乐律全书

约率律度相求第二

上古造律其次听律其后筭律虞书周礼有听律之官无筭律之法典同所谓数度为乐器言之至于律同合声阳左旋而隂右转观其次序不以筭法论矣筭法之起殆因律管有长短此筭家因律以命术非律命于筭也犹之方田焉田生五谷岂知我为圭箕弧环律和五声岂知我为正变倍半皆筭家命之尔故曰古之为钟律者以耳齐其声后人不能始假数以正其度雅乐之不可兴声音之学不传也古者自小学已教之六乐九数今耄且罔知岂惟筭律哉夫率者筭经假如之法也若圆径七周二十二穿四壤五坚三勾三股四五之类是也古称黄钟九寸其数八十一此亦筭率耳其实黄钟即一尺也以一尺而三分分之则有不尽之数故设假如之法假如黄钟长九寸则林钟长六寸假如林钟长六寸则太簇长八寸太簇以下诸律放此筭家欲明三分损益上下相生故设此率虽命之曰黄钟长九寸围九分积八百一十分而非眞数特筭率如此耳京房刘歆之徒皆喜穿凿傅防餙辞巧説迷惑千载而先王古乐愈湮灭难复矣茍有志复古者则汉志之失所当先辨也

律度相求诀曰

从微至着　用九乘除　纵横律度　契合图书若置纵黍之律以求横纵之度则用九归若置横黍之度以求纵黍之律则用九因反复相求各得纵横二黍律度盖纵黍之律契合雒书故以九忽为丝九丝为毫九毫为厘九厘为分九分为寸九寸为尺从防至着皆用九焉其横黍之度契合河图则以十忽为丝十丝为毫十毫为厘十厘为分十分为寸十寸为尺从微至着皆用十焉然古法颇疎得其大略而已非精密之筭术故谓之约率也

黄钟纵黍律长九寸

黄钟横黍度长十寸

黄钟九寸毎寸九分即纵黍八十一分也以为九十横黍之广误矣置九寸在位用九归一遍进位定作十寸即横黍一百分而为度母古谓度本起于黄钟之长是也谓加一寸非也

大吕纵黍律长八寸三分七厘六毫

大吕纵黍度长九寸三分六厘四毫四丝二忽

置八寸三分七厘六毫在位先从末位毫上筭起用九归一遍得六毫六丝六忽奇却从次位厘上筭起再九归一遍得八厘五毫一丝八忽奇又从次位分上筭起再九归一遍得四分二厘七毫九丝八忽奇又从首位寸上筭起再九归一遍得九寸三分六厘四毫四丝二忽奇余律皆放此

太蔟纵黍律长八寸

太蔟横黍度长八寸八分八厘八毫八丝八忽

夹钟纵黍律长七寸四分三厘三毫三丝

夹钟横黍度长八寸三分二厘三毫九丝三忽

姑洗纵黍律长七寸一分

姑洗横黍度长七寸九分○一毫二丝三忽

仲吕纵黍律长六寸五分八厘三毫四丝六忽

仲吕横黍度长七寸三分九厘九毫○五忽

防賔纵黍律长六寸二分八厘

防賔横黍度长七寸○二厘三毫三丝一忽

林钟纵黍律长六寸

林钟横黍度长六寸六分六厘六毫六丝六忽

夷则纵黍律长五寸五分五厘一毫

夷则横黍度长六寸二分四厘二毫九丝五忽

南吕纵黍律长五寸三分

南吕横黍度长五寸九分二厘五毫九丝二忽

无射纵黍律长四寸八分八厘四毫八丝

无射横黍度长五寸五分四厘九毫二丝八忽

应钟纵黍律长四寸六分六厘

应钟横黍律长五寸二分六厘七毫四丝八忽

此章横黍之度即史记生钟分术也还原则依后术九因筭之不满忽者收作一忽即是原数其纵黍之律与蔡氏律吕新书所载全律分寸正同但古法置一而九三之以为法十一三之以为实得十七万七千一百四十七而黄钟大数立焉然后下生者倍其实三其法上生者四其实三其法实如法而一以生十二律其布筭烦琐不如新法简防易晓所谓殊途而同归也古法世多知之兹不具述其生钟分筭法已见二卷

