皇朝经世文续编-清-葛士浚

此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左

一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根

假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求十之二十三乘方根法以借积减本积得一五二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得一六五二九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三为第二数除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四为第三数乘法乘第三数除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六为第五数诸数相得一一六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术

次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四除十之定准对数得四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得五六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三为第三数正乘法乘第三数得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四为第四数负如是求得二七四为第五数正一七三八为第六数负一五为第七数正一三为第八数负一为第九数正诸正数相诸负数以减之得九五九四一四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数四一六六六六六六七以自然对数九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术

一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根

假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得二五为第四数负如是求得二为第五数正一六七为第六数负一四为第七数正一为第八数负诸正数相诸负数以减之得九五三一一八为一一之自然对以上用开方第二术

次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得一五二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六□五五四八六七第二位为单数故志以口为屡次除法合以较积为乘法小借积为除法今以乘法除除法为除法则屡次乘法可以省去置大借积之根单一以除法除之得一五二五五九八为第一数正除法除第一数一乘之二除之得一一六三七五为第二数负除法除第二数二乘之三除之得一一八四为第三数正除法除第三数三乘之四除之得一四为第四数负第一第三数相以第二第四数相减之得一五一四七八为大借积与小借积之自然对数较亦即为大积与小积之自然对数较大小两借积皆寄大积除法为母同一寄母则与原大积小积比例仍同比例同故对数较亦同次置一一之自然对数以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次数加一乘之也得二二八七四四四三二为小积之自然对数以大小两积之自然对数较加之得二三二五八五二为十之自然对数置定准对数单一以十之自然对数除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第四术

代数术序

华蘅芳

代数术二十五卷余与西士傅兰雅所译也傅君本精于此学余亦粗明算法故傅君口述之余笔记之一日数千言不厌其艰苦凡两月而脱稿缮写付梓经年告成爰展阅一过而序之曰数之名始于一而终于九故至十则进其位而仍以自一至九之数名之至百则又进其位而仍以自一至九之数名之如是以至千万亿兆其例一也夫古人造数之时所以必以十纪之者诚以数之多可至无穷若每数各与一名则吾之名必有穷时且纷而无序将不可记忆不如极之于九而以十进其位则举手而示屈指而记虽愚鲁者皆能之故可便于民生日用传之数千百年至今不变也观夫市廛贸易之区百货罗列精粗美恶贵贱之不同则其数殊焉多寡长短大小之不同则其数又殊焉凡欲以其所有易其所无者必握算而计之其所斤斤计较者莫非数也设有人言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变而我立一通法以驭之此中法之天元西法之代数所由作也代数之术其已知未知之数皆代之以字而乘除加减各有记号以为区别可如题之曲折以相赴迨夫层累已明阶级已见乃以所代之数入之而所求之数出焉故可以省算学之工而心亦较逸以其可不藉思索而得也虽然代数之术诚简矣诚便矣试问工此术者遂能不病其繁乎则又不能也夫人之用心日进而不已苟不至昏眊迷乱必不肯中辍故始则因繁而求简及其既简也必更进焉而复遇其繁虽迭代数十次其能免哉由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法而设也若米盐零杂之事而概欲以代数施之未有不为市侩所笑者也至于代数天元之异同优劣读此书者自能知之无待余言也

