五礼通考

之长损益相生篇自古论律吕者必先考黄钟之长黄钟之长定而十一律吕皆由此定律吕新书言黄钟九寸寸作十分为九十分又言黄钟九寸寸作九分为八十一分夫九十分乃黄钟之正数而八十一分原于管子音五声度分史记淮南子遂以为管音度分新书虽兼取之而九寸之说实不可易但尺度不明则执九寸之说亦不能无失故定律吕之长必以古尺通之今尺比例推求然后真数可得以古尺言之黄钟九寸三分损益得六寸为林钟林钟三分益一得八寸为太蔟太蔟三分损一得五寸三分三厘三毫三丝三忽三防三纎有竒为南吕南吕三分益一得七寸一分一厘一毫一丝一忽一防一纎有竒为姑洗姑洗三分损一得四寸七分四厘零七丝四忽零七纎有竒为应钟应钟三分益一得六寸三分二厘零九丝八忽七防六纎有竒为蕤宾蕤宾三分益一得八寸四分二厘七毫九丝八忽三防五纎有竒为大吕大吕三分损一得五寸六分一厘八毫六丝五忽五防六纎有竒为夷则夷则三分益一得七寸四分九厘一毫五丝四忽零九纎有竒为夹钟夹钟三分损一得四寸九分九厘四毫三丝六忽零六纎有竒为无射无射三分益一得六寸六分五厘九毫一丝四忽七防四纎有竒为仲吕仲吕三分益一得八寸八分七厘八毫八丝六忽三防三纎有竒比之黄钟九寸不足一分二厘一毫一丝三忽六防六纎有竒以今尺言之黄钟之七寸二分九厘损益相生则林钟得四寸八分六厘太蔟得六寸四分八厘南吕得四寸三分二厘姑洗得五寸七分六厘应钟得三寸八分四厘蕤宾得五寸一分二厘大吕得六寸八分二厘六毫六丝六忽六防六纎有竒夷则得四寸五分五厘一毫一丝一忽一防一纎有竒夹钟得六寸零六厘八毫一丝四忽八防一纎有竒无射得四寸零四厘五毫四丝三忽二防有竒仲吕得五寸三分九厘三毫九丝零九防四纎有竒至仲吕上生比黄钟原数不足九厘八豪一丝二忽零六纎有竒夫黄钟古尺之度所生律吕其分寸如彼今尺之度所生律吕其分寸如此古尺之度为数多今尺之度为数少数多者横黍之所生数少者纵黍之所累数之多少虽异而管之长短则同今尺之七寸二分九厘正古尺之九寸也至于仲吕不能还生黄钟乃数之使然盖十二律吕上下相生损之渐少而益之不足故仲吕上生之变黄钟虽不及黄钟一分上下而其数仍与黄钟相近不得自成一律其声亦与黄钟相近不能自成一音细绎其理下生而损上生而益损益之间数有消长亦如气盈朔虚之有闰分此古人所以以律吕配之十二月也

