历算全书

分乘之以半昼分除之便知今距午之地应分得差数凡几许而今已距午几许则此所有之差已不可用故以减原得泛差数而知其尚余几许之差为定差也盖于天则冬至夏至之黄道为南北于地则加时在正子午为南北今泛差之数近二至则多近二分则少是以天之南北而差也定差之数近午正则多近日出没时刻则少是以加时之南北而差也故曰南北差　月自黄道北出黄道南谓之正交即经所谓交前隂厯交后阳厯也月自黄道南入黄道北谓之中交即经所谓交后隂厯交前阳厯也　其南北泛差不及减反减者此带食出入方有之何也此必是食甚定分在日入分已上或日出分已下则其距午定分多于半昼分故乘除后得数亦多于泛差也不则以多除以少乘其数且不能泛差相等况能多于泛差乎愚故断其为带食也泛差数少不及减是距午定分已过于半昼是在夜刻故反算其距子之数夫距子与距午其盈缩南北逺近幷旁视仰视之理正相反故加者减之减者加之以为定差也

推东西泛差度法

置所推食甚入盈缩厯行定度就为初限也去减半嵗周余为末限也以初末二限互相乘之【百度定四子十度定三子言十定一是也】得数复以一千八百七十度【去三子】为法除之【不满法去一子除过定有四子为度三子为十分】即得所推东西泛差也

推东西定差度法

置所推东西泛差全分【度定四子千定三子】以所推距午定分【千定三子百定二子】为法乘之【言十定一】得数以二千五百度【去三子】为法除之【不满法去一子除过定有四子为度三子为十分】视所推如在东西泛差已下者就为东西定差度分也如在已上者倍其泛差内减去得数余为东西定差度分也　又视其盈缩厯及中前中后分与正交中交限度若是盈厯中前缩厯中后者正交为减差中交为加差也若是盈厯中后缩厯中前者正交为加差中交为减差也

按东西差即古所谓刻差也易其名曰东西者其差只在东西也于天则近二分之黄道为东西于地则近卯酉之时刻为东西盖日行在二至前后其势平直日行在二分前后则其黄道与赤道纵横相交其势斜径当其斜径加时又在卯酉则有差也假如春分日在盈厯九十余度其黄道之交于赤道自南而北势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道横也加时中后则是赤道倚而黄道纵也又如秋分日在缩厯九十余度其黄道之交于赤道自北而南势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道纵与盈厯中后仝也加时中后则是赤道倚而黄道横与盈厯中前仝也黄道纵立于夘酉月道之出入亦从而纵正面视之绳直相当其日内月外相去之中间人所见者少意与南北差缩初盈末正在人顶者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期迟四度有竒其入黄道北而为中交也较常期早四度有竒此盈厯中后缩厯中前皆于正交以差加中交以差减也黄道横偃于夘酉月道之出入亦从而横人在赤道之北斜而望之其日内月外相去之中间皆得而见意与南北差盈初缩末横偃南上渐近于地者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期早四度有竒其入黄道北而为中交也较常期迟四度有竒此盈厯中前缩厯中后皆于正交以差减中交以差加也若盈缩厯当二分加时又在卯酉则其差之极四度有竒迨至二分前后黄道之斜径以渐而平故其差亦以渐而少由是而至于二至黄道之斜径依平而差亦复于平故曰二至无刻差也若加时不在夘酉则虽二分之黄道其差却与他气不殊盖其斜径之势亦以渐而平故也假如二分加时辰巳之间其定差则正与四立泛差等渐而至于午中则其差亦渐而复于平是其所差只在东西故曰东西差　凡东西泛差近二分多是以天之东西而差也其定差以加时夘酉而多是以地之东西而差也以距午分乘之者距夘酉之数也以二千五百除之者日周四分之一乃夘酉距午之数也盖此所为泛差乃距午二千五百分时所有之差也乘除后得数若多于泛差是食甚距午分其数亦多于日周四分之一其加时乃在夘前酉后也夘前酉后之差于正夘酉者其数正与夘后酉前等故倍泛差减得数即为定差也凡差于南北者复于东西差于东西者复于南北幷二差加减数总无过四度四十六分以是为交度进退之极也盖原所谓正交中交限各损隂厯六度余为阳厯者乃是据中国地势所差于南戴赤道之下者言人在北道之北故所见黄道交处皆差而近北六度余此常数也若黄道在冬至横于南上去人益逺故其交处差而北者又四度余而极是共差十度余矣若黄道在夏至去人反近正在中国人顶故其交处原差而北者乃复而南亦四度余而极是只差一度余矣此南北差之理据午上言也若移而至日出入时则其横于南上者已斜纵于夘酉其正当人顶者已横斜于夘酉所见差度以渐而平如常数故南北差近午多近日出没则少也若黄道在春分而加时夘黄道在秋分而加时酉其势皆横偃于东西而与地相依故其交处益差而北又四度余而极是亦共差十度余矣若黄道在春分而加时酉黄道在秋分而加时夘其势皆纵立于东西而与人相当故其交处原差而北者亦皆复而南四度余而极是亦只差一度余矣此东西泛差之理据夘酉而言也若移而至午则其横偃于夘酉者反斜纵于午上其纵立于夘酉者反横斜于午上所见差度自以渐而平如常数故东西差近夘酉多近午则少也假使人能正当赤道之下则两极平见相望子正赤道平分界乎夘酉则凡正交只在交终中交则在交中其气刻之差减正交加中交者则差而北其加正交减中交者则差而南当亦各四度有竒也今中国地势则正在赤道之北故所见赤道皆斜倚于人之南其所见正交中交度常数亦皆因其赤道之斜倚者而断惟其黄道交在四立之宿加时在巽坤之维则黄道之势正自斜倚适如赤道之理而南北东西之差皆少与常数相依若黄道横则其势赤道加偃故正交中交之度益差而北若黄道纵则其势视赤道反直几有类于南戴日下之赤道故正交中交之度虽曰复差而南其实乃复于无差也凡缩初盈末而加时午盈厯而加时中后缩厯而加时中前皆黄道纵之类也其缩初盈末当午虽横在天心然东西视之则亦纵也凡盈初缩末而加时午盈厯而加时中前缩厯而加时中后皆黄道横之类也其冬夏至黄道当日出入其二分黄道当午皆黄道斜倚之类也