论四元相消之理

汤金铸

四元之书今所存者以元朱汉卿四元玉监为最古然四元实由天元所推广而天元则宋秦道古数学九章元李镜斋测圆海镜益古演段郭邢台授时厤艹皆着其法今并存唐王又孝通辑古算经所立诸术多与天元四元所衍得者同疑亦据此而作也考九章算术少广章曰借一算为法步之似即立天元一所自始顾天元因借一而立然所借止于一用犹未广故推衍为四元而四元法则悉本方程以为用也盖天元地元即方程之一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色须多一行犹元术多一元即多一式四元之相消无异方程之互乘对减方程对减一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然则对减者方程之转枢而相消者实四元之关键矣夫相消原与常法相减无异而理则有殊盖减则数有大小即有减余之数而相消必两数参差相等消后数有对者汰之无对者列为正负存之故所得必正负相当而等于无数天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者须得相等两如积相消遇寄左数须开平方始与又数等者即又数等于左数之平方根也故以又数自乘即与寄左数相等因自乘必无奇零开方数常不尽故以此通之也或遇左数当以某数除之始与又数等者即又数小于左数若干倍也则以其数乘又数令大若干倍即与左数相等因如积常不受除故以此通之也两数既等即可消为一行得开方式若立二元者既有两如积相消而得一式矣然式中又有两元之和数或较数则两元仍不可知故必更求两如积相消而得又一式乃以此二式相消得开方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行乘右式则二式之最左一行必相同而相消必尽犹方程之互乘对减必减去最上一层也知其必尽故不必乘亦不必减所以省算也如是屡乘屡消以消至一行止为开方式若遇两式中左行之数彼大于此若干倍者可以约率求之不必互乘盖互乘所以齐同今此既小于彼若干倍则依若干倍之即与彼齐同矣遇两式之行数不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇层数高下不同者亦然如右式有数在太上一层左式太下一层始有数可令右式降而从之或以左式升而从之其能任意升降者如以天元一除之或乘之也若立三元则可任意升降而不可任意左右盖地人两元互相牵制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元则牵制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行数层数不齐者必用剔消法驭之剔消之理因各式之数既正负相当则任以一数乘之或除之其相当固不变即其数任分为二各自乘相减所得仍相当不变也故三元法遇各式行数多少不齐即将少行之式直剔为二各自乘而相消则数本为元者可增而为面体及多乘方可与多行之式相消矣四元法遇各式行数层数均不齐者则直剔一式使少行增为多行又横剔一式使少层增为多层亦可与多行多层者相消矣至旧法天物相乘地人相乘得数皆纪于夹缝中式中有此则视其由何数相乘而得者即以其数除而去之若不受除则乘他式以齐之凡此皆不外通分齐同之义而能尽相消之用者也

正负相当等于无数则任以数乘之除之或自乘开方或剔乘相消必仍相当而等于无数作者以此释相消之理良由于四元代数贯彻纯熟故能语必破的

九减法及任用他数减试说

沈善蒸

验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为法实仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九十九九百九十九九千九百九十九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二十七七与七十之较数六十三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八百六十五万五千七百八十四今欲以并代减将各位相并得四十三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也

论海洋深浅之理

沈善蒸

依重心之理而论大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全体各质点皆有吸力各点互吸其力必聚于公重心犹之一重物各质点皆有重率而重心必归于一点也凡万物之有重力皆因地球吸力所致而重力与吸力原非二物故吸力之心即重心无疑所以地面上有物坠下必向地球之公重心而海面恒与重心至地面径线成正交故重心即球心也又因地球以二极为轴每日东转一周而生离心力焉故北半球之垂线俱向重心而稍偏南垂线者即悬线也南半球之垂线俱向重心而稍偏北维赤道与二极地方之垂线直向重心是以地球为微匾形矣今阅地图北半球陆地多于南半球若使海洋深浅略同则北半球地质多于南半球是北半球重而南半球轻其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地没为海南半球之浅海变为陆何能成现在之形状以鄙意度之北半球之海洋应倍深于南半球之海洋故北半球洋面虽少以深补之仍不为少南半球洋面虽多以浅消之仍不为多乃两半球之地质轻重相等而重心亦无偏北之势庶能成现在之形状又大西洋应深于太平洋之理亦然不知此论然否须质诸泰西测海家验以实测方可自信如其不然必因地质有松密北半球地质多而松南半球地质少而密亦能轻重相等可使重心不偏也