定律吕之积损益相生篇制律吕之法以积实容黍为要者盖因管之长短广狭依此以正而声之洪纎髙下赖此以生是以必得黄钟之真积然后中声可定由是三分损益以为十一律吕而积无不合声无不谐但古今尺度不同则纵长周径因之而积实之数亦异必考核古今积数之异而验以容受之同然后律吕之真分可辨也黄钟积实古尺之八百一十分与今尺之四百三十分四百六十七厘二百一十毫为数不同而体之积分龠之容黍【千二百粒】实未尝异故十二律吕之积损益相生皆本于此黄钟古尺之积八百一十分三分损益得五百四十分为林钟林钟三分益一得七百二十分为太蔟太蔟三分损一得四百八十分为南吕南吕三分益一得六百四十分为姑洗姑洗三分损一得四百二十六分六百六十六厘六百六十六毫有竒为应钟应钟三分益一得五百六十八分八百八十八厘八百八十八毫有竒为蕤宾蕤宾三分益一得七百五十八分五百一十八厘五百一十八毫有竒为大吕大吕三分损一得五百零五分六百七十九厘零一十二毫有竒为夷则夷则三分益一得六百七十四分二百三十八厘六百八十三毫有竒为夹钟夹钟三分损一得四百四十九分四百九十二厘四百五十五毫有竒为无射无射三分益一得五百九十九分三百二十三厘二百七十三毫有竒为仲吕若夫今尺之积黄钟之四百三十分四百六十七厘二百一十毫三分损益则林钟得二百八十六分九百七十八厘一百四十毫太蔟得三百八十二分六百三十七厘五百二十毫南吕得二百五十五分零九十一厘六百八十毫姑洗得三百四十分一百二十二厘二百四十毫应钟得二百二十六分七百四十八厘一百六十毫蕤宾得三百零二分三百三十厘八百八十毫大吕得四百零三分一百零七厘八百四十毫夷则得二百六十八分七百三十八厘五百六十毫夹钟得三百五十八分三百一十八厘零八十毫无射得二百三十八分八百七十八厘七百二十毫仲吕得三百一十八分五百零四厘九百六十毫夫制管取声皆由于积实则十一律吕之积宜与黄钟并详而言律者多未及焉盖因其所定律吕之长与面幂相乗积数有未合耳十二律吕之度太蔟以上得全寸而无竒零故未显同异南吕以下积差渐多南吕古尺之长五寸三分三厘三毫三丝三忽有竒与面幂九方分相乗得积四百八十分如以南吕为五寸三分与面幂九方分相乗止得积四百七十七分则少三分至无射四寸九分九厘四毫三丝六忽与面幂相乗得四百四十九分四百九十二厘有竒如以无射为四寸八分八厘四毫八丝与面幂相乗止得积四百三十九分六百三十二厘则少九分八百六十厘凡制乐之法皆以积数倍之或加四倍或加八倍或加至十数倍及其用也若积少一分四倍则差四分八倍则差八分积少九分四倍则差三十六分八倍则差七十二分夫声音之发所辨正在中容实积多寡毫厘之际而可因其竒零遂畧之耶至于黄钟之龠积八百一十分容千二百黍盖所积之分方分也所容之黍圆粒也以方分度圆粒则必有空隙故合八百一十分之方适容千二百黍之圆乃为虚实相应之凖则焉然十二律吕之管皆生于黄钟而论者亦止及黄钟之容其他俱未载夫积分犹恐虚数之难凭而容粒则有实黍之可证故容黍之分亦当用三分损益以核之黄钟容千二百黍三分损一得八百黍为林钟林钟三分益一得一千零六十七黍为太簇太簇三分损益得七百一十一黍为南吕南吕三分益一得九百四十八黍为姑洗姑洗三分损一得六百三十二黍为应钟应钟三分益一得八百四十三黍为蕤宾蕤宾三分益一得一千一百二十四黍为大吕大吕三分损一得七百四十九黍为夷则夷则三分益一得九百九十九黍为夹钟夹钟三分损一得六百六十六黍为无射无射三分益一得八百八十八黍为仲吕仲吕三分益一得一千一百八十四黍【凡余分过大半者进一黍不及半者不计】夫体积虽有古今尺度之殊而容黍则一是以假黍以证分推分以定律以千二百黍实黄钟之龠不亏不溢则其他律吕之容受亦皆无一黍之差也是知古人制律有积分以验实体有容受以验积分所以互相比较务得律吕之真度故并着其同异俾观者得取衷焉

蕙田案以上律吕之长律吕之积三分损益之数亦蕤宾重上生之防法

【考律绪言呉氏鼎曰言律者皆曰三分损益矣何以三分何以损益未有明其所由然者惟明葛中选泰律谓一位具三合三参天也三损一存二两地也三损一矣存二之中仍具三焉递而生之皆三也存二之中各分二焉倍而行之皆两也是以一位之中凖三是三其两也凖两是两其三也三者递生也倍者自生也案声音之理不过一律而一吕律吕之辨不过一隂而一阳隂阳之数不过一参而一两参者三分所从出也两者损益所从出也凡声属巨若雷霆细如蚊蚋其间髙下清浊至于无算及其此声与彼声而为用也总不出乎相生相应之理相生者一母一子母一而子三相应者一全一半全一而半二由三而九而二十七而八十一其数不同同归于三由二而四而八而十六其数不同同归于二一三一二而律之变化尽矣则三分损益而律之变化尽矣彼有不用三分损益之法者于音理曷有当耶李氏光地曰律之以损益相生何也曰凡象数皆起于隂阳象者方圆相变者也数者竒耦相生者也故方之内圆必得外圆之半皆以积实言其外圆必得内圆之倍圆之内方亦必得外方之半其外方亦必得内方之倍律之上生为下生之倍下生为上生之半其理一也盖方圆函盖竒耦乗负隂阳变化天地生生之道也苟其象之所生同数之所起同则上下无不应也外内无不合也倍半无不和也故司马迁律书谓之同类今西人算学谓之比例孔子曰同声相应同气相求此之谓也夫金石之铿訇与丝之繁细物性迥然殊矣而各以其性为声律则无不相应者岂非同类比例之说乎其相生必以隔八何也曰比位者隂阳相合之情也隔七者隂阳相对之义也隔八者隂避阳位偏正之分尊卑之等也夫然后理顺情和而相应矣】

