皇朝经世文四编

之郑善夫言汉宋以来皆设算学与儒算同科谓之四门博士古人往籍历历可征算学之行已非一朝一夕即列入考试令典亦有所由来中朝成宪遵循近时经古场中亦许诸生报考然勾股开方弦和测量等术仍不外周髀所遗且命题者非尽精通历算不过抄录前人之说依样葫芦故各处所出算题苟幕无熟习之人大都不脱范围千篇一律别无翻新花样意见独奇者自利玛窦入中国与徐光启译几何原本而后知算学一门厥用甚广一天文也行星之躔度昼夜之运行风雨阴晴推迁不爽一地舆也经纬之分明道路之远近山川江海高下深皆有一定之理一制造也配合勾连大小轻重马力则有多有少运动则有速有迟一军战也枪之准头药弹之增损纬度之平直地势之低昂以上四途仅以旧法应之必至临事茫然格不相入而西学中无不需算欲求事之有济非精于此艺断不为功中兴以后国家风化维新力除积习知西人之学实为富强之原于是竭其才智聪明有心效法十年以前又准臣工之奏特开算学一科将算学生咨送总署覆勘作为算学生员系乡试之年按册咨取录送顺天乡试每二十名取中一名会试则与诸士子仍归大号既中贡士即为洋务人员如此破格取才朝廷已为郑重然算法包罗甚广罗茗香先生平生习算至不得游息之间尝谓习算之人须精神充足由童时以至壮岁中无作辍方得旁通曲证参透精微若欲于文章八股余闲兼习其艺以为此乃寻常小学不必甚专此大谬也夫人生记悟之功全在髫龄倘若年华已富则心思涣散讵能深入显出体会深微算学变化靡穷纵探讨甚勤尚恐不能精到若偶然涉猎其能造极登乎今天子求才崇尚有用之学张香帅雄才大略又能为国尽心宜算惜余资于各省设立公塾招集子弟专教西算西算尤习考取之后将进取之生分隶各种学堂或习天文或习地理或习制造开矿各艺不必诵读西文宜由朝廷明定章程将已有西人各种算书钦定全集其不足者繙译以补之务使简括详明一览便能明晓最妙者各县皆设时务西学书院其中另设算学一斋俾有志者肄业则人才易于培植而算学可推行矣或谓中国之大州县之多若尽聘西师非惟经费太多抑亦有才难之叹然子弟启蒙之始不必良师兹思得简易之法天主耶稣教堂遍于中国为之保护该教士皆性情肫挚好学多才且立志大公毫无私弊既蒙我朝恩宠岂无报之心今议各学堂即请若辈以充教师代为化导每县各立学堂各延教士俟子弟学问已进择尤送入省会学堂再求深造此则节糜费而成实广造就而养真才将来润色升平栋梁大岂非国家择自强之基哉

