历算全书

并乘法【凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘】

假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干　答曰二千两

【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再

以息银乘之是并两次乘为一次乘也】

截乘法【凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通】

假如有三十二人各给布六丈四尺共若干

答曰二百○四丈八尺

【先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又

二乘加倍合总解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此

条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已陞为六十四丈

矣　若加倍自是本位此在用算者临时消息之也】

或置三十二人以八丈乘两次亦同

解曰八乘二次即六十四乗也

或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同

解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也

除法

以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归【除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣】

有一位除有多位除【或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除】皆有法有实有得数【得数一名商数】

实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣【实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其防矣】定法实诀

凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也】一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也【如以总米除总银以总银除总米是也】何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣【此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米】

若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣【此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银】

是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方】

何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理】

又防法

凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见

凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方

一列位【法实既辨即当列位】

其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆仿此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数【得数亦名商数】

以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数【如三三如九之】则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实

以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为○九则以九上之○对商数书之他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也

次定得数之位

先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定

次命分

除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几

次还原

凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实

又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之

又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣

又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之【此法更简更确】

按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等【谓十单分秒之等】而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快

一位除式

假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干

答曰三千五百一十九亩

审法实诀【此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法】

【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六列于右直线之左因法系六分故与实分位相对】

商除法【次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八实系一不足减作防借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去一防只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八】

【次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三】

【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书　五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去　共商得三五一九】

定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】

乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法】除法还原【以得数为法除原实仍得法数六分　见后条】试法

【九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上

九减原实无余纪○于下凡○位与他数相乗所得皆○】

【七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于

上七减原实余二纪于下两试皆上下相同知其不悮】

【论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同文算指用九减七减试法可免还原颇称巧防今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用相参互以明筭理握算者择而用之可也今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试法】

多位除式

假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干　答曰毎亩六分审法实【此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以地为法银为实】

列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法】

商除法【以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽】

定位【寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○再下是分定所得为六分】

此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数【两为整数今所得是分在两下二位】

【若用乘法还原同前条还原法若用除法还原即前条除法】

此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数【下条同】其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得乃百分两之六也【详命分】

假如有银八两六钱六分八厘换金毎金一两该银八两八钱问换金若干

答曰九钱八分五厘

定法实诀【此为以银除银金价八两八钱是先有之定则不动就以为法】

【如前法对列法实于右线之左右初商法八实八宜商一因无次商改退商九以乗法八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨书遂以对减实三位八六六余○七四　次商八以乘法八得六四乗法次八亦得六四依法书之遂以对减余实七四八余○四四　三商五以乗法八八得四四○依法书之遂以对减余实恰尽】

定位【法数上一位为单位横对得数上一位是两定为○两九钱八分五厘法实首位同而法次位八大于实次位六故亦借虚位以定实数説在前条】

【甪乗法还原见乗法第二条　用除法还原以金九钱八分五厘为法除实得毎两价八两八钱即畸零法也详通分】

假如有银四万八千两六十四人分之该若干

答曰各七百五十两

假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干　答曰三十万零五百八十文定法实【此先有定则九钱○五厘故以为法】

【此法有○位例也亦是得数有○之例

初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位

再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余

○○○五　实空位无可商次商从实五字起商作五以乘法

九得四五法次位空亦作○存位　乗法末位五得二五如式

书之以对减实五二四九余○七二四】

【初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次商之事毕　末商八以乗法九得七二法次位无乘亦作○存之法末位乗得四○以对减余七二四恰尽】定位【此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定所得为三十万○○五百八十文】

若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图

审法实【此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实】

列位之理【所欲知者毎千之价故以千为

单以万为十以十万当百与原银对列

其书商数如式不错则得数之空位自明定位亦自无

舛説见前此两条互相还原　若以

乗法还原并用乘法第三条】

命分法

凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见】其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几【如以三除五内除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两问各若干

答曰各十三两零十九分之七

【以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命

之　其法以法十九命为分母不尽七数为分子命为十九分两之

七　解曰一整两各剖为十九分则不尽之七两共剖为一百三十

三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两

零十九分两之七】

【若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加

八不尽七两共二百五十四两合原实】

【若用除法还原　法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为实毎人十三两为法法除实得十九人】

论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽【如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只一语喝尽更无渗漏然后知古法为无】

省除法【旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之】

假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干

答曰三百六十石

【先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得

耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定

正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八

四减余数恰尽合得数减数并之即还原数或用

加四亦同】

定位【凡省除皆以原数定位】

省除又法【古谓之求一除法】

凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数

其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同

【先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折

半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位

一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二

书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定

五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽】

定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石　假如十人七千即毎人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实定位当知此诀】

并除法【旧名异除同除】

凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也【如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之是并数次除为一次除也】

假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息

答曰毎两息一钱五分六厘二毫半

法曰先以四年乗原本【三千

二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以

二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎

年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】

截除法【与并除相反所以便初学】

凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干

答曰各二十七两

【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】

【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】

【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】

假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干

答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】

假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干

答曰五两　【原法三位今用六除三次亦同】

约分法

凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】

假如八十一人分银二十七两问各数　答曰各得三分两之一

法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】

分母八一　【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七　【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四　【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七　【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七　【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】

假如米八十五石分结一百○二人问各若干

答曰各得六分石之五

法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎　所得为一石米中六分之五也】

厯算全书巻三十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

歴算全书卷三十六

宣城梅文鼎撰

笔算卷三

异乘同除法

以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理

异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也

何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】

问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也

假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干

答曰四十五两

法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】

假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干

答曰一百○八石

法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法

其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求

【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】

假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】

若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】

【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是

此以上图之四率为