推日食在正交中交定限度

视所推日食在正交中交限度如食在正交者置正交度三百五十七度六十四分在中交者置中交度一百八十八度○五分俱以所推南北东西定差是加者加之减者减之即为所推正交中交定限度分也

按正交本在交终三百六十三度七十九分今曰三百五十七度六十四分者于隂厯本数内损六度余为阳厯也中交本在交中一百八十一度八十九分今曰一百八十八度五分者于阳厯本数外増六度余侵入隂厯也盖黄道于月道如大环包小环月在日内中间相去空隙犹多人在月内稍北日月交其南人自北斜望得见其间空隙故其交处皆差而北也惟其交处差而北故其交而南也早六度其交而北也迟六度此据地势为言在授时立法原在大都若迤而渐南至于戴日之下所差渐平迤而向北差当益大当亦必有各方差数而不可攷矣　又按此正交中交度増损六度者只是地势使然已为常数其因时而差者又有南北东西二差于是复以加之减之而后乃今所推正交中交之度可得而定而后乃今交前交后隂阳厯可得而定矣

推日食入隂阳厯去交前交后度法

视所推交定度若在正交定限度已下者就于定限度内减去交定度余为隂厯交前度也若在正交定限度已上者于交定度内减去正交定限度余为阳厯交后度也又视其交定度若在中交定限度已下者就于定限度内减去交定度余爲阳厯交前度也若在中交定限度已上者于交定度内减去中交定限度余爲阴厯交后度也　按若交定度在七度以下者数虽在正交定限度下而实则爲阳厯交后度也法当置交定度加入交终度复减去正交定限度余爲阳厯交后度也【勿庵补】按凡交定度在正交后中交前者阳厯也其在正交前中交后者阴厯也若以东西南北差定之而正交度有加中交度有减者是阳厯变爲阴厯也其正交度有减中交度有加者是阴厯变爲阳历也正交阳变阴中交阴变阳是交后变爲交前也正交阴变阳中交阳变阴是交前变爲交后也故必以所推正交中交定限度爲则与交定度相较而得合朔日躔距交前后的数也凡以交定度去减正交中交定限度者爲交前是逆从交处数来也其于交定度内减去正交中交定限度者爲交后是顺从交处数去也　又按交定度在七度以下食在正交也若以减正交定限度其所余当在三百五十度内外爲阴厯交前度也勿庵曰非也若然则凡正交七度已下者永不入食限不必布算矣况所谓隂阳厯者自正交中交而断【正交后为阳中交后为隂】所谓交前后者皆附近正交中交前后而断【正交后为阳厯交后正交前为隂厯交前中交后为隂厯交后中交前为阳厯交前】交终度分为隂阳厯隂阳厯又各分前后安得有隂厯交前度乃多至三百五十余度者乎此必无之理亦必不可通之数也然则何以通之曰有法焉凡交定度在七度已下是其数不特在正交度下幷在中交度下也然而又与中交数逺幷亦不得减中交为交前也夫在中交数下是阳厯非隂厯也不在交前是交后也夫阳厯交后度法当置交定度内减去正交定限度而此交定度数少不及减故必加入交终度而后可以减之也如入交终度减之则阳厯交后之度复其本位也则凡距交七度已下者皆得入阳食之限也然则厯经何以不云通轨何以阙载也曰是偶尔之遗也或姑略之以俟人之变通也或传之乆而失其真原有阙文也夫夏五疑三豕徴信各行其是而已为其恐误后学也故订之