密率律度相求第三

朱熹曰琴之有徽所以分五声之位而配以当位之律以待抑按而取声而其布徽之法则当随其声数之多少律管之长短而三分损益上下相生以定其位今人殊不知此其布徽也但以四折取中为法盖亦下俚立成之小数虽于声律之应若简切而易知但于自然之法象懵不知其所自来则恐不免有未尽耳臣尝宗朱熹之説依古三分损益之法以求琴之律位见律位与琴音不相协而疑之昼夜思索穷究此理一旦豁然有悟始知古四种律皆近似之音耳此乃二千年间言律学者之所未觉惟琴家安徽其法四折去一三折去一俗工口传莫知从来疑必古人遗法如此特未记载于文字耳礼失求诸野不可以其下俚而忽之也传曰今五音之无不应者其分审也宫征商羽角各处其处音皆调均不可以相违此所以不乱也夫音生于数者也数眞则音无不合矣若音或有不合是数之未眞也逹音数之理者变而通之不可执于一也是故不用三分损益之法创立新法置一尺为实以密率除之凡十二遍所求律吕眞数比古四种术尤简防而精密数与琴音互相校正最为防合惟博学明礼之儒知音善筭之士详味此术必有取焉者矣岂庸俗所能识哉

黄钟横黍度长十寸

黄钟纵黍律长九寸

十寸者一尺也史记所谓子一分汉志所谓象黄钟之一是也置十寸在位用九因一遍退位定作九寸即纵黍八十一分也是为律本古云黄钟九寸因而九之九九八十一故黄钟之数立焉此之谓也夫三分损益之法既非则九分为寸之説亦误今复着其术者何也为求纵黍之律故也虽然只用横黍之度亦足矣是故先之

大吕横黍度长九寸四分三厘八毫七丝四忽

大吕纵黍律长八寸四分四厘○六丝七忽

置九寸四分三厘八毫七丝四忽为实初九因至寸位住得八寸又九因至分位住得四分又九因至厘位住得四厘又九因至毫位住得○毫又九因至丝位住得六丝又九因至忽位住得七忽凡九因六遍共得八寸四分四厘○六丝七忽为大吕余律皆放此

