几何原本

交加

线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等【本篇卄九】又甲丁线上下两角形之甲乙丙丁两边既等甲丁同边则对乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等【本篇卄九】而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也【本篇四】此两角者甲丙乙丁之内相对角也两角既等则甲丙乙丁两线必平行【本篇廿七】

第三十四题

凡平行线方形每相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分

解曰甲乙丁丙平行方形【界説三五】题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角乙甲丙与丙丁乙两角各等又言若

作甲丁对角线即分本形为两平分

论曰甲乙与丙丁既平行则乙甲丁与丙丁甲相对之两内角等【本篇廿九】甲丙与乙丁既平行则乙丁甲与丙甲丁相对之两内角等【本篇廿九】甲乙丁角形之乙甲丁乙丁甲两角与甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两角既各等甲丁同边则甲乙与丙丁甲丙与乙丁俱等也而丙角与相对之乙角亦等矣【本篇廿六】又乙丁甲角加丙丁甲角与丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙甲丙与丙丁乙相对两角亦等也【公论二】又甲乙丁甲丁丙两角形之甲乙乙丁两边与丁丙丙甲两边各等腰间之乙角与丙角亦等则两角形必等【本篇四】而甲丁线分本形为两平分

第三十五题

两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙巳两平行方形同丙丁底题言此两形等等者不谓腰等角等谓所函之地等后

言形等者多仿此

先论曰设己在甲戊之内其丙丁戊甲与丙丁乙己皆平行方形丙丁同底则甲戊与丙丁巳乙与丙丁各相对之两边各等【本篇三四】而甲戊与己乙亦等【公论一】试于甲戊己乙两线各减己戊即甲己与戊乙亦等【公论三】而甲丙与戊丁元等【本篇三四】乙戊丁外角与己甲丙内角又等【本篇廿九】则乙戊丁与己甲丙两角形必等矣【本篇四】次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也【公论二】次论曰设己戊同防依前甲戊与戊乙等乙戊丁与戊甲丙两角形等【本篇四】而每加一戊丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行方形必等【公论二】

后论曰设己防在戊之外而丙己与戊丁两线交于庚依前甲戊与己乙两线等而每加一戊己线即戊乙与甲己两线亦等【公论二】因显己甲丙与乙戊丁两角形亦等【本篇四】次每减一己戊庚角形则所存戊庚丙甲与乙己庚丁两无法四边形亦等【公论三】次于两无法形每加一庚丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁

乙己两平行方形必等【公论二】

第三十六题

两平行线内有两平行方形若底等则形亦等

解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底等题言两形亦等

论曰试自丙至庚戊至乙各作直线相联其

丙戊庚乙各与辛丁等则丙戊与庚乙亦等【本篇卅四】庚乙与丙戊既平行线则庚丙与乙戊亦平行线【本篇卅三】而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者等矣【本篇三五】庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚乙底者亦等矣【本篇三五】既尔则庚辛丁乙与甲丙戊己亦等【公论一】

第三十七题

两平行线内有两三角形若同底则两形必等

解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两角形同丙丁底题言两形必等

论曰试自丁至戊作直线与甲丙平行次自

丁至己作直线与乙丙平行【本篇三一】夫甲丙丁戊乙丙丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行线内同丙丁底既等【本篇三五】则甲丙丁角形为甲丙丁戊方形之半与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之半者【甲丁乙丁两对角线平分两方形见本篇卅四】亦等【公论七】

第三十八题

两平行线内有两三角形若底等则两形必等

解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊与乙己丁两角形而丙戊与己丁两底等题言两形必等

论曰试自庚至戊辛至丁各作直线与甲丙乙己平行【本篇卅一】其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等【本篇卅六】则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者【本篇卅四】亦等【公论七】

増凡角形任于一边两平分之向对角作直线即分本形为两平分

论曰甲乙丙角形试以乙丙边两平分于丁【本篇十】自丁至甲作直线即甲丁线分本形为两平分何者试于甲角上作直线与乙丙平行【本篇卅一】则甲乙丁甲丁丙两角形在两平行线内两底等两形亦等【本题】

二増题凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分

法曰甲乙丙角形从丁防求两平分先自

丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊【本篇十】作戊己线与甲丁平行【本篇卅一】末作己丁直线即分本形为两平分

论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在两平行线内同己戊底者等而每加一己戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等【公论二】夫甲戊丙为甲乙丙之半【本题増】则己丁丙亦甲乙丙之半