辨不用三分损益

【明郑世子朱载堉着律吕精义剏为新法不用三分损益不拘隔八相生専恃开方乗除自黄钟倍律转生十二次仍得黄钟正律正律生半律或左旋或右旋或隔六或逐位往而复返循环无端】呉氏鼎曰新书载宋胡瑗病仲吕反生不及黄钟乃迁就林钟以下围径以就黄钟清声何承天刘焯欲増林钟以下十一律之分使至仲吕反生黄钟蔡氏论之以为惟黄钟一律成律他十一律皆不成律今载堉之法损十一律之分使反生黄钟半数亦犹何刘増十一律之数使反生黄钟原数正所谓惟黄钟一律成律耳至其所用开方乗除皆有遗弃不尽之数考京房六十律相生法余分皆弃不用蔡氏论之曰夫律学防妙其生数之法正在毫厘秒忽之间京房乃以不尽之算不容损益遂或弃之或増之则其畸赢赘亏之积亦不得为此律矣今载堉之法正京房或弃或増之病蔡氏所诃不得为律者乃反以秒忽不尽为自然之理三分损益为疎舛之法不亦异乎

右三分损益

史记律书得九寸命曰黄钟之宫

淮南子黄钟之长修九寸

律吕新书黄钟长九寸

律吕正义黄钟律分篇黄钟之律有长与围径则有尺度有尺度然后数立焉黄钟元声原未絶于世而造律之尺独难得其真隋志载歴代尺一十五等其后改革益甚至律吕新书所载如周尺汉刘歆铜斛尺蔡邕铜龠尺建武铜尺魏杜夔尺晋田父玉尺始平古铜尺汲冡玉律尺刘曜土圭尺刘宋钱乐之浑仪尺后魏元延明尺后周玉尺梁景表尺隋开皇水尺五代王朴律凖尺宋和岘尺李照尺胡瑗阮逸尺邓保信尺大晟乐尺共二十余种然尺者所以度律而黍者所以定尺古今尺度虽各不同而律之长短自不可更黍之大小又未尝变故黄钟之分参互相求而可得其真也宋李照以纵黍累尺管容千七百三十黍空径三分固失于大胡瑗以横黍累尺管容千二百黍空径三分四厘六毫亦非真度通志载夏尺十寸商尺十有二寸周尺八寸自三代而后尺虽不一大约长不逾商尺短不减周尺今黄钟之长九寸非夏尺之九寸商尺之九寸亦非歴代诸尺之九寸乃本造律度十分之九也夫以夏尺商尺之度制为黄钟之龠其容受逾于千二百黍固不必言尝以今尺之八寸为周尺立法制为黄钟之龠其容黍又少歉更以今尺之八寸一分立法乃恰合千二百黍之分始知古圣人定黄钟之律盖合九九天数之全以立度且验之今尺纵黍百粒得十寸之全而横黍百粒适当八寸一分之限明郑世子载堉律吕精义审度篇亦载横黍百粒当纵黍八十一粒又前汉志曰黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分夫广者横之谓也九十分为黄钟之长则黄钟为九十横黍所累明矣以横黍之度比纵黍之度即古尺之比今尺以古尺之十寸【即横黍一百之度】为一率今尺之八寸一分【即纵黍八十一之度】为二率黄钟古尺九寸为三率推得四率七寸二分九厘即黄钟今尺之度也夫考音而不审度固无特契之理审度而不验黍亦无恰符之妙依今所定之尺造为黄钟之律考之于声既得其中实之以黍又适合千二百之数然则八寸一分之尺岂非古人造律之真度耶