太蔟横黍度长八寸九分○八毫九丝八忽

太蔟纵黍律长八寸○一厘四毫一丝六忽

夹钟横黍度长八寸四分○八毫九丝六忽

夹钟纵黍律长七寸五分一厘○一丝○

姑洗横黍度长七寸九分三厘七毫○○

姑洗纵黍律长七寸二分二厘五毫四丝二忽

仲吕横黍度长七寸四分九厘一毫五丝三忽

仲吕纵黍律长六寸六分六厘一毫一丝六忽

防賔横黍度长七寸○七厘一毫○六忽

防賔纵黍律长六寸三分二厘四毫二丝八忽

林钟横黍度长六寸六分七厘四毫一丝九忽

林钟纵黍律长六寸○○四毫八丝四忽

夷则横黍度长六寸二分九厘九毫六丝

夷则纵黍律长五寸六分○二毫一丝四忽

南吕横黍度长五寸九分四厘六毫○三忽

南吕纵黍律长五寸三分一厘四毫一丝六忽

无射横黍度长五寸六分一厘二毫三丝一忽

无射纵黍律长五寸○四厘一毫二丝一忽

应钟横黍度长五寸二分九厘七毫三丝一忽

应钟纵黍律长四寸六分八厘一毫五丝一忽

右縦黍十二律若要还原依前术用九归即得横黍度数

密率求方积第四

自乗为平方再乗为立方此筭家所共晓殊不知筭律亦然也平方谓之羃立方谓之积夫羃之名本疏布手巾也古人用覆饮食之器今世所谓举羃酌酒是也羃形方正纵横有纹筭术自乗其数必方纵横正等有类乎羃故取名谓之羃非眞羃也夫积者如筭仓窖中五谷积实耳借立方术以求之者立方所得即是积实之数故也凡筭脩短度数则以十忽为丝十丝为毫十毫为厘十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈平方之术与此不同乃以百忽为丝百丝为毫百毫为厘百厘为分百分为寸百寸为尺百尺为丈盖平方者形如方砖东西南北四面皆方假如每面皆方十寸则中积百寸矣是为方一尺也故曰百寸为尺立方之术则又不然乃以千忽为丝千丝为毫千毫为厘千厘为分千分为寸千寸为尺千尺为丈盖立方者形如方台上下左右前后六面皆方假如毎面皆方十尺则中积千尺矣是为方一丈也故曰千尺为丈平圆立圆其积生于平方立方之术方术未解而欲测圆难矣律孔本圆今欲求圆先求方者数乃无形之物方分实诸圆器之中则无不随其圆若作圆分则有空隙而不实矣自宋范镇创以圆分为积此乃臆説非正理也圆分之法在理必无而纵黍之法于理则有假如横黍平方每寸百分纵黍则毎寸惟八十一分横黍立方每寸千分纵黍则每寸惟七百二十九分葢以九为法也求之亦各有术然约十而为九布筭烦无益于事故自此至终篇专以横黍言之不复更求纵黍先儒亦云凡律径围之分以十为法者天地之全数也以九为法者不过因三分损益而立耳则圆分之説不能通于围径亦可见矣

求十二律积实新法

置黄钟横黍度长十寸自乘得一百寸倍之得二百寸为实开平方法除之得一十四寸一四二一三五六二三七三○九五○四进一位命作立方积一百四十一寸四百二十一分三百五十六厘二百三十七毫三百○九丝五百○四忽为实别将律数十二自乗得一百四十四为法除之得黄钟积实

黄钟积实九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十七丝九百八十二忽

置黄钟积实在位以十兆乘之为实以十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八为法除之得大吕积实余律皆放此

大吕积实八百七十四分九百四十五厘一百七十三毫五百三十八丝一百○六忽

太蔟积实七百七十九分四百八十七厘五百三十三毫五百四十八丝一百七十五忽

夹钟积实六百九十四分四百四十四厘四百四十四毫四百四十四丝四百四十四忽

姑洗积实六百一十八分六百七十九厘六百六十五毫三百七十五丝二百三十五忽

仲吕积实五百五十一分一百八十厘○九百二十毫○八百二十二丝二百九十一忽

防賔积实四百九十一分○四十六厘三百七十五毫八百二十三丝九百九十一忽

林钟积实四百三十七分四百七十二厘五百八十六毫七百六十九丝○五十三忽

夷则积实三百八十九分七百四十三厘七百六十六毫七百七十四丝○八十七忽

南吕积实三百四十七分二百二十二厘二百二十二毫二百二十二丝二百二十二忽

无射积实三百○九分三百三十九厘八百三十二毫六百八十七丝六百一十七忽

应钟积实二百七十五分五百九十厘○四百六十毫○四百一十一丝一百四十五忽

密率求圆羃第五

方者象地圆者法天方圆相求自然眞率其数出于河图雒书而非人所为也河以通干其数十雒以流坤其数九乾坤交泰互藏其宅故九为地而十为天天包地外地居天内天有四方毎方十寸其周为四尺则圆之周率也地有四方毎方九寸其为一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二微有奇则圆之径率也周公嘉量之制测圆之术葢已具焉所谓方尺而圆其外得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤有奇是名方圆纵率其测圆周径相求与半九为乘除积径相求与倍九为乘除半九者四寸五分也倍九者一尺八寸也黄钟倍半自然之理律度量衡所由生也因而九之即得前率九归还元复得今率此二法相通也推理而论圆中必容方焉方无形圆有形其方居圆十分之九是故测圆之术必先求其容方而后知其周径径求周用求勾股之术得其一面之方四因其方而九除之即圆周也周求径九因其圆而四除之用勾股求之术得其两角之斜即圆径也此古法之妙欤战国已来数学失传至汉张苍掇拾民间猥浅之法用补黄帝九章后世宗之以为数学根本张丘建夏侯阳孙子五曹复推演之其测方圆乃有直五斜七围三径一之説筭家指此名为古率然实非古法也夫直五斜七斜实有余围三径一径实不足浅陋之士岂能察哉刘歆王蕃祖冲之辈盖尝订正之矣其测圆或以为径七周二十二或以为径四十五周一百四十二或以为径一百一十三周三百五十五虽颇密于径一围三要之皆未得自然之理也祖氏制率初意盖谓圆积一亿分则其径一百一十三尺乃一万一千三百分周三百五十五尺乃三万五千五百分试以其法筭之半径半周相乘得积一亿而强二十八万七千五百分盖周径之分太多也号为密率密安在哉天地自然真率及周公方圆总率筭律之士诚不可忽今详解之其法如左

