新元史

，名大弦，自乘得一百寸，名大弦幂，内方之勾幂五十寸，名第一次大勾幂。以第一次大勾幂，减其大弦幂，余五十寸，名大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股减其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾幂。以第一次大勾幂，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股幂，并第一次小勾幂，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦幂，开方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数，将大弦改为一千寸，然后依法而求。若求第二次者，以第一次小弦幂，就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余，为第二次大股幂。开方为第二次大股，以减其大弦余为第二较，折半名二次小勾。此小勾之数，即是八曲之边，与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折，名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂，名第二次小弦幂，开方为第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。

友钦阐明历理，于授时术尤为深得，传其学于龙游人朱晖。有元一代，不为历官，而知历者，友钦一人而已。

卷三十五 志第二

○历二

△仪器

西域仪象

简仪之制：四方为趺，纵一丈八尺三分，去一以为广。趺面上广六寸，下广八寸，厚如上广。中布横车光三、纵车光三。南二，北抵南车光；北一，南抵中车光。趺面四周为水渠，深一寸，广加五分。四隅为础，出趺面内外各二寸。绕础为渠，深广皆一寸，与四周渠相灌通。又为础，于卯酉位广加四维，长加广三之二。水渠赤如之。北极云架柱二，径四寸，长一丈二尺八寸。下为鳌云，植于乾民二隅。础上左右内向，其势斜准赤道合贯上规。规环径二尺四寸，广一寸五分，厚倍之，中为距，相交为斜十字，广厚如规。中心为窍，上广五分，方一寸有半，下二寸五分，方一寸，以受北极枢轴。自云架住斜上去趺面七尺二寸，为横车光。自车光心上至窍心六尺八寸。又为龙柱二，植于卯酉础。中分之北，皆饰以龙，下为山形，北向斜植，以柱北架。南极云架柱二，植于卯酉础，中分之，南广厚形制一如北架，斜向坤巽二隅，相交为十字。其上与百刻环边齐，在辰巳、未申之间。南倾之势准赤道，各长一丈一尺五寸。自趺面斜上三尺八寸为横车光，以承百刻环。下边又为龙柱二。植于坤巽二隅，础上北向斜柱，其端形制一如北柱。

四游双环，径六尺，广二寸，厚一寸。中间相离一寸，相连于子午、卯酉。当子午为圆窍，以受南北极枢轴。两面皆列周天度分，起南极。抵北极。余分附于北极。去南极枢窍两旁四寸，各为直距，广厚如环距，中心各为横关，东西与两距相连，广厚亦如之。关中心相连，厚三寸，为窍方八分，以受窥衡枢轴。窥衡长五尺九寸四分，广厚皆如环。中腰为圆窍，径五分，以受枢轴衡。两端为圭首，以取中，缩去圭首五分，各为侧立横耳，高二寸二分，广如衡面，厚三分。中为圆窍，径六分，其中心上下一线，界之以知度分。

百刻环，径六尺四寸，面广二寸，周布十二时百刻。每刻作三十六分，厚二寸，自半已上，广三寸。又为十宇距。皆所以承赤道环也。百刻环内广面卧施圆轴四，使赤道环旋转，无涩滞之患。其环陷入南极架一寸，仍钉之。赤道环径广厚皆如四游环。面细刻列舍周天度分。中为十字距，广三寸，中空一寸，厚一寸。当心为窍，窍径一寸，以受南极枢轴。界衡二，各长五尺九寸四分，广三寸。衡首斜剡五分刻度分，以对环面中腰。为窍重置赤道环南极枢轴，其上衡两端自长窍外边至衡首底厚倍之。取二衡运转，皆着环面，而无低昂之失，且易得度分也。二极枢轴，皆以钢铁为之，长六寸，半为本，半为轴。本之为分寸一如上规。距心适取，能容轴径一寸。北极轴中心为孔，孔底横穿通两旁。中出一线，曲其本，出横孔两旁，结之。孔中线留三分，亦结之。上下各穿一线，贯界衡两端。中心为孔，下洞衡底顺衡中心为渠，以受线直入内界。长窍中至衡中腰，复为孔，自衡底上出结之。