第三十九题

两三角形其底同其形等必在两平行线内

解曰甲乙丙与丁丙乙两角形之乙丙底同其形复等题言在两平行线内者葢云自甲至丁作直线必与乙丙平行

论曰如云不然令从甲别作直线与乙丙平行【本篇卅一】必在甲丁之上或在其下矣设

在上为甲戊而乙丁线引出至戊即作戊丙直线是甲乙丙宜与戊丙乙两角形等矣【本篇卅七】夫甲乙丙与丁丙乙既等而与戊丙乙复等是全与其分等也【公论九】设在甲丁下为甲己即作己丙直线是己丙乙与丁丙乙亦等如前驳之

第四十题

两三角形其底等其形等必在两平行线内

解曰甲乙丙与丁戊己两角形之乙丙与戊己两底等其形亦等题言在两平行线内者葢云自甲至丁作直线必与乙己平

行

论曰如云不然令从甲别作直线与乙己平行【本篇卅一】必在甲丁之上或在其下矣设在上为甲庚而戊丁线引出至庚即作庚己直线是甲乙丙宜与庚戊己两角形等矣【本篇三八】夫甲乙丙与丁戊己既等而与庚戊己复等是全与其分等也【公论九】设在甲丁下为甲辛即作辛己直线是辛戊己与丁戊己亦等如前驳之第四十一题

两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形

解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁戊方形乙丁丙角形同丙丁底题言方形倍大于角形

论曰试作甲丁直线分方形为两平分则甲丙丁与乙丁丙两角形等矣【本篇卅七】夫甲丙丁戊倍大于甲丙丁【本篇卅三】必倍大于乙丁丙

第四十二题

有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等

法曰设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊【本篇十】次作丙戊己角

与丁角等【本篇廿】次自甲作直线与乙丙平行【本篇卅一】而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为丙庚【本篇卅一】而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等

论曰试自甲至戊作直线其甲戊丙角形与己戊丙庚平行方形在两平行线内同底则己戊丙庚倍大于甲戊丙矣【本篇四一】夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙【本篇卅八増】即与己戊丙庚等【公论六】

第四十三题

凡方形对角线旁两余方形自相等

解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两余方形【界説卅六】必等

论曰甲乙丙甲丙丁两角形等【本篇卅四】甲戊庚甲庚辛两角形亦等【本篇卅四】而于甲乙丙减甲戊庚于甲丙丁减甲庚辛则所存乙丙庚戊与庚丙丁辛两无法四边形亦等矣【公论三】又庚壬丙己角线方形之庚丙己庚丙壬两角形等【本篇三四】而于两无法四边形每减其一则

所存乙壬庚戊与庚己丁辛两余方形安得不等【公论三】第四十四题

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等

法曰设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等【本篇四二】次于庚己线引长之作己辛线与甲等次作辛壬线与戊己平行【本篇三一】次于丁戊引长之与辛壬线遇于壬

次自壬至己作对角线引出之又自丁庚引长之与对线角遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求

论曰此方形之己辛线与甲等而辛己丑角为戊己庚之交角【本篇十五】则与丙等又本形与戊己庚丁同为余方形等【本篇四三】则与乙角形等

第四十五题

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等

法曰设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角【本篇四二】次于

戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等而有丁角【本篇四四】末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角【本篇四四】即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至无穷俱仿此法

论曰戊己庚与辛庚癸两角等而每加一己庚辛角即辛庚癸己庚辛两角定与己庚辛戊己庚两角等夫己庚辛戊己庚是两平行线内角与两直角等也【本篇廿九】则己庚辛辛庚癸亦与两直角等而己庚庚癸为一直线也【本篇十四】又戊辛庚与戊己庚两对角等而辛壬癸与辛庚癸两对角亦等则戊己庚辛庚辛壬癸皆平行方形也【本篇卅四】壬癸子丑依此推显【本篇三十】即与戊己癸壬并为一平行方形矣

増题两直线形不等求相减之较几何

法曰甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等【本题】即得辛

庚戊己为相减之较矣何者丁丙己戊之大于丁丙辛庚较余一辛庚戊己也则甲大于乙亦辛庚戊己也

第四十六题

一直线上求立直角方形

法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等

【本篇十一】次作丁丙线相联即甲乙丙丁为直角方形论曰甲乙两角俱直角则丁甲丙乙为平行线【本篇廿八】此两线自相等则丁丙与甲乙亦平行线【本篇三三】而甲乙丙丁四线俱平行俱相等又甲乙俱直角则相对丁丙亦俱直角【本篇卅四】而甲乙丙丁定为四直角方形第四十七题

凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等

解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙边上作乙丙丁戊直角方形【本篇四六】题言此形与甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上所作甲丙辛壬两直角方形并等论曰试从甲作甲癸直线与乙戊丙丁平行【本篇卅一】分乙丙边于子次自甲至丁至戊各作直线末自乙至辛自丙

至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本篇十四】依显乙甲甲壬亦一直线又丙乙戊与甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等【公论二】依显甲丙丁与乙丙辛两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与丙乙己角形之己乙乙丙两边等甲乙戊与丙乙己两角复等则对等角之甲戊与丙己两边亦等而此两角形亦等矣【本篇四】夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形【本篇四一】而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则甲乙己庚不与乙戊癸子等乎【公论六】依显甲丙辛壬直角方形与丙丁癸子直角形等则乙戊丁丙一形与甲乙己庚甲丙辛壬两形并等矣

一増凡直角方形之对角线上作直角方形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之

甲丙线上作直角方形倍大于甲乙丙丁形二増题设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等

法曰先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁线与乙等次作戊丁线相聨末

于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁两腰遇于己【公论十一】而等【本篇六】即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形并等

论曰己丁戊己戊丁两角既皆半于直角则丁己戊为直角【本篇卅二】而对直角之丁戊线上所作直角方形与两腰线上所作两直角方形并等矣【本题】己戊与己丁既等则其上所作两直角方形自相等矣又丁戊线上所作直角方形与丙丁丙戊线上所作两直角方形并既等则己戊己丁上两直角方形并与丙戊丙丁上两直角方形并亦等三増题多直角方形求并作一直角方形与之等法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形并等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线

旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线题言己子线上所作直角方形即所求

论曰己辛上作直角方形与甲乙两形并等【本题】己壬上作直角方形与己辛及丙两形并等余仿此推显可至无穷

四増三边直角形以两边求第三边长短之数

法曰甲乙丙角形甲为直角先得甲乙甲

丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与乙丙上所作直角方形等【本题】则甲乙之羃【自乘之数曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此　此

以开方尽实者为例其不尽实者自具筭家分法

第四十八题

凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角

解曰此反前题如甲乙丙角形其甲丙边上所作直角方形与甲乙乙丙边上所作两直

角方形并等题言甲乙丙角必直角

论曰试于乙上作甲乙丁直角而乙丁与乙丙两线等次作丁甲线相联其甲乙丁既直角则甲丁上直角方形与甲乙乙丁上两直角方形并等【本篇四七】而甲乙乙丁上两直角方形并与甲乙乙丙上两直角方形并又等【甲乙同乙丁乙丙等故】即丁甲上直角方形与甲丙上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁两腰与甲乙丙角形之甲乙乙丙两腰既等而丁甲甲丙两底又等则对底线之两角亦等【本篇八】甲乙丁既直角即甲乙丙亦直角

几何原本卷一

钦定四库全书

几何原本卷二之首

西洋利玛窦译

界説二则

第一界

凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度今别作戊线已线与甲乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小之度则戊偕已两线为直角形之矩线此例与筭法通如上图一边得三一边得四相乘得十二则三偕四两边为十二之矩数

凡直角诸形之内四角皆直故不必更言四边及平行线止名为直角形省文也

凡直角诸形不必全举四角止举对角二字即指全形如甲乙丙丁直角形止举甲丙或乙丁亦省文也第二界

诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形

甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙对角线从庚点作戊己辛壬两线与方形边平行而分本形为四方形其辛己庚乙两形为余方形辛戊己壬两形为角线方形【一卷界説三六】两余方形任偕一角线方形为磬折形如辛己庚乙两余方形偕己壬角线方形同在癸子丑圜界内者是癸子丑磬折形也用辛戊角线方形仿此

几何原本卷二之首

钦定四库全书

几何原本卷二

西洋利玛窦撰

第一题

两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内诸直角形并等

解曰甲与乙丙两线如以乙丙三分之为乙丁丁戊戊丙题言甲偕乙丙矩线内直

角形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩线内直角形并等

论曰试作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩线内【作法于乙界作庚乙丙界作己丙两垂线俱与甲等为平行次作庚己直线与乙丙平行】次于丁戊两点作辛丁壬

戊两垂线与庚乙己丙平行【一卷卅三】其辛丁与庚乙壬戊与己丙既平行则辛丁与壬戊亦平行而辛丁壬戊与己丙等即亦与甲等【一卷卅四】如此则乙辛直角形在甲偕乙丁矩线内丁壬直角形在甲偕丁戊矩线内戊己直角形在甲偕戊丙矩线内并之则三矩内直角形与甲偕乙丙两元线矩内直角形等