算学宜讲习说

六艺为儒者所兼习而数居其末自我朝试士专重时文于是数学一道竟为攻帖括家所不及习然易详河图洛书数也书载洪范箕畴亦数也是尤古人所专而精焉者也按学政全书所载生童岁科试功令国初时以三艺为率干嘉间增试经古咸丰初则兼试性理取士御纂性理中诸说而着为论近复增试孝经亦与性理论同命与经古并考而仍另编一场亦文宗下车观风之意故有以经古为重者有不以经古为重者前山东学政黄文宗体芳试登州时牌示增考数学一条而阖属赴考寥寥仅蓬莱文童邹立文一人前江苏学政彭文宗久余试时亦欲增试数学卒以难延襄校幕友而不果惟浙省试牍中有五雀六燕均得其平并勾股相容等说可见已有行之者矣直督李伯相江督沈制军先后奏请设科专考西学而以数学为西学之首要各省设立同文馆而都中又设天文算学繙译诸馆复有俄文英文法文布文等馆闽省船政局又专设西学馆沪地制造局既分设广方言馆复分别选派幼童赴美国德国肄业在在皆须数学何莫非造就人才并蓄兼牧之意即沪城求志书院亦端设算学一科而迂拘者流乃谓朝廷以文艺经术课士初无资乎杂学即由大臣先后奏请终恐窒难行抑知我朝学校贡举之制科实取前明时制科斟酌损益折衷至当而永乐大典载明洪武八年中书省御史台礼部所奉谕旨颁行学校贡举取法颇极美备今西国广设书院学塾规模正复相如明[初](秘)生员分为二等有府州县舍之生员有乡里学舍之生员其所业自经史外律书共为一计以训导分曹掌之而以教授教谕学正等为之提调九经四书三史通监旁及庄老韬略晨学经史律学午学礼学乐学算晡后学财有余力或习为诏诰笺表碑版传记之属考时观其进退揖让之节听其语言应对之宜背诵经史讲明大义考律以试断学书不拘体格审音以详所习之乐观射以稽巧力稽数则第其乘除之敏钝有进益者褒之三月而学不进者降责有差按御史按察使主其事而拔其尤者贡之朝临轩召试皆令其说书一通期于可行继试之文字试之射试之算上者取焉授职有差槎庵小乘载国初有经明行修科工习文词科通晓四书科人才俊秀科言有条理科精习算法科备者为上以次而降大抵经史与律算并重非以算学为不急之务也昔尝闻诸西士言西法无不以算学为重而习西法者亦先于算学入门究算学之源流则实由中学衍其传故算学一端中西无分高下竟有中胜于西者然则算学一途顾不重哉所愿攻帖括者于算学三致意焉可

中西算学源流考

黄帝命大挠作甲子隶首作算数历算之学由来尚矣尧时羲和分方测和仲宅西爰名昧谷以大地周回七万二千里计之尧都平阳北极出地三十六度有余距等圈不及万八千里其纳日之地约偏西一万五千余里当在今之希腊希腊之米峨岛北极出地亦三十六度和氏子孙必有宅于希腊者此中法之所以流入西国也数术记遗曰世人言三不能比两乃云捐闷与四维艺经曰捐闷周公作三不能比两孔子所造四维东莱子所造三者皆六艺中之数东莱子虽不知为何人要亦古之贤者而周公之元圣孔子之至圣固不止周髀之传会计之当而已也慨自平王东迁畴入子弟散失外邦秦火一燔而儒书荡然无存此中学之所以绝于中而盛于西也元时郭太史守敬撰授时历采用回回历诸法回回与天主耶稣皆佛教之绪余故元时算家大数多用佛经数目如那由他阿僧只恒河沙不可思议无量数者近是明万历丁未利玛窦繙译几何原本有云几何之学不知托始何国或云埃及或云巴比伦博考之士称其造自天竺今所传最古者周定王时他勒着是学于希腊天竺尊尚佛教一变而天子再变而耶稣回回其教同其数又安得不同乎埃及巴比伦皆属西洋诸部其数学必为希腊所传则和仲之寅饯纳日近于希腊也益信又考元李镜斋冶所撰测圆海镜多言立天元一按立天元一者见于宋秦九韶九章大衍数中厥后授时草及四元玉监皆利见之明利玛窦与徐光启李之藻等译为同文算指古九章皆有辨订独于立天元一法阙而不言徐光启句股义序中又谓欲说其义而未遑是此书已为利玛窦所见而犹未得其解也康熙中欧逻巴人始以借根方法进呈梅文穆习之乃晤即古立天元一法赤水遗珍中详解之且载西名阿尔热巴拉即华言东莱法盖即镜斋不遗书流入西域又转而还人中原也阮文达亦谓西法之精符天象独冠古今亦立天元一街有以资之恭读数理精蕴周髀而下即载几何原本凡借根对数莫不详悉中法西法毫畛域咸丰间海甯李壬叔善兰与伟烈亚力续译几何之后九卷又新译重学又对数理探源有尖锥泛积表钱塘戴鄂士亦有对数简法皆与讷白尔造表之理相合然较诸彼国创始此表真数屡次开方假数屡次折半求至数十次而真数假数始能会通者可谓事逸而功倍徐庄愍垛积招差割圜缀术皆能发西人之所未发近来长沙荷池精舍丛刻算学力辟大元四元门径借根代数亦略备焉果能好学深思心知其义则天元可抵借根四元可抵代数以中学而独胜也可以西学而专精也可兼学中西而别树一帜也亦无不可不然徐雪村之化学李壬叔之算学何以均为西人所顶奉也哉