天地自然真率诀曰

容方九寸　以象雒书　天地自然　岂不妙欤试騐之法用纸大小二幅其方中矩用意比对四面相同小者每面皆方九寸大者皆方一尺三寸置于平处小者在大者上中心定针于小者四角外运规仅容四角丝毫不可多也片纸作寸移量圆周针尖防识恰好四十整寸欲求圆之径数即是方之斜勾股求术横方九寸为勾自乘得八十一寸纵方九寸为股自乘得八十一寸并之得一百六十二寸为实开平方法除之得一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防有奇即圆周四尺之径数也是故以四尺为周率以一尺二寸七分二厘七毫九丝二忽二防有奇为径率凡平圆以周求径置周若干为实先以径率乘之后以周率除之以径求周置径若干为实先自相乘又以十寸乘之得数后以径率除之以积求径置积若干为实先以径率乘毕而以十寸除之得数然得开方以周求积置周若干先自相乘进一位为实以径率乘毕后以周率除二遍以积求周置积若干为实先以周率乘二遍以径率除毕退一位然后开方诀曰圆周四十容方九勾股求数可知遂以此为求径率求周求积亦如之也

周公方圆总率诀曰

容方十寸　取法河图　圣人制作　不亦善乎试騐之法同上其纸小者方一尺大者方一尺四寸五分圆周四尺四寸五分四厘四毫四丝四忽四防四纤九分纤之四其内容方一尺勾股皆十寸各自乘并之得二百寸为实开平方法除之得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤亿分纤之二千三百七十三万○九百五十有奇是为方圆总率凡测圆径求周者以总率乘径进一位如四十五而一周求径者以四十五乘周退一位如总率而一周径求积者如前求得周径半周半径相乘或径自乘以总率乘之如十八而一积求周径者以十八乘积如总率而一开方得径四归径为法除积得周夫四十五乃九寸折半之数十八乃黄钟加倍之律而与方圆总率反复乘除故能尽幽防之理趣极古今之妙者矣已上诸条乃防法也律吕精义所载乃正法也

求十二律面羃新法

置黄钟积实九百八十二分○九十二厘七百五十一毫六百四十七丝九百八十二忽为实以林钟横黍度长一百分为法除之得黄钟面羃

黄钟面羃九分八十二厘○九毫二十七丝五十一忽置黄钟面羃在位以十亿乗之为实以十亿○五千九百四十六万三千○九十四为法除之得大吕面羃余律皆放此

大吕面羃九分二十六厘九十七毫二十一丝二十忽太蔟面羃八分七十四厘九十四毫五十一丝七十三忽夹钟面羃八分五十二厘八十三毫八十二丝七十四忽姑洗面羃七分七十九厘四十八毫七十五丝三十三忽仲吕面羃七分五十五厘七十三毫八十二丝五十九忽防賔面羃六分九十四厘四十四毫四十四丝四十四忽林钟面羃六分五十五厘四十六毫八十二丝七十二忽夷则面羃六分一十八厘六十七毫九十六丝六十五忽南吕面羃五分八十三厘九十五毫五十八丝四十三忽无射面羃五分五十一厘一十八毫○九丝二十忽应钟面羃五分二十厘○二十四毫五十五丝一十二忽