定极环，广半寸。厚倍之，皆势穹窿，中径六度，度约一寸许。极星去不动处三度，仅容转周。中为斜十字，距广厚如环，连于上规环，距中心为孔径五厘。下至北极轴心六寸五分。又置铜板，连于南极云架之十字，方二寸，厚五分，北面剡其中心存一厘以为厚。中为圜孔，径一分，孔心下至南极轴心亦六寸五分。又为环二。其一阴纬环，面刻方位，取趺面纵横车光北十字为中心，卧置之。其一曰立运环，面刻度分，施于北极云架柱下，当卧环中心上属架之横车光下，抵趺车光之十字，上下各施枢轴，令可旋转。中为置距，当心为窍，以施窥衡，令可俯仰，用窥日月星辰出地度分。右四游环，东西运转，南北低昂，凡七政，列舍中外官去极度分皆测之。赤道环旋转与列舍距星相当，即转界衡使两线相对，凡日月五星中外官入宿度分皆测之。百刻环转界衡令两线与日相对，其下直时刻则昼刻也。夜则以星定之，比旧仪测日月五星出没而无阳经阴纬云柱之映。

其浑象之制：圜如弹丸，径六尺，纵横各画周天度分，赤道居中，去二极各周天四之一。黄道出入赤道内外，各二十四度。弱月行白道出入不常，用竹蔑均分天度，考验黄道所交，随时迁徒。先用简仪测致入宿去极度数，按于上。其校验出黄赤二道远近疏密，了然易辨，仍参以算数为准，其象置于方匿之上。南北极出入匿面各四十度太强。半见半隐。机运轮牙，隐于匿中。

仰仪之制：以铜为之，形若釜，置于砖台内，画周天度，唇列十二辰位，盖俯视验天者也。

其铭辞云：“不可体形，莫天大也。无兢维人，仰釜载也。六尺为深，广自倍也。兼深广倍，絮釜兑也。环凿为沼，准以溉也。辨方正位，日子卦也。衡缩度中，平斜再也。斜起南极，平釜镦也。小大必周，入地画也。始周浸断，浸极外也。极入地深，四十太也。北九十一，赤道齘也。列刻五十，六时配也。衡竿加卦，巽坤内也。以负缩竿，子午对也。首旋玑板，曌纳芥也。上下悬直，与镦会也。视日透光，何度在也。旸谷朝宾，夕饯昧也。寒暑发敛，验进退也。薄蚀起自，鉴生杀也。以避赫曦，夺目害也。南北之偏，亦可概也。极浅十五。林邑界也。黄道夏高，人所载也。夏永冬短。犹少差也，深五十奇，铁勒塞也，黄道浸平，冬画晦也。夏则不没，永短最也。安浑宣夜，昕穹盖也。六天之书，言殊话也。一仪一揆，孰善悖也。以指为告，无烦喙也。暗资以明，疑者沛也。智者是之，胶者怪也。古今巧历，不亿辈也。非让不为，思不逮也。将窥天朕，造化爱也。其有浚明，昭圣代也。泰山砺乎，河如带也。黄金不磨，悠久赖也。鬼神禁河，勿铭坏也。”

大明殿灯漏之制：高丈有七尺，架以金为之。其曲粱之上，中设云珠，左日右月。云珠之下，复悬一珠。粱之两端，饰以龙首，张吻转目，可以审平水之级急。中梁之上，有戏珠龙二，随珠俯仰，又可察准水之均调。凡此皆非徒设也。灯球杂以金宝为之，内分四层，上环布四神，旋当日月参辰之所在，左转日一周。次为龙虎鸟龟之象，各居其方，依刻跳跃，铙鸣以应于内。又次周分百刻，上列十二神，各执时牌，至其时，四门通报。又一人当门内，常以手指其刻数。下四隅，钟鼓钲铙各一人，一刻鸣钟，二刻鼓，三钲，四铙，初正皆如是。其机发隐于柜中，以水激之。