注曰二卷前十题皆言线之能也【能者谓其上能为直角形也如十尺线其上能为百尺方形之类】其説与筭数最近故九卷之十四题俱以数明此十题之理今未及详因题意难显畧用数明之如本题设两数当两线为六为十以十任三分之为五为三为二六乘十为六十之一大实与六乘五为三十及六乘三为十八六乘二为十二之三小实并等

第二题

一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并等

解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙两矩线内直角形并等

论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形从丙点作己丙垂线与甲戊乙丁平行【一卷卅一】其甲戊与甲乙既等【一卷卅四】则甲己直角形在甲乙甲丙矩线内乙丁与甲乙既等则丙丁直角形在甲乙丙乙矩线内而此两形并与甲丁直角方形等

又论曰试别作丁线与甲乙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙上直角方形】与甲丙偕丁丙乙偕丁两矩线内直角形并等

【本篇一】

注曰以数明之设十数任两分之为七为三十乘七为七十及十乘三为三十之两小实与十自之百一大羃等

第三题

一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等

解曰甲乙线任两分于丙题言元线甲乙任偕一分线如甲丙矩内直角形【不论甲丙为长分为短分】与分余丙乙偕甲丙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等论曰试作甲丁直角方形从乙界作乙巳垂线与甲戊平行【一卷卅一】而于戊丁引

长之遇于己其甲戊与甲丙等则甲己直角形在元线甲乙偕一分线甲丙矩内丙丁与甲丙等则丙己直角形在一分线甲丙偕分余线丙乙矩内而甲己直角形与甲丙丙乙矩线内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等

又论曰试别作丁线与一分线甲丙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形【即甲乙偕甲丙矩线内直角形】与丁偕丙乙【即甲丙偕丙乙】丁偕甲丙【即甲】

【丙上直角方形】两矩线内直角形并等【本篇一】

注曰以数明之设十数任两分之为七为三如前图则十乘七为七十与七乘三之实二十一及七自之羃四十九并等如后图十乘三为三十与七乘三之实二十一及三之羃九并等

第四题

一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内两直角形并等

解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙线上直角方形与甲丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙

偕甲丙矩线内两直角形并等

论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形次作乙戊对角线次从丙作丙己线与乙丁

平行遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行而分本形为四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊两边等而甲乙戊与甲戊乙两角亦等【一卷五】夫甲乙戊形之三角并与两直角等【一卷卅二】而甲为直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角【一卷卅之二系】依显丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙两角亦皆半直角则戊己庚外角与内角丁等为直角【一卷卅九】而己戊度既半直角则己庚戊等为半直角矣角既等则己庚己戊两边亦等【一卷六】庚辛辛戊亦等【一卷卅四】而辛巳为直角方形也依显丙壬亦直角方形也又庚辛与甲丙两对边等【一卷卅四】而乙丙与庚丙俱为直角方形边亦等则辛己为甲丙线上直角方形丙壬为丙乙线上直角方形也又甲庚及庚丁两直角形各在甲丙丙乙矩线内也则甲丁直角方形与甲丙丙乙两线上两直角方形及两线矩内两直角形并等矣

系从此推知凡直角方形之角线形皆直角方形又论曰甲乙线既任分于丙则元线甲乙上直角方形与元线偕各分线矩内两直角形并等【本篇二】又甲乙偕甲丙矩线内直角形与甲丙偕

丙乙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等【本篇三】甲乙偕丙乙矩线内直角形与丙乙偕甲丙矩线内直角形及丙乙上直角方形并等【本篇三】则甲乙上直角方形与甲丙丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等

注曰以数明之设十数任两分之为七为三十之羃百与七之羃四十九三之羃九及三七互乘之实两二十一并等

第五题

一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内直角形及分内线上直角方形并与平分半线上直角方形等

解曰甲乙线两平分于丙又任两分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩线内直角形及分内线丙丁上直角方形并与丙乙线上直角方形等

论曰试于丙乙线上作丙己直角方形次作乙戊对角线从丁作丁庚线与乙己平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙乙平行次从甲作甲子线与丙戊平行末从壬癸线引长之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形【本篇四之系】而辛丁与丁乙两线等【一卷卅四】癸辛

与丙丁两线等则甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩线内而癸庚为分内线丙丁上直角方形也今欲显甲辛直角形及癸庚直角方形并与丙己直角方形等者于丙辛辛己相等之两余方形【一篇四三】每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲癸与丙壬两形同在平行线内又底等即形亦等【一卷卅六】则甲癸与丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形岂不与丙巳直角方形等也而甲辛癸庚两形并亦与丙己等也则甲丁丁乙矩线内直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形等