跋中西算学源流考后

中西算学源流考系晋省吴君锡钊所作观吴君讲求实学先致力于历算固有识之士也其稿由紫师所示命作跋语元无可辞因读其稿共分五节首节所谓尧都平阳即今山西平阳府也其地北极出地三十六度有余夫地球一周本为千万二千里盖当赤道处言之也仆推得赤道北三十六度有余等圈实为五万八千四十里四二九以半径十万为一率三十六度余弦八九一七为二率地球半径一万一千四百十八里七五为三率求得四率倍之得一万八千四百七十四里八三三五为截球面圆径以周率三一四一五九二六乘之得五万八千四十里余为赤道北三十六度之距等圈地球之形实系扁球故赤道径大于二极径其比例率为二百九十九一五与二百九十八一五今作正球算所差亦微平阳在赤道北三十六度有余其距等圈当为五万七千九百余里稿中言不及万八千里者谅系笔误其纳日之地当在尧都西九十度取距等圈四之一即得偏西一万四千四百余里亦非万五千余里其处在希腊堪狄阿岛西三百里系地中海海面并无海岛即作为万五千余里亦系海面堪狄阿岛之纬度亦在赤道北三十六度与尧都同惟经度不在日久之限耳尚有蒙影差一十八度故在尧都西望日没之处其时当太阳此处更西十八度之天顶其处实在阿非利加洲北境爱耳基力欧之代里司部西边尧命和仲宅西竟至越陕甘青海西藏伊犁回部布哈尔阿富汗波斯及东土耳其过沙漠雪山而至希腊入地中海断无是理且羲仲宅西竟至越谷阳谷者取日出之义若拘执此说则又将在偏东一万四千四百余里其地在北太平洋瓦呼岛正北十四度处加蒙影差十八度则从尧都见日出之处实在美国旧金山莽脱兰海滨西二十所度处其处系北太平洋四围数千万里皆汪洋巨浸亦无小岛今考嵎夷即东登州之地当日从王畿东西南北各二千五百里俱属蛮夷荒服此外皆中土人迹罕到之区故所谓昧谷者实在甘肃青海之间耳而中法之流入西国其故不在此顾三代而上此学必有原原本本试观庖牺作易夏禹演畴羲和之于厤襄旷之于音般墨之于械孙吴之兵安知非尽出于数哉

数理精蕴曰周末畴人子弟失职分散兼遭祖龙之炬则典籍之流失者实不少焉第二节所以诚是矣第三节所言各教以与算学有关而实不相关者也然佛教起于周时穆王五十三年印度王生释迦天主教起于夏代其时西域有异人名摩西持十诫劝人自言得自天授耶[稣](鲧)教与天主教一而二二而一者也回教与佛教更不同惟略近于天主耶稣二教利玛窦序几何云博考之士称其造自天竺迄无定论今所传最古者周定王时他勒着是学于希腊景王时闭他卧刺修明其术夫天竺即印度与希腊皆为古时文教之邦至如第四节所言天元借根方夫天元四元起于宋元之际借根方不知始于何时惟闻六朝时希腊有去番都者能演此法莫知其所自出是时天竺国早有此术且精于丢氏此已前于天元四百年赤水遗珍所谓东来法者系当时译书之误西名阿尔热巴拉系天方国方言言多少二数等而相消即今之方程式也并非为东来法世传借根方本于天元其言之不确可知中法之与借根相类者惟九章中借衰为最古其书流传西域而借根方成出乎此是未可知也第微积之出于代数代数之出于借根为必然之事耳第五节所言戴氏之对数暗于西士讷白尔双曲线对数相合徐庄愍之积招蒫割圜缀术实即代数中级数也其精心巧思岂在西人下哉曾文正有言不知之害小不精之害大总之学问之道贵求实际而至于算学尤未易言昔年仆与陈君仲周修中西算学萃算书数百种去其繁复存其精华卒得三百余卷因体例俱变遂并作九十余卷仲周有心得之作颇多悉行入仆不敏闲亦附以一得之愚自周髀几何以迄微积重学都为百卷仲周因付枣梨及去秋告竣亦欲公诸同好焉耳今吴君有志实学推考弥勤他日者由浅入深进而益上虽欲与项戴诸大家比权量力亦复何难元以师命所在故为之悉心剖陈吴君固明算者谅不以予言为河汉也