正方案：方四尺。厚一寸。四周去边五分为水渠。先定中心，画为十字，外抵水渠。去心一寸。画为圆规，自外寸规之，凡十九规。外规内三分，画为重规。遍布周天度。中为圆径二寸，高亦如之。中心洞底植臬，高一尺五寸，南至则减五寸，北至则倍之。

凡欲正四方，置案平地，注水于渠，眂平，乃植臬于中。自臬景西入外规，即识以墨影，少移辄识之，每规皆然，至东出外规而止。凡出入一规之交，皆度以线，屈其半以为中，即所识与共相当，且其景最短，则南北正矣。复遍阅每规之识，以审定南北。南北既正，则东西从而正。然二至前后，日轨东西行，南北差少，即外规出入之景以为东西，允得其正。当二分前后，日轨东西行，南北差多，朝夕有不同者，外规出入之景或未可凭，必取近内规景为定，仍校以累日则愈真。

又测用之法，先测定所在北极出地度，即自案地平以上度，如其数下对南极入地度，以墨斜经中心界之，又横截中心斜界为十字，即天腹赤道斜势也。乃以案侧立，悬绳取工。凡置仪象皆以此为准。

圭表：以石为之，长一百二十八尺，广四尺五寸，厚一尺四寸。座高二尺六寸。南北两端为池，圆径一尺五寸，深二寸。自表北一尺，与表粱中心上下相直。外一百二十尺，中心广四寸，两旁各一寸，画为尺寸分，以达北端。两旁相去一寸为水渠，深广各一寸，与南北两池相灌通以取平。表长五十尺，广二尺四寸，厚减广之半，植于圭之南端圭石座中，入地及座中一丈四尺，上高三十六尺。其端两旁为二龙，半身附表上擎横梁，自梁心至表颠四尺，下属圭面，共为四十尺。梁长六尺，径三寸，上为水渠以取平。两端及中腰各为横窍，径二分，横贯以铁，长五寸，系线合于中，悬锤取正，且防倾垫。

按表短则分寸短促。尺寸之下所谓分秒太半少之数，未易分别。表长，则分寸稍长。所不便者景虚而淡，难得实影。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取端日光下彻表面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙。举一横梁，下至圭面，共四十尺。是为八尺之表五，圭表刻为尺寸，旧一寸，今申而为五厘，毫差易分别。

景符之制：以铜叶博二寸加长博之二，中穿一窍，若针芥然。以方框为趺，一端设为机轴，令可开阖。搘其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚梁之中。窍达日光仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法：一表端测晷，所得者日体上边之景。今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。至元十六年己卯夏至晷景，四月十九日乙未景一丈二尺三寸六分九厘五毫。至元十六年己卯冬至晷景，十月二十四日戊戌景七丈六尺七寸四分。

窥几之制：长六尺，广二尺，高倍之。下为趺，广三寸，厚二寸。上框广四寸。厚如趺。以板为面，厚及寸，四隅为足，撑以斜木，务取正方。面中开明窍，长四尺，广二寸。近窍两旁一寸分画为尺，内三寸刻为细分，下应圭面。几面上至梁心二十六尺，取以为准。窥限各长二尺四寸，广二寸，脊厚五分，两刃斜禾闪，取其于几面相符，著限两端，厚广各存二寸，衔入几框。俟星月正中，从几下仰望，视表梁南北以为识，折取分寸中数，用为直景。又于远方同日窥测取景数，以推星高下也。

世祖至元四年，扎马鲁丁造西域仪象：

咱秃哈剌吉，汉言浑天仪也。其制：以铜为之。平设单环，刻周天度。画十二辰位以准地面。侧立双环，而结于平环之子午，半入地下，以分天度。内第二双环，亦刻周天度，而参差相交，以结于侧双环。去地平三十六度，以为南北极。可以旋转，以象天运，为日行之道。内第三、第四环，皆结于第二环，又去南北极二十四度。亦可以运转。凡可运三环，各对缀铜方钉，皆有窍，以代衡箫之仰窥焉。