密率求周径第六

自冬官一篇亡造律制度不见于经而其支流余裔则子史传记尚或有之然古文深奥先儒不晓其义往往臆见增损其语遂使本法支离后之学者苟非聪頴神解岂能自悟也哉试畧辨其一二古云黄钟九寸因而九之九九八十一故黄钟之数立焉盖指其纵黍之分而言也律长九寸每寸九分故八十一分而刘歆以为九寸自乘得八十一故黄钟之实八百一十分夫八十一者是也八百一十者非也此以臆见増其文者也古云黄钟空围九分其长之一盖析其管之长作为九叚取其一叚之数为其内周而郑康成以为凡律空围九分夫黄钟空围九分其长之一是也凡律空围九分非也此以臆见削其文者也蔡邕铜龠铭曰黄钟九寸空围九分此説当矣其月令章句曰律虽有大小围径无増减又曰然不如耳决之明此乃自知其法之谬亦不尽信之辞也夫十二律管内外各有周径孔中面羃要之亦各不同而先儒未有定论西晋孟康注汉志曰黄钟围九分林钟围六分太蔟围八分此説近是而隋志非之唐及五代赵宋之初诸议律者悉从隋志之説更无异议惟胡瑗造乐审其音不协乃更林钟已下诸律围径各有等差蔡元定却讥之以为律有长短之异围径则无不同呜呼先儒之论参差如此臣初未详何者为是既而命工依彼围径皆同之説制管吹之以审其音林钟当与黄钟太蔟相和而不相和南吕当与太蔟姑洗相和亦不相和黄钟正半二音全不相应而甚疑焉或至终夜不寝以思其故乆而悟曰律管长者其气狭而声高律管短者其气寛而声下是以黄钟折半之管不能复与黄钟相应而下黄钟一律也他律亦然大扺正半相较半律虽清而反下正律虽浊而反高岂不以其管短气寛也哉葢由围径不得自然眞理故耳夫律管脩短既各不同则其空围亦当有异推原其理总而言之不过九分其长之一而为空围之数若分别而言之纵黍黄钟长八十一分者则当空围九分其横黍黄钟长百寸者则当空围一寸一分一厘一毫一丝一忽周既有异径亦随之面羃积实俱各不同先儒昧于此理一防惟以径三围九求之其疎失亦甚矣筭律之术拟诸环田周有内周外周径有内径外径古所谓空围者特指其内周耳非面羃九分也创为九方分之説者后世之穿凿也且夫筭术之中测圆为难周径羃积各有眞理存乎其间苟不得其自然之理而欲求其精防之数岂可得哉新法九分黄钟之长以其一为其内周用求勾股之术得其外周二十分黄钟之长以其一为其外径用求勾股之术得其内径葢圆中取方方中取圆反复相求则内外周径自然之数得矣非知天地之造化者其孰能与于此乎韩邦奇曰器与造化通唯律而已黄钟既定凡天地间之器虽衣服盘盂皆造化之用形而上形而下本一物也明律义凡天下之理皆可通不但为作乐而已太极之理亦不外此周径相求正法

置所求律积实全数为实以其长若干为法除之即得面羃平圆积置所得平圆积以黄钟倍律一尺八寸乘之以测圆总率一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤有奇为法除之得数为实开平方法除之即得内径仍置面羃平圆积四因为实以所得内径为法除之即得内周

以内径自相乘得数二因为实开平方法除之即得外径

以内周自相乘得数二因为实开平方法除之即得外周

周径相求防法

置所求律内周为实以黄钟半律四寸五分乘之以测圆总率一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤有奇为法除之即得内径

置所求律外径为实以测圆总率一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五防六纤有奇乘之以黄钟半律四寸五分为法除之即得外周

