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正【即丁戊弧之正】次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬夘癸午各垂线末从酉向壬夘作酉子垂线

解曰乙辰为乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚为乙角【亦寅辛弧】之正其矢庚辛午夘为两腰较弧【壬丙】之正其

矢夘丙癸午为底【丁丙亦丙

癸】之正其矢午丙午

夘【酉子同】为两腰较弧【壬丙】之矢【夘丙】与底弧【丁丙或丙癸】

之矢【午丙】之较矢丁甲【壬甲同】为乙丁大腰之正题合全数【乙己丙己之类】上方形与乙辰偕壬甲两正矩内形若辛庚【乙角之矢】与两矢之较午夘

论曰丁甲酉寅己庚两形相似【酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两靣内即等】则寅己全数【辛己同】与庚己若乙丁弧之正丁甲【壬甲同】与酉甲或辛己【寅己同】与庚己若壬甲【丁甲同】与酉甲依防何【五卷十九】之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉【全与全两所截取之分比例等则两截取之余分必等】或辛己【全数】与壬甲【乙丁大腰之正】若辛庚【乙角之矢亦寅辛弧之矢】与壬酉【丁壬弧之矢】

又乙己辰壬子酉两直角形相似【壬夘乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为一形之角而甲壬夘为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与夘壬甲角必等】则乙己【全数】与乙辰【乙丙小腰之正】若壬酉【丁壬弧之矢】与子酉【两矢之较也午夘同】同乘理之法两理【前两比例】之第一率【一辛巳一乙己】相乘得全数上方形两理之第二率【一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰】相乘得两弧之正矩内形依合理【防何五卷】为若乙角之矢辛庚【一理之第三率】与两矢之较子酉【二理之第四率】

系斜角形全数与所得之第四率【第四率者如上题全数为一率两腰之正为二三率用三率法乗除所得则第四率也】若两腰间角之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢】

二系斜角形全数上方形与两角之两正矩内形【或全数与第四率】若两角内边之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢】

解用第四相易法设角易为边即两弧之

正矩内形与两角之正矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等

第四题

全数上方形为两腰【或两角】两正矩内形及两腰两余割线矩内形之中率

解曰乙【正】与丙【全数】若丙与丁【余割线】如有两正两全数两余割线各以类相乗其形依合理为比例等反之或用余矩内形

及正割线矩内形亦同

系若两正两余割线各以类相乘【或用余及正割线】以全数除之所得两数亦全数为中率

假如乙丙丁形【乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度】求其正其余割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则【五十四度五十分之正八一七四八五】

【十八度之正八四八○五】相乘得六九三二六三九一四○【五十四度五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八】相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率【或用余正割线理同】

如前系一弧之正全数与其余割线作三率连比例为第一理一弧之余割线全数与其正作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之余割线他弧之正矩内形为三率连比例形【如前法试之】若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之余割线他弧之正相乘以全除之所得为三率

三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内形亦全数上方形为中率【如图戊正切与己全若丙全与丁余切用合理如前】若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系

四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然

五系一弧之正切线他弧之正矩内形又一弧之余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中率【如上系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前】若三率形以全数除之比例亦然

六系一弧之余切线他弧之正矩内形一弧之正切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之余矩内形一弧之余切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之余切线他弧之余矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同

第五题

无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之余若底弧【受垂弧者为底】两分之余解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之余与丙乙弧之余若丁甲之余与甲乙弧之余又两边之割

线若两分之割线

论曰依前直角形第二题为全【一】与某边之余【二】若他边之余【三】与底之余今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余【一】与全【二】若丙丁【直角形之底即直角之对边】之余【三】与丙甲之余【四】以论甲丙乙形则甲乙【一】与全【二】若丙乙【三】与甲丙【四】此二理平之则甲丁与甲乙【两理之两一率】若丙丁与丙乙【两理之第三率】各弧之余成

割线其理皆同【为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线】第六题

垂弧旁两角之正若他两角之余

解甲丙丁甲丙乙两角之正若丁乙两角之余又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线

解依直角第三题甲丙丁角之正【一】与全【二】若丁角之余【三】与丙甲边【四】又曰全【一】与甲丙乙角之正【二】若丙甲边之余与乙角之余今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角【一】与甲丙乙角【一】若丁角【三】与乙角【三】又用三题十三系可算割线之比例

第七题

垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余

解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余与丙乙边之余

用直角第四题依前论试之

又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系及十三系试之

第八题

垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正又两弧之正若两角之余割线

解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试之

第九题

垂弧分底为二两分之正若垂弧相对两角之切线又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角之余切线

右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘

斜角形相求约法

凡所设为异类【或边与角或角与边】用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限

设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角

解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等

若三边各不等求某角有三法

其一以本角旁两腰之正相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之或相加或相减【解见下文】得数以全乘之以初得数除之得某角之余

