九章算经

荅曰：得二、六十分之四十三。

合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。

〔一０〕今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

荅曰：四十五分之三十一。

〔一一〕又有四分之三，减其三分之一。问余几何？

荅曰：十二分之五。

减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。

〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

〔一三〕又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二。

〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。

〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。

〔一七〕今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？

荅曰：人得一钱、二十一分钱之四。

〔一八〕又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？

荅曰：人得二钱、八分钱之一。

经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

〔一九〕今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

荅曰：三十五分步之十二。

〔二０〕又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？

荅曰：十一分步之七。

〔二一〕又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？

荅曰：九分步之四。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

〔二二〕今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？

荅曰：十八步。

〔二三〕又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？

荅曰：一百二十步、九分步之五。

〔二四〕又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？

荅曰：一亩二百步、十一分步之七。

大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。

〔二五〕今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？

荅曰：一百二十六步。

〔二六〕又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？

荅曰：二十三步、六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

〔二七〕今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

荅曰：九亩一百四十四步。

〔二八〕又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

荅曰：二十三亩七十步。

术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。

〔二九〕今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？

荅曰：一亩一百三十五步。

〔三０〕又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？

荅曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。

〔三一〕今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？

荅曰：七十五步。

〔三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？

荅曰：十一亩九十步、十二分步之一。

术曰：半周半径相乘得积步。

又术曰：周径相乘，四而一。

又术曰：径自相乘，三之，四而一。

又术曰：周自相乘，十二而一。

〔三三〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？

荅曰：一百二十步。

〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

荅曰：五亩六十二步、四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？

荅曰：一亩九十七步半。

〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？

荅曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

荅曰：二亩五十五步。

〔三八〕又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？

荅曰：四亩一百五十六步、四分步之一。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。

九章算术卷第二

粟米

粟米之法：

粟率五十　　　粝米三十

粺米二十七　　凿米二十四

御米二十一　　小●十三半

大●五十四　　粝饭七十五

粺饭五十四　　凿饭四十八

御饭四十二　　菽、荅、麻、麦各四十五

稻六十　　　　豉六十三

飧九十　　　　熟菽一百三半

櫱一百七十五

今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

〔一〕今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？

荅曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

〔二〕今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？

荅曰：为粺米一斗一升、五十分升之十七。

术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

〔三〕今有粟四斗五升，欲为凿米。问得几何？

荅曰：为凿米二斗一升、五分升之三。

术曰：以粟求凿米，十二之，二十五而一。

〔四〕今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？

荅曰：为御米三斗三升、五十分升之九。

术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

〔五〕今有粟一斗，欲为小●。问得几何？

荅曰：为小●二升、一十分升之七。

术曰：以粟求小●，二十七之，百而一。

〔六〕今有粟九斗八升，欲为大●。问得几何？

荅曰：为大●一十斗五升、二十五分升之二十一。

术曰：以粟求大●，二十七之，二十五而一。

〔七〕今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？

荅曰：为粝饭三斗四升半。

术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

〔八〕今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？

荅曰：为粺饭三斗八升、二十五分升之二十二。

术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

〔九〕今有粟八斗六升，欲为凿饭。问得几何？

荅曰：为凿饭八斗二升、二十五分升之一十四。

术曰：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。

〔一０〕今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？

荅曰：为御饭八斗二升、二十五分升之八。

术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

〔一一〕今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？

荅曰：为菽二斗七升、一十分升之三。

〔一二〕今有粟四斗一升、太半升，欲为荅。问得几何？

荅曰：为荅三斗七升半。

〔一三〕今有粟五斗、太半升，欲为麻。问得几何？

荅曰：为麻四斗五升、五分升之三。

〔一四〕今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问得几何？

荅曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。

术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。

〔一五〕今有粟七斗五升、七分升之四，欲为稻。问得几何？

荅曰：为稻九斗、三十五分升之二十四。

术曰：以粟求稻，六之，五而一。

〔一六〕今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？

荅曰：为豉九斗八升、二十五分升之七。

术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

〔一七〕今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？

荅曰：为飧九斗九升。

术曰：以粟求飧，九之，五而一。

〔一八〕今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？

荅曰：为熟菽八斗二升、五分升之四。

术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

〔一九〕今有粟二斗，欲为櫱。问得几何？

荅曰：为櫱七斗。

术曰：以粟求櫱，七之，二而一。

〔二０〕今有粝米十五斗五升、五分升之二，欲为粟。问得几何？

荅曰：为粟二十五斗九升。

术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

〔二一〕今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？

荅曰：为粟三斗七升、二十七分升之一。

术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

〔二二〕今有凿米三斗、少半升，欲为粟。问得几何？

荅曰：为粟六斗三升、三十六分升之七。

