皇朝经世文统编

为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣

是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圆球两倍圆囷其积必等

夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣是故球之外面皮积与囷之皮积必等是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积

再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥

再依前法将截球壳外圆囷所藏之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半小象限截球止弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣

圆囷既剜去内锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二

求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等

是故截球余弦高乘球之中周大圆即截球之外面皮截积

全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即余弦乘周也上截球之外面皮积即矢乘周也

球径求积术

径自乘再乘半之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数　诸数相并即球积

球径求球壳积术

径自乘三之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并即球外面皮积

截球余弦求截球积术

识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍　半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍　两积相并为截球积

半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球积

截球矢求截球上积

识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍　矢乘矢径差为正弦羃求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减

余为积

矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球上积

附录椭圜求周术

椭圜求周无法可驭借乎圜周求之则有三术以为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方

堆垛术曰一为第一数　一乘三乘第一数四除之为第二数　三乘五乘第二数九除之为第三数　五乘七乘第三数十六除之为第四数　七乘九乘第四数二十五除之为第五数　九乘十一乘第五数三十六除之为第六数　依次列之为初表

招差术曰广各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根

招差又术曰以为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径

堆垛又术曰三因借圜径为第一数　四分第一数之一二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一八分去一九分去二为第五数　四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数　递求至若干位相并为椭圜周

右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下

招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径

此即戴氏术变通得之余三层皆同前

若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也

四元解序

顾观光

四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则羃与羃乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也翻阅之暇每欲改易算式而其道无由乙巳冬海李君秋纫以所著四元解示余余受而读之见其以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反复辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也

对数探原序

顾观光

对数探原者海李君秋纫所著也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为０而百亿之对数亦为０故尖堆下之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为０此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二之积不得不同于三四两之积以三因代再乘则二之积不得不又同于五六七八四之积此尖堆二以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也

数学跋

顾观光

江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日历指再意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四０三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫

岁实消长其故有二一由两心差有大小一由黄赤距有远近吴江王氏青州薛氏并尝言之今薛氏天学会通未见足本晓庵新法又脱去补遗不知其说云何江氏之说得其一而失其一考之未审矣夫黄极环赤极二万五千八百六十八年而一周即岁差也黄道既退行于赤道则岁实必渐消惟是西人旧说皆以岁差为恒星东行遂与最高行两数混淆无从分析中法知岁差为岁不及天矣而又不知最高之有行分宜乎岁实消长历千余年而未有定论也近日西人新测春秋分点每岁西行五十一秒最高每岁东行十一秒八两心差古大今小约百年差二万五千分之一黄赤道古远今近约百年差四十八秒咸丰庚申最卑过冬至十度二十八分五十三秒三０黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八

五星岁轮与伏见轮之不同

顾观光

西法步五星土木火用岁轮金水用伏见轮梅勿庵谓五星皆有岁轮而伏见轮即岁轮上星行绕日之圆象婺源江氏从之着金水二星发微绘图立算缕析条分而征之等边等角之两三角形以着其理二家之说可谓详且明矣余尝细译历书而知岁轮与伏见轮之算其不可强同者有四试详言之土木火次引以初实行减太阳实行得之是次引大小一由于太阳之盈缩一由于本天之高卑而金水二星但以初均加减伏见平行不用太阳盈缩差其不同一也土木火以初实行减太阳实行则初均数为加者距日度反差而少初均数为减者距日度反差而多此缘上三星之行迟于太阳故如此立法若金水二星之行速于太阳初均数加则距日度亦加初均数减则距日度亦减而乃反用初均以加减伏见平行与上三星算同而理正相反其不同二也用岁轮则心在本道有升度差用伏见轮则心在黄道无升度差其不同三也土木火以正交行减初实行是用次轮心距正交度金水以正交行减初实行又加伏见实行而初实行而初实行与伏见实行相并之度即平行与伏见平行相并之度是从伏见轮言之为星距正交度从本天言之即本轮心距正交度矣其不同四也因此四事而知岁轮与伏见轮之用离之则双美合之则两伤矣然则梅氏江氏之说非乎曰未可非也所不同之四事历书均已言之曰伏见轮虽以太阳为心实以太阳本轮心为心也曰伏见轮最远点无定分其距平远点之度必与初均等也曰伏见轮最远点距伏见轮正交之度必与伏见轮心距本道正交之度等也之三者非征之实测未易决其是非惟谓伏见轮在黄道无升度差则即以伏见轮之理考之而知其必不可通何也伏见轮之心虽行于黄道而其面与黄道斜交半在南半在北惟正交中交二点与黄道合联此二点过心成一直此必与黄道平行而其距伏见轮远近之度时时不等设正交距最远九十度则伏见轮之上下一南一北成偃卧之势谓其无升度差理固然矣若正交与最远合则伏见轮之左右一南一北成侧立之势与土木火本道之斜交于黄道者其象正同又安得无升度差乎斯时黄道如句视纬如股伏见轮面如弦自黄极出抵黄道及星在伏见轮之右者其度必差而东在伏见轮之左者其度必差而西历书概置不论但以本道即黄道一语了之不思经度与纬度相待而成无升度差安得复有视纬此可以理决之不俟实测而后信也要之伏见轮之法本于岁轮自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回历五星并用太阳平行并无升度差岁轮与伏见轮通为一法西人于土木火三星屡改益精而金水二仍同回历由泥于伏见轮在黄道之说而不复深思改法者已不知伏见轮为岁轮上星行绕日之圆象矣梅氏江氏之说悟绝伦表而出之以告天下后世之读古人书而死于句下者