推日食分秒法

视日食入隂阳厯交前交后度是隂者置隂食限八度是阳者置阳食限六度皆减去隂厯或阳厯交前交后度余【度定四十定三】为实各以其定法是隂者置八十分阳者置六十分【去一】为法约之【不满法去一子所定有二子为单分一子为十秒】即得所推日食分秒也如隂阳食限不及减交前交后度者皆为不食也

按隂食限八度者隂厯距交八度内有食也阳食限六度者阳厯距交六度内有食也凡合朔若正当交度其食十分渐离其处食分渐少假如阳厯距交一度二十分则于食十分内减二分只食八分也又如隂厯初交二度四十分则于食十分内减三分只食七分也故各置隂阳食限以距交前后度减之即是于食十分内减去若干分秒也其减不尽者则正是今所推合食之数故各以定法除之而得也凡隂阳定法皆十分食限之一也如食限不及减为不食者是距交前后之度多于隂阳食限其去交甚逺不能相掩断为不食也

推日食定用分法

置日食分二十分内减去推得日食分秒余【十分定三单分定二】为实即以日食分秒【单分定二】为法乘之【言十定一所定有六子为百分五子为十分】即为所推开方积也立天元一于单微之下依平方法开之得为开方数【有十定一】复以五千七百四十分【定五】为法乘开方数【言十定一】得数又以所推定限行度【去四子空度去三子】为法除之【不满法去一子所定有二子为百分一子为十分】即为所推定用分也

按定用分者日食亏初复末中距食甚所定用之时刻也凡日食若干分则其所经厯凡有若干刻食分深者厯时乆以月所行之白道长也食分浅者厯时暂以月所行之白道短也今所求开方之数即自亏至甚或自甚至复月行白道之率也

日食只十分今用二十分者何也日月各径十分其半径五分凡两员相切则两半径聮为一直线正得十分为两心之距以此两心之距为半径从太阳心为心运规作大圆其外周各距日之边五分为日月相切时太隂心所到之界其大圆全径正得二十分也

以日食分秒相减相乘何也此句股术中较求股法也依前所论初亏时两圆相切其两心之距十分此大圆之半径常为句股之食甚时两心之距如句而太隂心侵入大圆边之数如句较自亏至甚太隂心所行白道如股而太隂心侵入大圆边之数与食分正同盖月边掩日一分则月心亦移进一分也故即以日食分秒为句较与大圆全径二十分相减其余即为句和和较相乘为开方积即股实也其开方数即股亦即自亏至甚月心所行之白道矣其自食甚至复光理同

五千七百四十分乘者何也先求日食分秒及句股开方等率皆就日体分为十分其实日体不满一度大约为十之七耳五千七百四十者七因八百二十也月行一限得八百二十分其十之七则五百七十四分矣故以五百七十四分乘开方为实以定限行度除之为定用分之时刻也

以异乘同除之理言之月行定限行度厯时八百二十分则月行亏至甚之白道【即开方数】该厯时有若干分然此所得开方数于度分为十之七法当置开方数七因退位【如有十分只作七分】然后乘除今开方数不动而七因八百二十为五千七百四十得数亦同【即算术中异乘同乘之用】开方数之分是度下一位宜定三子七因八百二十而退位实为五百七十四宜定二子今开方数不定子故于五千七百四十加交三子为五子其乘除后定数同也