术曰：以凿米求粟，二十五之，十三而一。

〔二三〕今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？

荅曰：为粟三十三斗三升、少半升。

术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

〔二四〕今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？

荅曰：为粟一十斗五升、九分升之七。

术曰：以稻求粟，五之，六而一。

〔二五〕今有粝米一十九斗二升、七分升之一，欲为粺米。问得几何？

荅曰：为粺米一十七斗二升、一十四分升之一十三。

术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

〔二六〕今有粝米六斗四升、五分升之三，欲为粝饭。问得几何？

荅曰：为粝饭一十六斗一升半。

术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

〔二七〕今有粝饭七斗六升、七分升之四，欲为飧。问得几何？

荅曰：为飧九斗一升、三十五分升之三十一。

术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

〔二八〕今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？

荅曰：为熟菽二斗三升。

术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

〔二九〕今有菽二斗，欲为豉。问得几何？

荅曰：为豉二斗八升。

术曰：以菽求豉，七之，五而一。

〔三０〕今有麦八斗六升、七分升之三，欲为小●，问得几何？

荅曰：为小●二斗五升、一十四分升之一十三。

术曰：以麦求小●，三之，十而一。

〔三一〕今有麦一斗，欲为大●。问得几何？

荅曰：为大●一斗二升。

术曰：以麦求大●，六之，五而一。

〔三二〕今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？

荅曰：一枚，八钱、九分钱之八。

〔三三〕今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？

荅曰：一个，五钱、四十七分钱之三十五。

经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱。

〔三四〕今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，问斗几何。

荅曰：一斗，三百四十五钱、五百三分钱之一十五。

〔三五〕今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？

荅曰：一丈，一百一十八钱、六十一分钱之二。

〔三六〕今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？

荅曰：一匹，二百四十四钱、一百二十九分钱之一百二十四。

〔三七〕今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？

荅曰：一石，八千三百二十六钱、一百九十七分钱之一百七十八。

经术术曰：以所求率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。

〔三八〕今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？

荅曰：

其四十八个，个七钱。

其三十个，个八钱。

〔三九〕今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？

荅曰：

其二钧八斤，斤五钱。

其一石一十斤，斤六钱。

〔四０〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？

荅曰：

其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。

其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

〔四一〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？

荅曰：

其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。

其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

〔四二〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问各几何？

荅曰：

其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱。

其二十斤九两一铢，斤六十八钱。

〔四三〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？

荅曰：

其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。

其一钧一十斤五两四铢，两五钱。

其率

术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

〔四四〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？

荅曰：

其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。

其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

〔四五〕今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问各几何？

荅曰：

其一千一百四十翭，三翭一钱。

其九百六十翭，四翭一钱。

〔四六〕今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？

荅曰：

其三百枚，五枚一钱。

其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少，实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。

九章算术卷第三

衰分

衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。

〔一〕今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？

荅曰：

大夫得一鹿、三分鹿之二。

不更得一鹿、三分鹿之一。

簪裹得一鹿。

上造得三分鹿之二。

公士得三分鹿之一。

术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。

〔二〕今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：「我羊食半马。」马主曰：「我马食半牛。」今欲衰偿之，问各出几何？

荅曰：

牛主出二斗八升、七分升之四。

马主出一斗四升、七分升之二。

羊主出七升、七分升之一。

术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

〔三〕今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？

荅曰：

甲出五十一钱、一百九分钱之四十一。

乙出三十二钱、一百九分钱之一十二。

丙出一十六钱、一百九分钱之五十六。

术曰：各置钱数为列衰，副并为法，以百钱乘未并者，各自为实，实如法得一钱。

〔四〕今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？

荅曰：

初日织一寸、三十一分寸之十九。

次日织三寸、三十一分寸之七。

次日织六寸、三十一分寸之十四。

次日织一尺二寸、三十一分寸之二十八。

次日织二尺五寸、三十一分寸之二十五。

术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法，以五尺乘未并者，各自为实，实如法得一尺。

〔五〕今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？

荅曰：

北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。

西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。

南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。

术曰：各置算数为列衰，副并为法，以所发傜人数乘未并者，各自为实，实如法得一人。

〔六〕今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？

荅曰：

大夫出一斗、四分斗之一。

不更出一斗。

簪褭出四分斗之三。

上造出四分斗之二。

公士出四分斗之一。

术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰，副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

〔七〕今有禀粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。问各几何？

荅曰：

三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。

二人，人得七斗六升、十三分升之十二。

术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者，各自为实。实如法得一斛。

返衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。

〔八〕今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？

荅曰：

大夫出八钱、一百三十七分钱之一百四。

不更出一十钱、一百三十七分钱之一百三十。

簪褭出一十四钱、一百三十七分钱之八十二。

上造出二十一钱、一百三十七分钱之一百二十三。

公士出四十三钱、一百三十七分钱之一百九。

术曰：置爵数各自为衰，而返衰之，副并为法。以百钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。

〔九〕今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？

荅曰：

甲二升、一十分升之七。

乙四升、一十分升之五。

丙一升、一十分升之八。

术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰、而返衰之，副并为法。