蕙田案黄钟九寸始于史记淮南子律吕新书从之九寸者九分也黄钟律度以三用九故九九则八十一分非尺度之分寸也后人不知九为黄钟度法而泥于九寸为尺寸之寸故或以为寸十分或以为一尺或以黍定尺或谓不当以黍定尺或以钱校尺论议纷纭而黄钟之真度卒不可得古律吕卒不可求我

圣祖天亶神圣心通律吕之原即以九九之数定黄钟而横黍之广恰合八寸一分之限考之于声则得其中实之以黍又适合一千二百之数岂非心通造化而为万世法者哉彼不得其原而徒为尺度揣摩之术者可一举而空之矣

辨史记八寸七分一之说

【史记误刋本曰黄钟八寸七分一】

索隠曰律九九八十一故云长八寸十分一旧本作七分盖误也　朱子曰蔡京用事作乐尽破前代之言乐者因作中声正声如正声九寸中声只八寸七分一案史记七字多错乃是十分一其乐只是杜撰至今用之

辨汉书九寸寸十分之说

【汉书律厯志一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺】

呉氏鼎曰此言黄钟九寸寸十分之始京房刘歆郑康成并同后世如李照房庶胡瑗范景仁司马光皆用此说而明何塘曰汉志谓黄钟之律九寸加一寸为一尺夫度量权衡所以取法于黄钟者贵其与天地之气相应也若加一寸以为尺则又何取于黄钟殊不知黄钟之长固非人所能为汉志不知乃欲加黄钟为一寸谬矣

蕙田案加一寸为尺者亦由不知黄钟之寸乃假借之辞固不得以度之一寸十分为比也

辨朱载堉黄钟一尺之说

【朱载堉曰一分者总为一段也命黄钟为一尺故曰子一分丑三分二乃一尺中三寸之二寅九分八乃一尺中九分之八】

蕙田案一尺之说最为无理不足辨皆由泥于度尺而然也

辨黄钟三寸九分之解

吕氏春秋黄帝令伶伦作为律伶伦自大夏之西乃之阮隃之隂取竹于嶰豀之谷以生空厚窍均者断两节间其长三寸九分而吹之以为黄钟之宫吹曰含少

【乐典曰黄帝命伶伦断竹两节间声出三寸九分故吹曰含少合其无声者四十二分则为全律三十九子半数也阳犹丽隂隂含少阳是以名也　古乐经传自黄钟八寸一分上下相生穷于应钟四寸二分则其中间长短相距取用之数盖三寸九分而已伶伦先得嶰谿之竹断取一均间别其三寸九分之内穴孔而吹之以备黄钟之五声故总其全体而命之曰黄钟之宫而以其所穴之孔为黄钟所含之少声也　朱载堉曰后学未逹指三寸九分为黄钟之长误矣八寸一分三寸九分合为十二寸即律吕之全数　季本曰当为长九寸空径三寸之误】

蕙田案吕览三寸九分之说乐典以为声出三寸九分乃是吹口古乐经传以下人各执一说皆揣拟无当惟

御制律吕正义曰间甞截竹为管详审其音黄钟之半律不与黄钟合而合黄钟者为太簇之半律吕氏春秋以三寸九分之管为声中黄钟之宫即半太簇合黄钟之义乃知三寸九分者论宫均相应之半声而非论其长也故吕氏曰吹之则明指声矣曰含少少者非即半律之义耶后人但以长短之数欲牵合九寸八十一分多见其臆凿也