质点

韩应陛

欧罗巴人光性论云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以为人之不能分非物之不可分以几何之理言之物虽大合之可至无穷虽微分之可至无穷尺椎之说也而以为物有不可分之地者何也定质质点大水质点小水质点大气质点小气中各类应又分何类质点大何类质点小九与黍大小悬殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴则丸相聚下至尽囷而正盂底穴则黍相聚下至尽盂而止其下之形与水之下之形无以异也顾囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸则丸不得下也盂之穴不大于黍则黍不得下也故丸也黍也以网盛则下以布帛盛则不下布帛以盛水则下陶为密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也比陶为尤密矣质较疏者以盛水水无沁于外以盛油久而油沁于外孔大油粒小也水粒之大大于孔油粒之大不大于孔也据此而知凡物质之有点点之有原度不独定质重流质亦有之则亦可推此而知不独重流质轻流质亦有之轻流质之有质点虽无据岂遂不能更有他器烈以测而知之者乎而今则未有其器可以测而知之者也

极说

韩应陛

凡可论之物有有极者有无极者有两端皆有极者有一端有极一端无极者一端有极一端无极者数也度也数始于一一数之至小也不可更减也故即以是为小极由是而递加加之而至无穷也此小有极大无极者也度终于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是为大极由是而递减减之而至无穷也此大有极小无极者也两端皆有极者南北极是也几何之理是也几何之理始于点终于体点不可减故为小极体不可加故为大极点不但不可减亦不可加使点可加加而为线是点虽不本大而固可使大维其不可加使大故终于点终于小也故为小极也体不但不可加亦不可减使体可减减而为面是体虽不本小而固可使小惟其不可减使小故终于体终于大也故为大极也是两端皆有极者也而几何中线加减不离线递减不及点递加不及面面加减不离面递减不及线递加不及体体加减不离体递减不及面递加减不及他形也是线也面也体也小亦无极也大亦无极也是两端皆无极者也而线以两点为界即以两点为极而两端可引之至无穷是两端皆无极者也面以心一点为心线为界体以重心一点为心面为界心为小极线为大极重心为小极面为大极也而面之心一而已其界之线递加而无穷也递减而无穷也体之重心一而已其界之面递加而无穷也递减而无穷也是又小有极大无极者也一端有极一端无极者也投物水中水之浪层层相生以至无穷投物处极也其层层相生而无穷者无极也声亦然出声处为极声渐远而渐微者无极也光亦然出光处为极光渐远而渐暗者无极也地球之理亦如是也地球以地心为极而水附于土以共为一球气又附于水土以共为一大球地心吸力极大以渐而减地心吸力地质点滞力用足相反也力足相敌也力相敌故相定几何度球面距地心一里吸力几何则等几何度球面距地心加一倍为距二里其吸力必减四倍何也距地心二里球面必四倍大于距地心一里球面也则距地心二里球面质点滞力必四倍大于距地心一里球面质点滞力也夫地心吸力加于地质递加递进以至地面亦加于水递及水面地水之上地心吸力又加风气使地心吸力不加风气则风气之性既自生涨力能推诸点四面散行渐远地心地水向心风气离心方向相反地上气下应生空隙今乃不然足证非是地心吸力加于地质渐远渐减以至地面地面之上又加风气渐远渐减以至无穷何也地面风气涨力有几何重可测而知如以玻璃方器抽出风气外面风气挤逼立碎试问此器不用风气用几何力方能挤碎设云一十六两则风气挤力极小当不能减于一十六两挤力涨力名异实同非有二义地心至地面万五千里据上所云其距倍是为三万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成四两使更倍是为六万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成一两其距递加其力递减递加之数可至无穷递减之数去多存少去三存一终存四一亦自无穷譬如尺椎日取其半万世不竭使不取半日取四三万世之后终存四一是故地心吸力最大渐远渐减以至地面又加风气渐远渐减以至无穷永无尽界地心极也其渐远渐减而无穷者无极也故风气尽界说称风气愈高愈薄涨力愈小涨力能推诸点四面散行渐远地心其方向与地心力对面此言是也至称涨力渐小至与地心力相等风气诸点不复推开而有尽界者其义非是也