中西算学致用论

粤自河游神马图开八卦之先洛出灵龟书备九畴之用所谓象而后有滋滋而后有数也是以春皇御世阴阳妍六之精炎帝嗣基气朔启二元之秘翠嫣受籙元穹渐剖乎天苞白阜呈图广袤咸归乎地纪官稽少皞命五正以分司记述高辛序三辰而着象轩辕纂统益明星气之占颛顼乘权更纂重黎之业干支分配推筮夷于潜龙律吕均调协和声于鸣凤算明隶首为九数之权兴盖造容成实三家之肇始业精推步兼资稽牧之俦度察离躔分隶羲仪之属溯自皇初逮于中古天算之学星日为昭矣迨乎旁罗历象四时首定于唐都仰察玑衡七政并齐于虞陛羲和分测量寻永短之差章亥周行步记广轮之异治垂神禹握句股以程功术受商高剖圆方而立法巫咸甘石既家法之攸分冯相保章亦职司之各判三代而下六朝以远时宪屡更术元各立远史太采初之法崖仅存孟坚引三统之言规模粗具续汉书者司马术列诸家修晋志者李家辨罗众说借端蓍策惟大衍之争推取数弧弦独授时之首冠大抵初承旧法各运精思惟测之日精故推求之渐密观夫制传洛下爰创造乎浑仪铭读佐公犹代垂乎刻漏日行光道知宿度之宜循月食对冲识日躔之所存刘洪干斗象分始觉其太强虞喜安天岁差遂因而立法晦朔弦望何承天课定余分伏逆迟留张子信推明纬度类皆钩深索隐造极诣微代不乏人仆难更数耳夫成周设教常悬保氏之规炎汉开基犹系史官之掌算经分掌李唐并重乎六科祀典初颁赵宋兼崇乎五学莫不垂诸令典布在科条钦惟我圣朝道崇稽古法本右文学究天人功参造化聪明独亶溯河洛以探源理数兼赅贯中西而合撰天山底定新疆呈地理之图月竁来宾上馆肄天文之业六仪并设详了望于台官四率相求极探研于博士蒲轮应召由绩学以参微节着谭经合畴人而列传一时珥笔簪毫之士怀铭握椠之流靡不并习九章兼明八线或谓穷探要洞究渊微无非儒者之兼长究逊专门之世守然而刊正谬订坠搜遗仍资汲古之功尤重通明之学彼夫五位三所溯开国于泠鸠二首六身核疑年于史赵郑君图纬藉度算以甄明杜氏春秋据术元而考正物宜纪候详稽夏正之篇器尚考工审订冬官之纪他若存名夕桀征古义于秦书术着重差证遗言于留序纵横定位早详孙子之遗经正负无人更见松庭之算例招差【古典小说之家】郭邢台术草犹存隙积曾圆沈存中笔谈偶及岂若荣陈荅问附周髀而难通唐愿贻书读天元而未解者哉若夫中西虽判理法无殊信异地之同符如闭门而合辙即如天圆谈问尝征戴礼之篇地动呈形屡见纬书之说椭圆立法稽古训于灵均蒙气有差证前闻于姜岌以及形呈句股贯属三角之宗度着弧弦能赅八之用对数之说原比例之相通代数之推亦四元之递衍固不仅借根方之捷法悉本夫元一之遗规也已且夫准绳规矩圣人既竭其心思度量权衡举世咸遵乎轨则以故兵刑钱谷琐屑周知礼乐文章灿明可纪蚁旋干轴握尺管而全窥鳌柱坤维操寸锥而尽测高深广远无非接数以推求曲直方圆凡属有形而莫遁若夫施诸日用利在民生统小大以赅合精麤而毕贯引錣量用尝披管子之书握算持筹曾觊临川之说蒋士安之转运明察群推赵光汉之钩稽精能莫及以至潮来应月窥蟾兔之盈虚气动生风辨马牛之顺逆与夫炮轰落地球舞齐天电气潜通水雷陡发运机轮而远驶设筩镜以冥搜而推衍而靡穷亦范围之莫外者矣