已上二法极为简防即勾股求求勾股之术得天地方圆自然之理故殊途而同归筭律之妙至此极矣但丝忽已下有数而无形非目力所察故畧之不载

十二律管长短广狭内外周径眞数

黄钟长十寸

内周一寸一分一厘一毫内径三分五厘三毫外周一寸五分七厘一毫　外径五分

大吕长九寸四分三厘八毫

内周一寸○七厘九毫　　内径三分四厘三毫外周一寸五分二厘六毫　外径四分八厘五毫

太蔟长八寸九分○八毫

内周一寸○四厘八毫　　内径三分三厘三毫外周一寸四分八厘三毫　外径四分七厘一毫

夹钟长八寸四分○八毫

内周一寸○一厘八毫　　内径三分二厘四毫外周一寸四分四厘　　　外径四分五厘八毫

姑洗长七寸九分三厘七毫

内周九分八厘九毫　　　内径三分一厘四毫外周一寸三分九厘九毫　外径四分四厘五毫

仲吕长七寸四分九厘一毫

内径九分六厘一毫　　　内径三分○六毫外周一寸三分六厘　　　外径四分三厘六毫

防賔长寸寸○七厘一毫

内径九分三厘四毫　　　内径二分九厘七毫外周一寸三分二厘一毫　外径四分二厘

林钟长六寸六分七厘四毫

内周九分○七厘　　　　内径二分八厘八毫外周一寸二分八厘三毫　外径四分○八毫

夷则长六寸二分九厘九毫

内周八分八厘一毫　　　内径二分八厘

外周一寸二分四厘七毫　外径三分九厘六毫

南吕长五寸九分四厘六毫

内周八分五厘六毫　　　内径二分七厘二毫外周一寸二分一厘一毫　外径三分八厘五毫

无射长五寸六分一厘二毫

内周八分三厘二毫　　　内径二分六厘四毫外周一寸一分七厘七毫　外径三分七厘四毫

应钟长五寸二分九厘七毫

内周八分○八毫　　　　内径二分五厘七毫外周一寸一分四厘三毫　外径三分六厘三毫若遣良工造律管者惟据此篇度数足矣前项律度方圆积防则皆不必讨论恐其文烦难省易惑亦非工匠所当知也若夫大儒君子留心律学推穷理数须将前项毎叚筭术次第钻研一一亲手筭过方得其趣乃至一句一字不可遗也

造律第七

古人之律凡有三品上品以玉中品以铜下品以竹王子年拾遗记曰黄帝吹玉律正璇衡晋志曰黄帝作律以玉为琯舜时有玉律曰昭华之琯汉章帝时泠道舜祠下得白玉琯晋武帝时汲郡魏防王冡中得古玉律荀朂依姑洗玉律小吕玉律以造尺隋志引梁武帝钟律纬曰从上相承有古玉律八枚惟夹钟有昔题刻刘贶曰书传言舜有白玉琯汉时舜祠下实得之晋汲冡亦获玉律则古用玉律明矣周礼大司乐六律六同郑氏注曰此十二者以铜为管又大师执铜律以听军声典同掌六律六同注曰故书同作铜律述气同助阳皆以铜为之大戴礼保传篇太子生而泣太师吹铜曰声中某律月令注曰律候气之管以铜为之汉制亦用铜故律志曰铜为物之至精不为燥湿寒暑变其节不为风雨暴露改其形介然有常有似于士君子之行是以用铜也王廷相曰上古断竹为管后世易以铜玉自今论之玉不可以多得嶰谷之竹出自昆仑亦非人力可以卒致中国之竹其空围之度岂能恰好悉与律合不如范铜易施其巧今按上古穴居野处后世圣人易之以宫室上古草衣披发后世圣人易之以冠裳上古结绳而治后世圣人易之以书契上古断竹为律后世圣人易之以铜玉此四者皆后世圣人之功也虽使上古之人复起亦无以易之也蒉桴土鼓之乐不如钟磬琴瑟汚樽抔饮之礼不如笾豆簠簋象辂起于推丸龙舟生于漂叶其始未必可取其后未必可弃也是故伶伦之律以竹此上古初制耳至五帝时乃以玉为琯三代又以铜为之则玉与铜其用一也务令管内通匀两端若一故能合规应准而中声所自出焉后学失传仍复用竹过矣窃疑古人用竹亦必修治而后成器凡竹两端匀者盖鲜周径羃积岂能尽合且律吕丝忽所争若非良工剖削之际安能适中而近代俗儒乃舍铜玉专尚于竹又禁良工不容修理虽尽嶰谷之产求一天然合乎规度者必不可得使伶伦复生亦无如之何矣古乐一亡不复作者盖以此乎宜准古法制律以铜精妙简易胜如用竹今拟新法于后