繙译航海通书原本

金楷理

是书所列日月行星每日躔度悉照英国都城外之观象台地名固林为志经所定其地在赤道北纬五十一度二十八分三十八秒凡日月星从午迤西旋转复至午为一日所历之太阳平时日月星多寡不同在日则曰太阳日二十四时在月则曰太阴日约二十五时弱即今日过午至明日过午为一日在行星则各有行星日在恒星则有恒星日二十三时五十六分三秒半弱其命时也悉以太阳平时为宗　设太阳为不动则地轴旋转及绕日其方向终古不变月星绕日从地心见其迟速不一成各星日也

测算有平时真时之别按钟表走时平分即太阳之平时日晷测时不平分即太阳真时其理解见译之航海通书

凡钟表宜照平时开准盖真时由测星而得平时以意平分之谓为平时者别于真时也

平时真时之较曰时差每日午正以所差之数列如表

设于一千八百七十年正月初一日在该处测日心正交午所得之午正即为该处真时查其时差为三分五十一秒四零依号加于真时则知日交午之平时为午正三分五十一秒四零也

凡推算必先准定一处为起算之端如此表依英国为准移用他处俱照相距该处之远近为加减相距十五度即差一点钟设同此一时在该处为午正者其西十五度之处尚为午初盖同时太阳不能分居两处之午也

行船表即度时表在该处开准者任至某处欲知该处之时检表即得验诸实测尚须推算其时差以加减之凡算家所定之表宜各照其测处之午为准

常用以夜半子正起至明日子正为一日而中分于午为午前十二点午后十二点此书则以正午起至明日正午止历二十四点为一日如常用在正月初二日午前七点钟四十九分此书则为在正月初一日十九点四十九分也余仿此　每月月终必多列一日即下月初一之数便中比例之用也

每月第一页所列诸数系日心正交该处午时之数其赤道经度自春分点记起日距赤道南北若干度谓之纬度

若干别时求日之赤道经纬度及时差之法当以次行所记之一点较数上求之表所列之数为午正前后一点中日所移之数若算别时之较取距午正折中之处而比其较中之较视下日较数之大小以别加减乃加减于本日较数内即为所求时每点应移之数而与所求时相乘即得其午正后所移之准数以加本日午正如日之赤纬度及时差在退行时则减于本日午正即得所求之数也考其所列之每点较数乃并上下两日之行分乃以两日共四十八点归之即得下日之一点较

设是年正月十六日在该处四点钟时求日之赤道纬度则检表内十六日午正之一点较为二十八秒七六十七日午正之一点较为二十九秒七五两较相减得较中之较为零秒九九以二十四点归之得每点差百分秒之四有奇乃以求午正后四点折半为二点即其中处与百分秒之四有奇相乘约得百分秒之八乃视其下日之较为渐大故加于十六日一点较数上共为二十八秒八四即所求四点时每点应移之赤道纬度乃以四点因之得一分五十五秒四查十六日正交午时在赤道南二十度五十五分五秒视十七日纬度小于十六日则知渐减以减十六日之纬度余为南二十度五十三分十秒即所求四点时之赤道纬度也求经度及时差之法皆仿此

日半径每日过午所历之恒星时因日距赤纬之南北而改变及半径有大小别所历之时因之不等考其测日之过午必测日之外环相切于午加此半径所历之时而得日中心过午之时故设此表也首页时差表为真时改平时之用设是年正月十六日该处真时为午后三点求其平时查正月十六日时差次行一点较为千分秒之八百四十四十七日为千分秒之八百十五则十六日三点之较应为千分秒之八百四十二法见前以三点因之得二秒二六以加十六日时差十分零三秒七五共为十分零六秒二八再加三点得三点十分零六秒二八即所求之平时

四月首页时差表有加有减十五以前为加十五以后为减中有粗画作记每月第二页表为该处平午正时日之赤道经纬度按此表从日之黄道经纬及黄道交角等数算出记真太阳所见处距地球赤道及真春分点之数