初亏时两心之距为【即大员二十分半径】　食甚时两心之距为句食甚时月心侵入限内三分为句较

自亏至甚月心所行白道为股【甚至复亦同】　此以月在阳厯日食三分为例余可仿推

推初亏复圆分法

置所推食甚定分内减去定用分为初亏分不及减加日周【一万】减之复置食甚定分如入定用分为复圆分满日周去之时刻依合朔法推之

按食甚者食之甚食之中也日月正相当于一度也初亏者亏之初食之始也月始进而掩日也复圆者复于圆食之终也月已掩日而退毕也凡言分者皆时刻也盖初亏在食甚前几刻故减小余复圆在食甚后几刻故加小余初亏距食甚时刻正与食甚距复圆数等故皆以定用分加减之也月食仿此　又按据加日周减满日周去二语定用分当不止此数也

推日食起复方位法

视所推日食入隂阳厯如是阳厯者初起西南甚于正南复圆于东南也如是隂厯者初起西北甚于正北复圆于东北也若食在八分以上者无论隂阳厯皆初起正西复圆于正东也

按日食起复方位主日体言之即人所见日之左右上下也以午位言则左为东右为西上为北下为南也日食入隂阳厯者主月道言之月在日道南为阳厯月在日道北为隂厯也如是阳厯食是月在日南掩而过故食起西南甚于正南复于东南也如是隂厯食是月在日北掩而过故食起西北甚于正北复于东北也其食在八分已上者是月与日相当一度正相掩而过故食起正西复于正东其食甚时正相掩覆而无南北不言可知也凡日月行天并自西而东日速月迟其有食也皆日先在东月自西追而及之既相及矣则又行而过于日出于日东故日食亏初皆在西复末皆在东也　又按厯经云此所定起复方位皆自午地言之其余处则更当临时消息也推带食分法

视朔下盈缩厯与太阳立成同日之日出入分如在初亏分已上食甚分【按食甚当作复圆】已下为带食之分也若是食在晨刻者置日出分昏刻者置日入分皆与食甚分相减余为带食差也置带食差【百定六十定五】以所推日食分秒【十定五单定四】为法乘之【言十定一】得数复以所推定用分【百去六子】为法除之【不满法去一子所定有五子为十分四子为单分三子为十秒】得数去减所推日食分秒余上下两处皆为带食已见未见之分也按带食分者日出入时所见食分进退之数也假如日出分在初亏分已上是初亏在日未出前但见食甚不见亏初也日入分在初亏已上是食甚在日入后但见亏初不见食甚也又如日出分在复圆分已下是食甚在日未出前不见食甚但见复末也日入分在复圆分已下是复圆在日入后不见复末但见食甚也见食甚不见亏初是食在未出已有若干尚有见食若干带之而出其食为进也见初亏不见食甚是食在未入见有若干尚有不见食若干带之而入其食亦为进也不见食甚但见复末是食在未出前已复若干尚有见复光若干带之而出甚食为退也不见复末但见食甚是食在未入前见复若干尚有未复光若干带之而入其食亦为退也凡此日出入所带进退分秒何以知之则视其带食而出为晨刻者置日出分其带食而入为昏刻者置日入分皆以食甚分与之相减而得带食之差也假如日出分在初亏分已上其食甚分又在日出分已上则以日岀分减其食甚分其减不尽者则是日出已后距食甚之时刻也若日入分在初亏分已上其食甚分又在日入分已上则以日入分减其食甚分其减不尽者则是日入已后距食甚之时刻也又如日出分在复圆分已下其食甚分又在日出分已下则于日出分内减去食甚分其减不尽者则是日出已前距食甚之时刻也若日入分在复圆分已下其食甚分又在日入分已下则于日入分内减去食甚分其减不尽者则是日入已前距食甚之时刻也凡此带食差分用乘日食分秒又以定用分除之便知日出入时所距食甚时刻在定用分全数内占得几许即知日出入时所带食分于日食分秒全数内占得几许也以其数减食分所余分秒即是日出入前距亏初已过食分或日出入后距复末未见食分也上下两处者得数与减余两处之数已见未见之分即已复未复已食未食如后二条所列也