皇朝经世文四编卷九学术

测绘

上会典馆测绘舆图书

邹代钧

一曰测天度以定州县之部位地体浑厚其南北而点正当天空之南北两极其中要大圈亦与天空亦道相当如人在北极下则以北极为天顶人渐向南行北见极渐低至赤道则北极与地平合南极亦然是地之南北不同则北极出地之高低异焉耳东地之日出入早于西地之日出入地周三百六十度与天周相应每度六十分都为二万一千六百分日历天周为昼夜分二十四小时时六十分都为一千四百四十四分故时之一分等于度之十五分四分等于一度此地在彼地之东一度则此地之日出入早于彼地之日出入四分时是地之东南不同则日出入之迟早异也而度天度者必先定午线如京师之有中线英言利之格林回次法兰西之巴黎昔年西图所用之福岛皆是考工记曰匠人建国水地以县置槷以县以景为规识日出之景与日入之景画参诸日中之景夜考之极星按此言匠人中国而于夏至日定其国之午线也水地言以水平地如西人之用水准县垂线也言平地者必使地与垂线成直角槷表臬也植表臬使正如垂线而其景也日出之景与日入之景必等长虑所识景端或不确乃任以一景之长为半径臬底为中心展规为平圆两景端均交圆边则为密合是为规识日出入之景也复中折两景端闲圆边为点向臬底作直线即为午线之向郑注云度两交之间中屈指以之槷则南北二是也又日中之景为最短必与所作午线合故既画午线复以日中之景参之极近北极之勾陈星即尧典之璇玑旋璇借机极也言勾陈为旋绕北极最近之星也其详说见尚书大传周髀算经等书星即尧典之玉衡星经之斗六星庄子之维斗尔雅之斗极晋以后天文志所名之黄道极者是也夜观勾陈与王衡为直垂线则赤极与黄极相当又与所画午线方向合则午线准是夜考之极星也大司徒以土圭之法测土深正日景土深指南北日景指东西夏至昼漏中日南景短是地在南近日故土圭之景短也日北京长是地在北远日故土圭之景长也此定南北纬度之理也日东景夕是地在东日过其国之午线时东地之景已夕日西景朝是地在西日过其国之午线时西地之景方朝此定东西经度之理也西人定其国之午线亦用匠人之法而每以指南针除电气差安子午仪使极稳以窥日星之过午其随处测经纬度则自日晷将午至日晷过午用纪限仪或经纬仪屡测太阳高弧取其最高度为本处太阳过午线距地平高度亦即本处午正乃以太阳距地平高度减蒙气差加地半径差为实高度以减象限九十度得太阳距本处天预度以与本日太阳赤纬度南加北减即得本处北极出地之度于是先以极准时表如太阳过其国午线之午正开准行至本处即测得午正以与时表较迟早差若干时分化度即知本处在其国之东西若干度分但一测午正而地之南北东西皆定古今中外若合符节其理至当其用至宏是作图者所宜先务也