解凡角之对边大以象限而角之两腰同类【同类者或皆大于象限或皆小】则两数相加【所求之角为钝】角若异类则两数相减其次得数为实【大而受减者为实】则角鋭次得数为法【小而以减者为法】则角钝　凡角之

对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角鋭若异类则两数相加角为鋭角

其二角两腰之【余割】线相乗以全除之得初数又两腰之【余】相乗以全除之得次数以次数与角对边之【余】或加或减如前法以所得数乗第一得数以全除之【得角之余】三法用前斜角三题全圗解为全数与一腰之正若他腰之正与初得数又初得数与两矢之较【两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数】若全数与角之矢

球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理【诸问见本篇八卷】

上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画圗以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本防法然方之前法则踈而不宻故近来厯家舍置不用也

古法用数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径防焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角　第一法两腰【戊丙戊丁】正【丙戊为二七五○八戊丁】

【为二一○四七】相乘以全除之初得五七八九又余相乘以全除之【丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○】次得九三九八八丙丁边余为九四二六四比次得数为大【因两腰同类其三为小】即戊角为鋭其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之余查表得八十七度十六分　二法两腰余割线【丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三】相乗以全除之初得一七一七二二九其余如上法次得九三九八八与第三边余相减得较以较乗初得数以全除之得如前此法更便可免除法　三法两腰正如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实

【得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九】

【十】

【三】

加五○以初数除之

钦定四库全书

新法算书卷九十四　　　明　徐光启等　撰测量全义卷八　解正球上大圏相交之度分

正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处午圏时圏等】三者相交相距是生多种三角形

如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极【极者球面上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心】

【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙

甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种先有三可求其余

一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分求其余

如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度

乙甲【过极圏之一弧】此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三

一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正【三九九一六】若乙丙弧之正【五○○○○】与乙甲弧之正【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度

二求正球同升之度甲丙【若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两防名虽不同其理无二详见左方】法为全数与丙角之余【九一】

【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒

三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及】

【本表】

用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度

附同升解

黄赤二道交于春秋二分必相截爲两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一

其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之必等为九十度也

其二大圏独过一道之两极【如过北极则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之必不等【盖两道与过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也】而此两道之两【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】

如过极圏截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分遡夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某防之正升度

如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度

若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某防之正升度

如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初从春分起与赤道同升之度

若从春分遡冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某防之正升度

如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度

其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两数名欹球同升之度

如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防

若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升爲此球之降则某防为彼球之斜同升即此球之斜同入

如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度

巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差

如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差

已上所説用浑球解之则易明

二题有黄道经纬度求两道交角之度

如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用

本书七卷十设因设数难定不须详别

三题设两道交角之度及黄道某防之纬度而求其防之黄道经度

如丙为交角丁甲其对边之纬求丙甲赤道之【见七卷三设】爲全与丙角之余切线

若甲丁之切线与甲丙边之正【此即赤道经度凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之为全与丙角之余割线若甲丁边之正与丙丁边之正【丙丁为黄道经即两圏上之两防丁甲恒相对同升于地平同过于子午等圏】求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正与丁角之正【三角形各形有十设】

【各设三求今约取其必用者解之】

四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之】求甲丁【黄道上某防之纬度法见七卷第二设】

解欹球上大圏相交之度分

正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大

一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬若某防或升或降在地平求黄道与地平交角之度

如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁

丙庚为黄道己为二道之交丙爲黄道

地平之交从赤道极乙防过丙至赤道

上寅防作乙丙寅即丙寅定黄道

丙防之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角　用前正球一题第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲极出地之髙若干度乙丙爲寅丙纬之余度用第九设第二求得之【此问日食算中所必用故详解之仍须作立成表】

如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与

黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒

次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九】若甲乙边之正【如顺天府北极出地三十九度五十分其正六四○五六】与乙角

之正【五四三六七】查得三十二度五十六分

先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度

若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防即黄道极必在子午圏内或巳爲春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加爲秋交在西亦减【用浑球明之】

二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】

作子甲乙为地平第一经圏乙防即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某防距等圏之纬度甲乙丙角【庚戊也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之

正与丙乙边之正

假如顺天府赤道高五十度五分乙角也

其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正【三九九○二】算得乙丙边之正【五一九六一】查得三十一度一十九分　因乙防为正卯酉癸爲北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己也】爲赤道入地之度如上图

三题有北极出地度及黄道之某防求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】