附今尺八寸七分一之数

律吕正义曰黄钟古尺九寸今尺七寸二分九厘【今案古尺十寸当今尺八寸一分故黄钟之管于古尺为九寸于今尺为七寸二分九厘也】

大吕古尺八寸四分二厘七毫今尺六寸八分二厘六毫

太蔟古尺八寸今尺六寸四分八厘

夹钟古尺七寸四分九厘一毫今尺六寸零六厘八毫

姑洗古尺七寸一分一厘一毫今尺五寸七分六厘仲吕古尺六寸六分五厘九毫今尺五寸三分九厘三毫

蕤宾古尺六寸三分二厘今尺五寸一分二厘林钟古尺六寸今尺四寸八分六厘

夷则古尺五寸六分一厘八豪今尺四寸五分五厘一毫

南吕古尺五寸三分三厘三毫今尺四寸三分二厘无射古尺四寸九分九厘四毫今尺四寸零四厘五毫

应钟古尺四寸七分四厘今尺三寸八分四厘

蕙田案以上黄钟寸法

汉书律厯志黄钟八百一十分

后汉郑康成月令注曰凡律空围九分

蔡氏邕铜龠铭曰龠黄钟之宫空圆九分容黍千二百粒

月令章句曰黄钟之管径三分围九分

孟氏康曰黄钟律孔径三分参天之数围九分终天之数

韦氏昭曰黄钟管径三分围九分因而九之九九八十一故黄钟之数立焉

晋志曰十二律空径三分

隋志曰黄钟之管径三分长九寸

宋史志曰皇祐中诏王洙范镇如房庶说造律径三分围九分容千二百黍

胡氏瑗曰黄钟径三分四厘六毫围十分三厘八毫又曰黄钟律管每长一分内实十三黍又三分黍之一围中容九方分也后儒执守孤法多不能贯知权量之法但制尺求律便为坚证因谓围九分者取围圆九分尔以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之法则黄钟之管止容九百黍积止六百七分半如此则黄钟之声无从而正权量之法无从而生

房氏庶曰大其空径四厘六毫是以乐声太髙范氏镇曰古律空径三分围九分今新律三分四厘六毫此四厘六毫何从出　又曰古者以竹围为律竹形本圆何以方分置算又算法圆分谓之径圆方分谓之方斜所谓径三围九方五斜七是也今圆分何以方法算之此算法之非是也

司马氏光曰径三围九数家言其大要耳若以宻率言之径七分围二十有二分也

胡氏铨曰班固以八十一分为黄钟之实起十二律之周径度其长以容其实初未尝有径三围九之说也康之徒惑于八十一分之实以一寸为九分而不察方圆之异于是径三围九之论兴焉夫律之形圆如以为径三围九则刓其四角之方而不足于九分之数以之容黍岂能至于千二百哉然则所谓围九分方也何以知之知龠之方则知黄钟之分安得而不方哉围九分方而圜之则径不止于三分矣故夫径三围九之说孟康为之也

朱子钟律篇曰黄钟围九分径三分四厘六毫　又曰古者只说空围九分不说径三分盖不啻三分有竒也

蔡氏元定曰空围九分积八百一十分

又曰案十二律围径自先汉以前传记并无明文惟班志云黄钟八百一十分由此之义起十二律之周径然其说乃自以律之长自乗而因之以十配合为说耳未可以为据也惟审度章云一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨权衡章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫幂百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百一十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始着以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有竒终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成唐因声制乐虽近于古而律亦非是本朝承袭皆不能觉独胡安定以为九分者九方分也以破径三分之法然所定之律空围不同则亦不成律矣

性理大全彭氏曰黄钟律管有周有径有面幂有空围内积有从长如史记论纵长律歴志论纵长及积东汉郑氏注月令论幂东汉蔡氏月令章句论纵长皆不易之论独周径之说汉以前俱无明文汉律歴志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然考之古方围周径幂积皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以宻率乗除止得空围内面幂七分七厘竒乃少一分九十二厘竒空围内积实止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此则黄钟之管无乃太狭盖黄钟空积忽防若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分用径一围三之法虽是古率然以宻率推之径一则围三有竒假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径三分四厘六豪围十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围则径止得三分三厘竒又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乗以管长乗之用三分益一四分退一之法求幂积今姑依其说以九方分平置又三分益一以三方分割置于九方分之外其积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽如蔡氏之说但依此径以宻率相乗则空围内面幂不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大细考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以所知三分益一四分退一乃算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能尽合也今欲求黄钟的实定数取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分乃以此管面空围中所容九分以平方幂面推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之九平方分通有面幂九万万忽依宻率乗除得圆周长十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乗仍得九万万忽内一忽弱通得面幂九平方分也既以周径相乗复得面幂如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面幂计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九十则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则围长面幂与夫空围内积自然无不脗合特径数自入毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