几何原本六和六较解

顾观光

大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　两正方较积四其边二与大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三阔一

大小两分相并得七四六四奇为第一合名第二第三同

相减余五三五奇为第一断第二第三同

设有比例八与大分有等　以乘矩形之长得二十四其边四八九八奇以乘矩形之阔得八其边二八二八奇两数相并得七七六奇为合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形两数相减得二０七奇为断自之得四二八五奇即第一断乘比例之矩形

设有比例六九二八奇与小分有等以乘矩形之长得二十０七八奇其边四五五八奇以乘矩形之阔得六九二八奇其边二六三二奇　两数相并得七一九奇为第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形两数相减得一九二六奇为第一中断自之得三七０九奇即第二断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一其边四五八二奇以乘矩形之阔得七其边二六四五奇　两数相并得七二二七奇为第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　两数相减得一九三七奇为第二中断自之得三七五二奇即第三断乘比例之矩形

大分四一二三奇正方十七０小分三六０五奇正方十三　两正方较积四其边二与大分无等　半小分一八０二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三０六一奇阔一０六一奇　大小两分相并得七七二八奇为第四合名第五第六同

相减余五一八奇为第四断第五第六同

设有比例八二四六奇与大分有等　以乘矩形之长得二十五二四奇其边五０二三奇以乘矩形之阔得八七四九奇其边二九五七奇　两数相并得七九八奇为太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　两数相减得二０六六为少自之得四二六八奇即第四断乘比例之矩形

设有比例七二一奇与小分有等　以乘矩形之长得二十二０七其边四六九七奇以乘矩形之阔得七六五其边二七六五奇两数相并得七四六二奇为比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　两数相减得一九三二奇为合比中方自之得三七三二奇即第五断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一四二七其边二七二三奇　两数相并得七三五一奇为两中面之自之得五四０九奇即第六合名乘比例之矩形　两数相减得一九０五奇为合中中方自之得三六二九奇即第六断乘比例之矩形大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五两正方较积一百其边十与大分有等　大小两分相减余三八二奇为第一断　即以较积方边为比例圆半径以乘第一断得三十八二奇开得断六一八奇即圆内容十边形之一边

大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五两正方较积一百二十五其边十一一八与大分无等　大小两分相减余六九一奇为第四断　有比例二十圆径与大分有等以乘第四断得一百三十八奇开得少十一七五奇即圆内容五边形之一边

大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六两正方较积一百三十三三三其边十一五四奇与大分有等　大小两分相减余四四一奇为第一断　即以较积方边为比例球内容六面体之一边以乘第一断得五十０八九奇开得断七一三奇即球内容十二面体之一边

大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五两正方较积一百其边十与大分无等　大小两分相减余六一八奇为第四断　有比例十七八八奇容二十面体上五边形之圆径与大分有等以乘第四断得一百十０四九奇开得少十０五一奇即球内容二十面体之一边

