九章算术

复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。〕

今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。

〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。

淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕

又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕

开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周，犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多。

淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕

今有积一百八十六万八百六十七尺，〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕

问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答曰：三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？答曰：一百二十四尺太半尺。

开立方〔立方适等，求其一面也。〕

术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。〕

议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕

除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕

复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。〕

以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。〕

复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕

步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。〕

复置议，以一乘中，〔为三廉备幂也。〕

再乘下，〔令隅自乘，为方幂也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕

除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕

复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕

若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母，为法，以报除也。〕

若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。

按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。

“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法，以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。〕

今有积四千五百尺。

〔亦谓立方之尺也。〕

问为立圆径几何？答曰：二十尺。

〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？答曰：一万四千三百尺。

〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径。

〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。

置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。

黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。

倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句，并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二十五尺之面也。

张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑，谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法，然增周太多，过其实矣。

淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而衡规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

规更合四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。按：阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。

凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕

卷五

○商功（以御功程积实）

今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一万二千五百尺。

术曰：穿地四为壤五，〔壤谓息土。〕

为坚三，〔坚谓筑土。〕

为墟四。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕

以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。

〔今有术也。〕

以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之；皆三而一。

〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕

城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

术曰：并上下广而半之，〔损广补狭。〕

以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕

今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？答曰：三尺五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。

〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕

以深、袤相乘，〔为深、袤之立实也。〕

又三之，为法。

〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕

所得，倍之。

〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知，两广全也。〕

减上广，余即下广。

〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。

深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕

今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答曰：一百八十九万七千五百尺：今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？答曰：六千七百七十四尺。

今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰：七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四千三百七十五尺。

春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。

问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。

〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕

以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。

问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。

〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文欲从易，非其常定也。〕

夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。

术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。

以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。

以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十四尺四寸。

一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。

〔以一千人一日功为实。立实为功。〕

并渠上下广而半之，以深乘之，为法。

〔以渠广深之立实为法。〕

实如法得袤尺。

今有方堡壔，〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕

方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二尺。

〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。

淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕

今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

〔此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。

假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，四角阳马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵各二、四角阳马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵阳马各十二，凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四阳马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵也。并之，以为方亭积数也。〕

今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺九分尺之七。

〔于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。

淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕

术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

〔此术周三径一之义。合以三除上下周，各为上下径。以相乘，又各自乘，并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以三而一；今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方幂四乘分母九，得三十六，而连除之。于徽术，当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。

淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕

今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？答曰：七千四十七尺。

术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

〔按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四阳马。如术为之，用十二阳马成三方锥。故三而一，得方锥也。〕

今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。

〔于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。

淳风等按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕

术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

〔按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，令三而一，得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二，得三十六，而连除。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。圆锥比于方锥亦二百分之一百五十七。令径自乘者，亦当以一百五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。

淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕

今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四万六千五百尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

〔邪解立方，得两堑堵。虽复橢方，亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。

推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所以名之为堑堵之说也。〕

今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。