皇朝经世文续编-清-葛士浚

一得八为递次乘法乃以乘法乘对数根得三四七四三五五八五五二二六一四五为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四一为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负　如是递求得二八四六一九二三为第五数正　一八九七四六为第六数负　一三一为第七数正　九为第八数负　乃诸正数得三四七四四二九九七七六六三九一五一又诸负数得一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得三四六五三二一九五六四八六为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三三四六五三二一九五六四八六为一千零八之对数以系二与八与九叠乘所得乃二八九之三对数得二一五八三六二四九二九五二四九六五三八减之得八四五九八四一四二五六八三二二即七之对数也

用数　　一八

乘法　　八

第一数　三四七四三五五八五五二二六一四五　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　　一三八九七四二三四二九四一　同　　　二　三

三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四

四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三一　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九

正数　　　三四七四四二五九七七六六三九一五一

负数　　　一三八九七八六八一五七四二九一

减得　　　　三四六五三二一九五六四八六

首位加三　　三三四六五三二一九五六四八六

三对数　　二一五八三六二四九二九五二四九六五三八

减得　　　　八四五九八四一四二五六八三二二　七之对数

按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者盖对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也

假如有借数求二十三之对数

法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一三五为二十三之用数减去首位单一得三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得一五二三六八六六六一三八一三四为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得二六六五三七一六五七四一七为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得六二六七九一九七五三四为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五为第四数负　如是递求得四五六一九九二九八三为第五数正　一三三五八一二九为第六数负　三九九一七四三一为第七数正　一二二二四七一为第八数负　三八三二为第九数正　一一九八为第十数负　三八为第十一数正　一为第十二数负　乃并诸正数得一五二六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得一四九四三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三一四九四三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九叠乘所得乃以五与九两对数相得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四即二十三之对数也

用数　　一三五

乘法　　三五

第一数　一五二三六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得

二　　　　　　二六六五三七一六五七四一七　同　　　二　三

三　　　　　　　　六二六七九一九七五三四　同　　　三　四

四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五

五　　　　　　　　　　　四五六一九九二九八三　同　　　五　六

六　　　　　　　　　　　　一三三五八一二九　同　　　六　七

七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八

八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九

九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八三二　同　　　九　十

十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一

十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二

十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正数　一五二六五一八二二四五七一九九五八

负数　二六六一六八四三一六三五四三八一

减得　　一四九四三四九七九二九三六五五七七

首位　　三一四九四三四九七九二九三六五五七七

加三

二与九　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三

对数共

减得　　一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　二十三之对数

按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也

附对数还原

论借用本数

对数为真数之率数而恒以一为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一一何以言之盖用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一一为便也惟诸对数系以一为第一率之率数今用一一为第一率则率数不合矣法先求得一一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一一为本数第一率之率数也

假如以一一为借用本数求其对数为除法

法以对数根降六位得四三四二九四四八一九三三为第一数正　以第一数降六位一乘之二除之得二一七一四七二为第二数负　以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正　乃以第一第三两数相内减第二数得四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也

本数　　一一

乘法　　一

第一数　四三四二九四四八一九三三　乘法乘之一乘二除

二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三

三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　四三四二九四四八一九三四

减得　　四三四二九四二六四七五六二　一一之对数

论借用率数

前言以一一之对数除所设对数为率数而一一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也

求备减表

自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若一一至一九则原数即可递求不必再求用数至一一至一九则递求各数与一一至一九相同止须逐数递降一位减之即得若一一至一九则再降一位减之以后各数并同此法