一曰测地面以定州县所辖之各地地面辽远近不一高低不齐无法以御之不能成图其法不外乎三角即九数之句股周髀算经卧矩知远偃矩望高二语足以尽之而西人测地亦分二端一测地面平形一测地面高形其测平形也所用之器最要者为经纬仪为测罗盘均为圆用分三百六十度密者能辨分秒疏者亦半分度皆有指南针经纬仪有窥管测向盘仅安植表系丝于窥管与植表之视孔成十字交点视交点蔽所测之物方为指准任在[何](河)州县之城门植柱为起点用仪器测左右距城门之甲乙二物设甲物在偏东二十度乙物在偏东三十度则所成角为五十度记二物之向及角度于册于是量准测处至甲乙二点直线远近为底边又使甲乙二点专测他处可见之物递测不已均记其向与度使大地成无数三角形又每三角之内或有可指之处仍一一记之使大三角容无数小三又有道里河流之迂曲均测其迂曲之向而以记里车记其各迂曲之远近使容于各三角之内而测平形之事毕矣其测平形也所用之器最要者为纪限仪为平水地平仪纪限仪为六十度弧亦能分辨秒有合半径及回光际线等镜有窥管亦系十字线以测高深之都数测法于测处置二定点与三顶成三点以二定点间相距数为底边用平测三角法已知三角一边求得测处之山顶斜线之数再用立测三角法以斜线为已知之边测得三角求山顶高于测处之数既得高形之高数乃以测处至山顶斜线与高数为已知两边求得山顶垂线与平地成角直至测处为平距数而山之斜度亦须测得大略但可不计分秒用红铜版为象限仪九十分之县垂线于版心系锤使下坠自弧之一角依平边仰望高处相切视垂线所成角即为斜度行军之图斜度约分三等十五度以下车能行三十度以下马兵能行四十五度以下步兵仅能行过此须攀援矣故测斜度止于四十五瓶水地平仪以测遂层高低之数器为长铜管管之两端上安玻璃瓶刻度盛水瓶与管成直角管下承三足架当管中承处为活节置器于高低之间升降铜管视两端瓶水等平而止于器之上与下对管口植长尺自管窥上尺恰当何尺寸反窥下尺恰当何尺寸以两数较所余为上尺处高于下尺处之数高低悬远者层测之而记其逐层之数山势磅礡者环测之而记其各点之向屡测者逐层之高须等以便命共距之数环测者各点之高亦须等以便成平剖面之形又山高与逐层之高之比如平距与平剖面平距之比均求之亦记于册而测高形之事毕矣

测事既毕于是始言绘绘者当首明分率分率者地与图之比例也地周三百六十度度二百里里一千八百尺是则一尺实为一万二千九百六十万分地周之一凡为图必先开方设为每方一寸十方一里是以图之一尺代地之一寸八百尺也其分率为一千八百分之一然作总图者不必如是之一酌而用之每方一寸方五十里是以图之一寸代地之九十万寸分率为九十万分之一他如或大或小随人度其图之详略而命之可也分率既定始布经纬度经度当赤道处每度相距二百里渐北则渐狭当用八线表以半径一千万为一率每度二百里为二率各地北极出地度之余弦为三率求得四率为其地经度相距里数按度推之列为成表以便检用而画经纬两线亦不一法有经纬均作曲线者有经为曲而纬为直者有纬为曲而经为直者其经[纬](为)均曲与经曲纬[直]两种虽能得[球](求)形之理然不能无差一则差在东西两边一则差在于北皆由经纬相交不成直角对角线亦不相等故作图以纬曲经直者为无差其法当求圆锥为中公心以规作合距等圈若作一省一府之分图去圆锥过远则以求零弧之法变通又作分率微分尺如图为九十万分之一用四寸六十分之曰名度尺用四寸二百分之名曰里尺均画对角斜线表微分又作分度器密者以铜为圆弧玻璃为中心能辨三百六十度之分秒疏者以明角片为半周分百八十度度半分之若镇州县城之经纬度可展规按度分量分率度尺纵横定点于图即得经度去赤道渐远者则按度求其相距里数以里尺量之亦得若填所测地面各三角点须用分度器之中心合城门之起点正其子午按左右甲乙二点之向作直线再依所测底边远近如分率量之以定甲乙二点于是转移分角器之中心合甲乙二点据所测各多点之向一一作直线成无数三角形如所测地面凡两线之交即各