咱秃朔八台，汉言测验周天星曜之器也。外周圆墙，而东面启门。中有小台，立铜表高七尺五寸。上设机轴，悬铜尺，长五尺五寸，复如窥测之箫二，其长如之。下置横尺，刻度如数。其上以准挂尺。下本开图之远近。可以左右转而周窥，可以高低举而遍测。

鲁哈麻亦渺凹只，汉言春秋分晷影堂也。屋二间，脊开东西横罅，以斜通日晷。中有台，随晷影南高北下，上仰置铜半环，刻天度一百八十，以准地上之半天。斜倚锐首铜尺，长六尺，阔一寸六分，上结半环之中，下加半环之上，可以往来窥运，侧望漏屋晷影，验度数，以定春秋二分。

鲁哈嘛亦木思塔余，汉言冬夏至晷影堂也。屋五间，其屋下为坎，深二丈二尺，脊开南北一罅，以直通日晷。随罅立壁，附壁悬铜尺，长一尺六寸。壁仰画天度半规，其尺亦可往来规运，直望漏屋晷影，以定冬夏二至。

若来亦撒麻，汉言浑天图也。其制：以铜为丸，斜刻日道交环度数于其腹，刻二十八宿形于其上。外平置铜单环，刻周天度数，列于十二辰位在准地。而侧立单环二。一结于平环之子午，以铜丁象南北极。一结于平环之卯酉。皆刻天度。即浑天仪而不可运转窥测者也。

若来亦阿儿子，汉言地理志也。其制：以木为圆球，七分为水，其色绿，三分为土地，其色白。画江河湖海，脉络贯串于其中。画作小方井，以计幅员之广袤，道里之远近。

兀速都儿剌不定，汉言昼夜时刻之器也。其制：以铜如圆镜而可挂，面刻十二辰位，昼夜时刻。上加铜条缀中，可以圆转。铜条两端，各屈其首为二窍，以对望。昼则视日影，夜则窥星辰，以定时刻，以测休咎。背嵌镜片，三面刻其图凡七，以辨东西南北日影长短之不同、星辰向背之有异。故各异其图。以尽天地之变焉。

卷三十六 志第三

○历三

△授时历经上

步气朔第一

至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一。其诸应等数，随时推测，不用为元。

日周，一万。

岁实，三百六十五万二千四百二十五分。

通余，五万二千四百二十五分。

朔实，二十九万五千三百五分九十三秒。

通闰，十万八千七百五十三分八十四秒。

岁周，三百六十五日二千四百二十五分。

朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。

气策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。

望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。

弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。

气应，五十五万○六百分。

闰应，二十万一千八百五十分。

按《授时历》闰转交三应，后有改定之数。闰应，二十万一千八百五十分，明《大统历法通轨》作二十万二千五十分，实加二百分；是当时经朔改早二刻也。转应，一十三万一千九百四分，《通轨》作一十三万二百五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。交应，二十六万一百八十七分八十六秒，《通轨》作二十六万三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。梅文鼎谓《通轨》所述者乃《授时历》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初稿是也。

没限，七千八百一十五分六十二秒半。

气盈，二千一百八十四分三十七秒半。

朔虚，四千六百九十四分七秒。

旬周，六十万。

纪法，六十。

推天正冬至

置所求距算，以岁实上推往古，每百年长一。下算将求，每百年消一。乘之，为中积。加气应，为通积。满旬周，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分。其日命甲子算外，即所求天王冬至日辰及分。如上考者，以气应减中积，满旬周，去之；不尽，以减旬周。余同上。