圆锥三曲记

顾观光

凡圆锥体横剖之成平圆斜剖之成椭圆平圆祗有一心其周之距心恒等椭圆则有二心自二心出抵圆周二之和必与长径等也命椭圆之长径为横轴短径为纵轴则任于圆周作纵为股所截长半径之横为句股羃乘长半径羃与句羃乘短半径羃之和恒与两半径羃相乘之数等其过心之倍股即长轴之通径以长径为连比例之首率短径为中率则通径为末率也股羃与所分长径二分相乘之羃若短径羃与长径羃于长径上作平圆则同句之平圆股若长径与短径矣任于圆周出二斜抵横轴之两端为正余二通弦则二通弦对角正切相乘之羃即长径羃约短径羃之数自圆周作二斜与二通弦平行则椭圆切也引横轴与切相交成句股形切为弦纵为股则其句为次切法以横羃与长半径羃相减为实横为法实如法而一即次切也自切点作抵横轴与切成直角是名法法为弦纵为股则其句为次法法以短半径羃乘横为实长半径羃为法实如法而一即次法也椭圆法平分切点距二心之交角故切与距二心之交角亦相等矣二切既与二通弦平行则自二属点过中点之斜径亦与二通弦平行命之曰相切径任于圆周作纵与一半径平行截其又一半径为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二羃和与长短径之二羃和恒相等也径端距二心相乘之羃与半径羃等相属径四端之四切成平行四边形亦与长短二径相乘之羃等若以二径之平圆面积为首末率而求其中率即椭圆面积也

凡圆锥体依一边之势自对边斜剖之至底成单曲形以此形横置之作过心横轴引长至顶点外如顶点距心度乃作垂与轴成直角即准也任于曲上作横直交于准必与距心等任于曲上作纵为股截轴之横为句以句为连比例之首率股为中率则通径为末率通径者过心之倍股也折取其半即心距准之度矣自纵上端作斜为曲之切引横轴与之相交亦与次切成句股形又作法直交于切亦与次法成句股形单曲之次切倍于横而次法恒为通径之半以纵约次法或以次切约纵皆切与轴交角之正切也切点距心交法之角恒等于法交轴之角故法之两端其距心亦相等切点距心交切之角恒等于切交轴之角故切之两端其距心亦相等自心作斜直交于切即切点顶点两距心之中率矣任作通弦与切平行又自切点作横径与轴平行必分通弦为两平分半通弦为纵截横径为横与横轴上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截单曲之面积也

凡圆锥体依立垂之势自一边直剖之至底成双曲形以此相等之二形横置之其二顶点之相距即为横径任于曲上出抵二心二之较必与横径等也自横径之中作直交于横径即为纵径中点距心为弦其距顶为句求得股为半纵径自横径之上下截之复作相等之二曲形为相属双曲引纵横二径为二轴皆过曲之二心以横径为连比例之首率纵径为中率则通径为末率即横轴上过心之倍股也任于曲上作纵为股截横径之引长为句股羃乘半横径羃与句羃乘半纵径羃之较恒与两半径羃相乘之数等股羃与句加横径乘句之羃若纵径羃与横径羃矣自纵上端作切法二亦与次法二成句股形其求切交轴之角与单曲之切平分切点距二心之交角故其法亦平分切点距二心之外角任于曲上出二斜抵横径之两端为正余二通弦二通弦对角正切相乘之羃即横径羃约纵径羃之数自横径之中又作二斜与二通弦平行四端皆抵曲命之曰相属径以此二径引而长之任于曲上作纵与一半径平行截其又一半径之引长为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二羃较与纵横径之二羃较恒相等也相属径四端之四切成平行四边形与纵横二径相乘之羃等纵横径四端之四切成长方形作对角二斜引而长之与四曲渐近而永不相合命之曰渐近以横径约纵径即渐近与横径交角之正切矣任与曲上作纵与一渐近平行截其又一渐近为横纵横二相乘之羃恒为中点距心羃四之一引长纵以四曲为界补成平行四边形恒为纵横二径相乘羃二之一任于曲上作切以二渐近为界必平分于切点上之相属径亦与切相等若以股乘半横径与句乘半纵径二羃之和乘讷氏对数二七一八二八二以减句股相乘之羃即所截双曲之面积也

此三曲皆圆锥之分形其离切之率当以合吻圆度之任于曲上作诸圆形与曲同切于一点则圆周之离切半径小者较速半径大者较迟而诸圆形中必有一圆周与曲吻合无间即合吻圆也命圆半径为曲率半径则各点曲率半径之比同于法立方之比法立方为实半通径之平方为法实如法而一即曲率半径也椭圆二心相距之半之为两心差以长半径约之则为椭率置圆周率三一四一五九二六五以长径乘之为实椭率自之为屡乘数递取其四之一十六之三三十六之十五以减实即椭圆体之曲面积也法乘纵而以通径约之于上法加纵而半之以乘讷氏对数加入上位即单曲之长也以通径约圆周率四因三除以乘法次法两立方之较即单曲体之曲面积也椭圆体积等于外切圆柱三之二单曲体积等于外切圆柱二之一单曲面所容最大长方其横径恒为轴三之二圆锥所容最大单曲面其轴恒为斜距四之三引而伸之触类而长之曲之能事毕矣