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几何原本

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丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比例若三乙丁丙与四己辛庚也【五卷界说六】

次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦倍大于己戊庚【三卷二十】即乙丁丙与己辛庚两角之比例若乙甲丙与己戊庚两角矣【五卷廿五】则乙甲丙与己戊庚在界乗圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也【五卷十一】若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显【用地当角说见三卷廿増题】

后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等【三卷廿七】即两角亦等而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等【乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四】次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬两分圜形等【一卷四】则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣【五卷界说六】是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小

皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也【五卷界说六】一系在圜心两角之比例皆若两分圜形

二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分

丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之靣故因其义类増益数题用补阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也

今増题圜与圜为其径与径再加之比例

解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲

乙丙与丁戊己为甲丙与丁

己再加之比例

论曰如云不然当言甲乙丙

圜与小于丁戊己之庚辛壬

圜或大于丁戊己之癸子丑

圜为甲丙与丁己再加之比

例也【五卷界说二十増】若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉为偶数又等而全不至内圜也【四卷十六补题】次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形与丁戊己圜内切形相似【四卷十六补题可推】其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午乙寅丙相似之两多邉形则为两相似邉再加之比例也【本篇二十】而甲丙与丁己两线为两形之相似邉据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与

甲乙丙两圜之比例为丁己

与甲丙两径再加之比例也

设他圜干兊离令癸子丑与

甲乙丙之比例若丁戊己与

干兊离【五卷界说増】则丁戊己与

干兊离两圜亦宜为丁己与

甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之比例乎【前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例】夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为其元两径再加之比例

一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等葢诸比例皆两径再加之比例故二系三边直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等【本篇卅一可推】

三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者【本篇十九二十之系可推】

一増题直线形求减所命分其所减所存各作形

与所设形相似而体势等

法曰如甲直线形求减三分之一其所减所存各作形与所设乙形相似而体势等先作丙丁形与甲等与乙相似而体势等【本篇廿五】次任于其一邉如丙戊上

作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚戊次从庚作己庚为丙戊之垂线【本篇九】次作己丙己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各与丙丁相似而体势等【本篇十八】即所求

论曰丙己戊角形既负半圜为直角【三卷卅一】即丙丁直线形与己辛己壬相似之两形并等【本篇卅】而于等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形既相似【本篇八】即丙庚与庚己之比例若丙己与己戊也【本篇四】夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例【本篇八之系】而己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似邉再加之比例【本篇十九二十】即丙庚与庚戊两线之比例若己辛与己戊两形也【两比例为两同理比例之再加故】合之则丙戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己壬而己壬为等甲之丙丁三分之一

若直线形求减之不论所减所存何形其法更易

如甲形求减三分之一先作乙丙平

行线形与甲等【一卷四一】次分乙丁为三

平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一【本篇一】今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形邉

余法同前如上图

又今附依此法可方一初月形【方初月形者谓作直角方形与初月形等】如甲乙丙丁圜其界上有附圜

四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形【三卷六】次用方形法四平分之即其一为所求方形与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等

【本増题之今附】甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙

戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜界上四初月形并等

二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁相似而体势等【本篇廿五】次以两形相似之各一邉如戊己乙丙为前中率线而求其连比例之末率线为辛壬【本篇十一】末于

辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等【本篇十八】即所求

论曰戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三形相似而体势等者亦为连比例【本篇廿二】

今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当形邉依上法作之

三増题三直线形求别作一直线形为断比例法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等与乙丁相似而体势等【本篇廿五】次以三形之任各一邉如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率

线为寅夘【本篇十二】末于寅夘上作寅夘

辰形与己庚辛相似而体势等【本篇十八】即所求

论曰四线既为断比例即其线上形

相似而体势等者亦为断比例【本篇廿二】

今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当形邉依上法作之

四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁

相似而体势等【本篇廿五】次求戊己乙丙

两直线连比例之中率为辛壬【本篇十三】末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙

丙上形相似而体势等【本篇十八】即所求

论曰戊己辛壬乙丙三线既为连比例即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形亦为连比例【本篇廿二】

又法曰甲乙两直线形求别作一形为

连比例之中率先作丁丙己戊平行线形任直斜角与甲等【一卷四五】次作庚戊壬辛平行线形与乙等与丁己形相似而体势等【本篇廿五】次置两平行线形以戊角相聨而丁戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直

线【一卷十五増】末从两形引长各邉成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁己庚壬两形之中率论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与己戊之比例若戊壬与戊庚也更之即丁戊与戊壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中率矣

又论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即同依丙辛对角线【本篇廿六】而子戊戊癸两余方形自相等则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形何者此两比例皆若丁戊与戊壬也则子戊戊癸皆丁己庚壬之中率也

今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜径当形邉依上前法作之

五増一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与

丙线之比例先作戊己庚辛直线形

与甲等与丁相似而体势等【本篇廿五】次

任用其一邉如戊辛两分之于壬令

戊壬与壬辛之比例若乙与丙也【分法】

【先以乙丙两线联为一直线次截戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十】次于戊辛上作戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛线相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸癸夘寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等【本篇十八】即此两形并与甲等又各与丁相似而体势等其比例又若乙与丙

论曰戊癸辛既负半圜为直角【三卷卅一】即戊子癸寅两形并与等戊庚之甲等【本篇卅一】又戊壬与壬癸之比例若戊癸与癸辛【俱在直角两旁故见本篇四】戊壬壬癸壬辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】而戊子与癸寅两形亦为戊癸与癸辛两相似邉再加之比例【本篇二十】则戊壬与壬辛之比例亦若戊子与癸寅也【两比例为两同理比例之再加故】夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅亦若乙与丙也