求次气

置天正冬至日分，以气策累加之，其日满纪法，去之，外命如前，各得次气日辰及分秒。

推天正经朔

置中积，加闰应，为闰积。满朔实，去之，不昼为闰余，以减通积，为朔积。满旬周，去之，不尽，以日周约之，为日，不满为分，即所求天正经朔日及分秒。上考者，以闰应减中积，满朔实，去之不尽，以减朔实，为闰余。以日周约之为日，不满为分，以减冬至日及分，不及减者，加纪法减之，命如上。

求弦望及次朔

置天正经朔日及分秒，以弦策累加之，其日满纪法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。

推没日

置有没之气分秒，如没限已上为有没之气。以十五乘之，用减气策，余满气盈而一，为日，并恒气日，命为没日。

推灭日

置有灭之朔分秒，在朔虚分已下为有灭之朔。以三十乘之，满朔虚而一，为日，并经朔日，命为灭日。步发敛第二

土王策，三日四百三十六分八十七秒半。

月闰，九千六十二分八十二秒。

辰法，一万。

半辰法，五千。

刻法，一千二百。

推五行用事

各以四立之节，为春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气，各得其季土始用事日。

气候正月

立春，正月节。

东风解冻，蛰虫始振，鱼陟负冰。

雨水，正月中。

獭祭鱼，候雁北，草木萌动。二月

惊蛰，二月节。

桃始华，仓庚鸣，鹰化为鸠。

春分，二月中。

玄鸟至，雷乃发声，始电。三月

清明，三月节。

桐始华，田鼠化为鴽，虹始见。

谷雨，三月中。

萍始生，鸣鸠拂其羽，戴胜降于桑。四月

立夏，四月节。

蝼蝈呜，蚯蚓出，王瓜生。

小满，四月中

苦菜秀，靡草死，麦秋至。五月

芒种，五月节。

螳螂生，贝鸟始鸣，反舌无声。

夏至，五月中。

鹿角解，蜩始鸣，半夏生。六月

小暑，六月节。

温风至，蟋蟀居壁，鹰始挚。

大暑，六月中。

腐草为萤，土润溽暑，大雨时行。七月

立秋，七月节。

凉风至，白露降，寒蝉呜。

处暑，七月中。

鹰乃祭鸟，天地始肃，禾乃登。八月

白露，八月节。

鸿雁来，立鸟归，群鸟养羞。

秋分，八月中。

雷始收声，蛰虫坏户，水始涸。九月

寒露，九月节。

鸿雁来宾，雀入大水为蛤，菊有黄华。

霜降，九月中。

豺乃祭兽，草木黄落，蛰虫咸俯。十月

立冬，十月节。

水始冰，地始冻，雉入大水为蜃。

小雪，十月中。

虹藏不见，天气上升，地气下降，闭塞而成冬。十一月

大雪，十一月节。

鹖旦鸟不鸣，虎始交，荔挺出。

冬至，十一月中。

蚯蚓结，麋角解，水泉动。十二月

小寒，十二月节。

雁北乡，鹊始巢，雉句雅。

大寒，十二月中。

鸡乳，征鸟厉疾，水泽腹坚。

推中气去经朔

置天正闰余，以曰周约之，为日，命之，得冬至去经朔。以月闰累加之，各得中气去经朔日算。满朔策，去之，乃全置闰，然俟定朔无中气者裁之。

推发敛加时

置所求分秒，以十二乘之，满辰法而一，为辰数。余以刻法收之，为刻。命子正算外，即所在辰刻。如满半辰法，通作一作辰，命起子初。

步日躔第三

周天分，三百六十五万二千五百七十五分。

周天，三百六十五度二十五分七十五秒。

半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。

象限，九十一度三十一分四十三秒太。

岁差，一分五十秒。

周应，三百一十五万一千七十五分。

半岁周，一百八十二日六千二百一十二分半。

盈初缩末限，八十八日九千九十二分少。

缩初盈末限，九十三日七千一百二十分少。

推天正经朔弦望入盈缩历

置半岁周，以闰余日及分减之，即得天正经朔入盈缩历。冬至后盈，夏至后缩。以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈缩历日及分秒。满半岁周去之，即交盈缩。

求盈缩差

视入限盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。