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

二　　　　　　　　三一二九九九五六六三九八一一九四九

三　　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一

四　　　　　　　　六二五九九九一三二七九六二三八九八

五　　　　　　　　六九八九七四三三六一八八五一

六　　　　　　　　七七八一五一二五三八三六四三六三二

七　　　　　　　　八四五九八四一四二五六八三二二

八　　　　　　　　九三八九九八六九九一九四三五八四七

九　　　　　　　　九五四二四二五九四三九三二四八七四二

一一　　　　　　　四一三九二六八五一五八二二五四一七

一二　　　　　　　七九一八一二四六四七六二四八二六九

一三　　　　　　　一一三九四三三五二三六八三六七六九六

一四　　　　　　　一四六一二八三五六七八二四八二七一

一五　　　　　　　一七六九一二五九五五六八一二四二二

一六　　　　　　　二四一一九九八二六五五九二四七七九六

一七　　　　　　　二三四四八九二一三七八二七三九二七八

一八　　　　　　　二五五二七二五五一三三六六九一

一九　　　　　　　二七八七五三六九五二八二八九六一九

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　　　四三二一三七三七八二六四二五六六五

一二　　　　　　八六一七一七六一九一七五五九八

一三　　　　　　一二八三七二二四七五一七二二四六

一四　　　　　　一七三三三三九二九八七八三五四三

一五　　　　　　二一一八九二九九六九九三八七四四

一六　　　　　　二五三五八六五二六六六八四一二六四

一七　　　　　　二九三八三七七七六八五一九六四二

一八　　　　　　三三四二三七五五四八六九四九七一二

一九　　　　　　三七四二六四九七九四六二三六三三八

一一　　　　　四三四七七四七九三一八六四七

一二　　　　　八六七七二一五三一二二六九一二五

一三　　　　　一三九三三一四一八一一四六

一四　　　　　一七三三七一二八九五二九七

一五　　　　　二一六六六一七五六五七六七六二

一六　　　　　二五九七九八七一九九八六一二二

一七　　　　　三二九四七五五三六一八七

一八　　　　　三四六五三二一九五六四八六

一九　　　　　三八九一一六六二三六九一五二一六

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　　　四三四二七二七六八六二六六九六

一二　　　　八六八五二一一六四八九五七二

一三　　　　一三二六八八五二二七六九

一四　　　　一七三六八三五八四六四九一八七

一五　　　　二一七九二九七二二三二八二

一六　　　　二六四九八五四七三九三四六九

一七　　　　三三八九九七八四八一二四九一九

一八　　　　三四七二九六六八五三六三五四八

一九　　　　三九八六九二四九九一一三一

一一　　　四三四二九二三一四三八四

一二　　　八六八五八二七八六二六三

一三　　　一三二八六三九二八四八九三

一四　　　一七三七一四三一八四九八九二

一五　　　二一七一四一八一二四五一五五一

一六　　　二六五六八八七二一五三九六九

一七　　　三三九九五四九七六一三九八六

一八　　　三四七四二一六八八八四三三三

一九　　　三九八四七四四五八四一六七五

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一一　　四三四二九四二六四七五六二

一二　　八六八五八八九五二一八七

一三　　一三二八八一四九一三八八五

一四　　一七三七一七四四五三二六六四

一五　　二一七一四六六九八八五三三

一六　　二六五七五九七四一五一

一七　　三四五七三三一五七七

一八　　三四七四三四一九五六八七六七

一九　　三九八六三二七四八三八三

假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求借用率数

法置所设对数去首位一得三六一七二七八三六一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得六六九七八四三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得二九三五一五五一九五三八六六四一八又足减一四之对数减得二二七一八一五八九六六六二八七五又足减一五之对数减得一五七五四一四九八六一一三又足减一二之对数减得一八九三九二八四四九六五四一又足减一四之对数减得一五三二四九六五九九八四四九又足减一三之对数减得二二九六一五一八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得五二八七八五九二一二为借用率数也

一三六一七二七八三六一七五九二八七八四　首位减一得

三六一七二七八三六一七五九二八七八四　内减二之对数

三一二九九九五六六三九八一一九四九　减得

六六九七八四三五三六一一六八三五　内减一一之对数

四一二九二六八五一五八二二五四一七　减得

一九三五一五五一九五三八六六四一八　内减一四之对数

一七三三三三九二九八七八三五四三　减得

二二七一八一五八九六六六二八七五　内减一五之对数

二一六八六一七五六五七六七六二　减得

一五七五四一四九八六一一三　内减一二之对数

八六八五二一一六四八九五七二　减得

一八九三九二八四四九六五四一　内减一四之对数

一七三七一四三一八四九八九二　减得

一五三二四九六五九九八四四九　内减一三之对数

一三二八八一四九一三八八五　减得

二二九六一五一八四五六四　以借用本数之对数

四三四二九四二六四七五六二　除之得

五二八七八五九二一二　　　　　　　借用率数

假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真数

法依前求得借用率数五二八七八五九二一二乃以借用本数首位单一下加十九空位得一为第一数正　次以借用本数减去单一得一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七八五九二一二为第二数正　乘法乘第二数又以率数反减一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负　乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正　乃诸正数得一五二八七八五九二一二一内减第三负数得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一三与一四与一二与一五与一四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也

本数　　一一

乘法　　一一

第一数　一　降六位率数乘之得

二　　　　　　　　　五二八七八五九二一二　降六位率数减一乘之二除之得

三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率数减二乘之三除之得

四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

本数　一五二八七八五九二一二一

减得　　一五二八七八四六五六一九二　以一三乘之得

一三五二八七一五一七四四六　以一四乘之得

一四三五二八八五一二一四六七　以一二乘之得

一二四三五三七五五六九七三八六七　以一五乘之得

一五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一四乘之得

一四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位

二三

按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大于单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣

割圜连比例术图解序

董佑诚

元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示盖海甯张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反覆寻绎究其立法之原盖即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢亘求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉

割圜连比例后序

董佑诚

割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于钟祥李氏盖干隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通钓隐探赜杂而不越盖师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元玉监菱草形段果垛叠藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰记之

少广缒凿

夏鸾翔

开平方捷术一

小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

算例

假如平积一百二十一求方根

小初商一□○为一借根　一借根除本积得一□二一为二借根　一二借根半之得一□一五为三借根　三借根除本积得一□○九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根

开平方捷术二

大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

算例

假如平积九十九求方根

大初商一□○为一借根　一借根除本积得□九九为二借根　一二借根半之得□九九五为三借根　三借根除本积得□九九四九七四为四借根　三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根

开诸乘方捷术一

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷

算例

假如平积五十求方根

以□七一之平积五□○四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得□○七四以加一借根得□七七四为二借根　二借积四□九九九五五六减本积余以除法除之得□○六六五以加二借根得□七七一六五为三借根截去末二位得□七七一即方根

开诸乘方捷术二

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止