日有带食例

置日出入分内减去食甚分谓之已复光未复光将所推带食分录于前

晨【日未出已复光若干日已出见复光若干】　　昏【日未入见复光若干日已入未复光若干】

置食甚分内减去日出入分谓之见食不见食将所推带食分录于后

晨【日未出已食若干日已出见食若干】　　昏【日未入见食若干日已入不见食若干】按置日出入分内减去食甚分者其日出入分皆在复圆分已下也故谓之已复光未复光假如日食甚五分在日出入前其带食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已复光三分日已出后见复光二分也若在昏刻是日未入前见复光三分日已入后未复光二分也此二端带食分皆是已复光数故录于前也其以带食分减之而余者则是未复光数故录于带食之后也置食甚分内减去日出入分者其日出入分皆在初亏分已上也故谓之见食不见食假如日食甚五分在日出入后其带食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已食二分日已出后见食三分也若在昏刻是日未入前见食二分日已入后不见食三分也此二端带食分皆是未食数故录于后也其以带食分减之而余者则是已食数故录于带食之前也月食仿此但以日之昏为月之晨以日之晨为月之昏盖日出于晨入于昏月出于昏入于晨也其余并同

推黄道定积度法

置所推食甚入盈缩厯行定度如是盈厯者内加入天正黄道箕宿度共得为黄道定积度也如是缩厯者内加入半嵗周及天正箕宿黄道度共得为黄道定积度也按黄道定积度者逆计食甚日躔度距天正冬至日躔宿度积数也盈厯加入天正黄道箕度者是逆从天正冬至所躔宿初度积算起也缩厯复加半嵗周者缩厯本数是从夏至度起算今加入半嵗周又加入天正箕宿度是变而如盈厯亦从天正冬至箕宿初度起算也所得定积度即是今所躔宿度与箕宿初度相距逺近之数也

推食甚日距黄道宿次度法

置所推黄道定积度无论盈缩厯皆以黄道各宿次积度钤挨及减之余为食甚日躔黄道某宿次度分也按所推黄道定积度无问盈缩皆是今食甚躔度前距箕宿初度之积数也然尚未知其为黄道何宿度也故以黄道各宿积度钤取其相挨及者减之其减去者是今积度内已满其宿之度日躔已过此宿断为前宿也其不及减而余者则是前宿算外所余度分也是日躔正在此宿中未过故其积度亦未满当即以所减算外之度分断为食甚日躔某宿几度几分也假如食甚定积十度则以箕宿积度九度五九减之余○度四十一分为箕宿算外余数断为食甚日躔黄道斗宿初度四十一分也余仿此

黄道各宿次积度钤

箕九度【五九】　　　斗三十三度【○六】　牛三十九度【九六】女五十一度【○八】　虚六十○度【○八太】　危七十六度【○三太】室九十四度【三五太】　壁一百○三度【六九太】奎一百廿一度【五六太】娄一百三十三度【九二太】胃一百四九度【七三太】昴一百六十度【八一太】毕一百七七度【三一太】觜一百七七度【三六太】参一百八七度【六四太】井二百十八度【六七太】鬼二百廿○度【七八太】栁二百三十三度【七八太】星二百四十度【○九太】张二百五七度【八八太】翼二百七七度【九七太】轸二百九六度【七二太】角三百○九度【五九太】亢三百十九度【一五太】氐三百三十五度【五五太】房三百四一度【○三太】心三百四七度【三○太】尾三百六五度【二五太】

按黄道积度钤皆自箕初度积至其宿垜积之数也假如日躔斗二十三度四七加入箕宿九度五九则已共积得三十三度○六也又如日躔牛六度九十分如入斗二十三度四七又如入箕九度五九共积得三十九度九六也余仿此　又按凡言钤者皆豫将所算之数幷其已前之数垜积而成以便临算取用意同立成也虽然黄道不可以立钤算者当知黄道度之所由生则可以断其是非矣盖黄道积度生于其宿黄道度各宿黄道度皆生于赤道赤道三百六十五度二五七五黄道亦三百六十五度二五七五而其各宿度数不同者则以二至二分所躔不同也赤道近二至则其变黄道度也损而少赤道近二分则其变黄道度也益而多盖赤道平分天腹适当二极之中所纪之度终古不易黄道不然其冬至则近南极在赤道外二十三度九十分其夏至则近北极在赤道内亦二十三度九十分其自南而北自赤道外而入于其内也则交于春分之宿其自北而南自赤道内而出于其外也则交于秋分之宿交则斜以斜较平视赤道之度必多此处既多则二至黄道视赤道之数必少理势然也【二至赤道以敛小之度当黄道大度已详天正箕宿注】黄道之损益既系于分至分至既以嵗而差黄道积度是必毎嵗不同古人则既言之矣此所载者犹据授时厯经所测黄道之度乃至元辛巳一年之数也上考下求数十年间则皆有所不合况距今三百八十余算积差尤多安得海制此钤以尽古今之无穷乎今仍以授时厯经黄赤道差法求得天启辛酉年黄道积度如左