今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何亦以圜径当形邉依上法作之

六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例

法曰甲直线形求分作两直线形

俱与所设丁形相似而体势等其

两分形两相似邉之比例若所设

两几何如乙线与丙线之比例先

以乙与丙两线求其连比例之末

率为戊【本篇十一】次作己庚辛直线形与甲等与丁相似而体势等次任用其一邉如己辛两分之于壬令己壬与壬辛之比例若乙与戊也【本篇十】次于己辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之垂线次作己癸癸辛两线相聨未于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相似邉之比例若乙与丙

论曰己癸辛既负半圜为直角【三卷卅】即己子癸癸丑辛两形并与等己庚辛之甲等【本篇卅一】又己壬与壬癸之比例若己癸与癸辛【俱在直角两旁故见本篇四】己壬壬癸壬辛三线为连比例即己壬与壬辛为己壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】夫己壬与壬癸之比

例既若己子癸癸丑辛两形相似

邉之己癸与癸辛而乙与戊元若

己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙

再加之比例则己癸癸辛之比例

若乙与丙

今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所所设两几何仿此

七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等

法曰甲乙两直线形求并作一形与

所设丙形相似而体势等先作戊丁

己形与甲等作己庚辛形与乙等又

各与丙相似而体势等【本篇廿五】次置两

形令相似之戊己己辛两邉聨为直

角次作戊辛线相聨末依戊辛线作戊辛壬与丙相似而体势等即与上两形并等【本篇卅一】如所求又法曰作一平行方形与甲乙两形并等【一卷四五】次作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体势等即所求

今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形邉依上法作之

八増题圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视

解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊题言所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙

戊若戊丁与戊丙也

论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等【三卷卅五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】

九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率

解曰甲乙丙丁圜外任取戊防从戊作戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也

又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也

论曰试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等【三卷卅六】又戊丁偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲两矩内直角形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】又戊丙偕戊乙

戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方形等【三卷卅六】即戊丙戊己戊乙三线为连比例戊丁戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与其规外线之各中率【本篇十七】

十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视

解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为

钝角即如前图两垂线当至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也

题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也

论曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两角各等【两为直角两于前圗为交角于后圗为同角故】即两形为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也【本篇四】更之则甲乙与乙丙若丁乙

与乙戊也

又论曰依前圗可推后图之甲丁丙戊交而相分于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲己戊丙己丁既为等角形即甲己与己戊若丙己与己丁也【本篇四】更之则甲己与丙己若己戊与己丁也

十一増题平行线形内两直线与两邉平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相

与为比例皆等

论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形【本篇一】又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也【五卷十二】依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也

十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等

解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁

与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形【本篇一】即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也

十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例

先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙上任取一防为丁求从丁作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何如戊线与己线之比例先以乙丙线

两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己【本篇十】其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁与丁丙两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也【本篇一】是丁甲线所分两形之比例若戊与己

次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛甲无法四邉形与丁

丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若甲乙丙与丙辛丁也【五卷七】分之则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形也【五卷十七】乙庚甲与丙庚甲两角形之比例既若乙庚与庚丙【本篇一】则乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也

后法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无

法四邉之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形之比例若甲乙丙与乙辛丁也【五卷七】分之则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若丁丙甲辛无法四邉形与乙辛丁角形也【五卷十七】反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形

之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四邉形也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙【本篇】则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉形之比

例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也

系凡角形任于一邉任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也

十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例法曰甲直线形求别作直线形相似而体势等其

甲形与所作形小大之比例若所设

两几何如乙与丙两线之比例先以

乙丙及任用甲之一邉如丁戊三线

求其断比例之末率为己【本篇十二】次求

丁戊及己之中率线为庚辛【本篇十三】末

从庚辛上作壬直线形与甲相似而

体势等即甲与壬之比例若乙与丙

论曰丁戊庚辛己三线为连比例即

一丁戊与三己之比例若相似而体

势等之甲与壬【本篇十九二十之系】

若先设大甲求作小壬若乙与丙其

法同如上圗

用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等

有用法作直角方形平行线形及各形之相加相减者如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平分于己次以己为心甲戊为界作甲庚

戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五倍大于甲丙向者乙庚既为戊乙乙甲之中率线【本篇十三之系】即一戊乙与三乙甲之比例若二庚乙上直角方形与三甲乙上直角方形之比例也【本篇二十之系】戊乙既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙

之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙三分之一相加相减仿此以至无穷如甲乙丙丁平行直角形求别作二倍大之他形相似而体势等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至

戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以

甲戊两平分于己次以己为心甲戊

为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行

遇圜界于庚即乙庚为所求直角形

之一邉也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长之与辛壬线遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例【本篇十三之系】如前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形甲丙也【本篇二十之系】戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二倍于甲丙

用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷

今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷

以上用法与本増题同但此用法随作随得中率线不费寻求致为简易耳

十五増题诸三角形求作内切直角方形

法曰如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从

甲角作甲丁为乙丙之垂线次

以甲丁线两分于戊令甲戊与

戊丁之比例若甲丁与乙丙【本篇

十一増题】末从戊作己庚线与乙丙

平行从己从庚作己辛庚壬两

线皆与戊丁平行即得己壬形

如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线余法同【如第二第三圗是】