历算全书

六　一　　【里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步】原存□□　□□□　四　　【共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并】共长二○里○○○步○尺　【原十里是为堤长二十里合问】

假如有硃砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干答曰十二斤○三铢

八　一○　○九　　　【铢满二十四进一两余三两满十六进一】□　○□　□八　　　【斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问】

共一二斤○○两○三铢

右大小分母俱同故径以子并

假如甲数九【之四】又小分【五之四】乙数九【之八】又小分【八之三】并之若干答曰整一又九之四又小分四十之七

先同其小分之母

【先以小分母相乘得四十为共母　又互乘其子变

五之四为四十之三十二变八之三为四十之十五】

小分母既同乃重列而并之【余同上】

【并之】得九之十二又四十之四十七

归整一又【九之四】又小分四十之七　【小分满四卜收为大分一大分满九收为整一】右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同

假如有田二坵甲坵二亩【又四分亩之三】又小分【五之一】丙坵一亩【又三分亩之二】又小分【四之三】并之若干

答曰整四亩【又六十分亩之四十三】

先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入原小分一共二十之一十六为甲数

又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原小分三共十二之十一为丙数

解曰【此即古通分纳子之法也以大分尽通为小分而纳小分焉实则以小分陞为大分也】

【并得】三又　　　　　二百四十之四百一十二归整四又【二百四十之一百七十二】约为六十之四十三

右系大分母不同故尽通为小分而并之

以上大分小分法为通分并子之又一类

凡通分并法以通分减法还原【互见后除】

通分子母减法

通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分小分者而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母纳子法【并之与减犹乘之与除可以互相还原相反而适相成也故所用之法皆同】径减法【数在三宗以上而母同者并用此法】

凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之假如有纻丝一疋零【五分疋之三】用过五分疋之三问仍存若干答曰五分疋之四

原一　五之二　　【此以之三减之二则减数反大于原数不足减以借法作】减　　五之三　　【防于疋位借原数一疋通作五分并之二共成五之七内】存○　五之四　　【减去五之三仍存五之四合问】以上分母同者径以对减为通分减法之一类

变分母法

凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有数六之三又有数四之三其较若干

答曰四之一

较　　　　四　之一

假如有整数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五

整数一　八　【之　通三　为】八　之【十一】

减数　　四　【之三】　变八　之六

存数　　　　　　八　之五

互乘法

凡分母不同者先互乘以同其母以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多

【法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其

子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之

二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一】

甲多　　三十五之　　一

凡分母同者视其子为大小【子数大者即大小者即小】若子同而母不同者反是【母数大者子数反小】亦以互乘见之如后图

【甲六之四乙五之四】互得三十【之二十　丙四之三之卄四　丁五之三】互得二十之【十五十二】

乙多　　　三十分之四　丙多　　　　二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也

凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又【三十五之十一】乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】余为丁数该若干

答曰丁得甲三十五之二十三

【先以分母通整数为分而纳入分子

次以减数分母相乘为共母又互乘

其子而并之是为三十五之五十八】

丁存　　　　　　三十五之卄三　【以减甲数仍余三十五之卄三合问】子乘母除法

凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母【数在三宗以上而母不同者并用此法可代维乘】

假如有沉香一石零【二十八分石之九】用去七分石之四该余若干

存　　卄八　之　　二十一　约为四之三【法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七　又以减分母七除共数之分母二十八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除之得存数原子三变存数为四之三】

【论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图】

一率【分母七】　法以子之四乘所变分母二十八得一百二率【分子四】　十二为实分母七为法除之得所变分子三率【分母卄八】　为十六其比例为七与四若二十八与十四率【分子十六】　六也

又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也

假如有整数一又【九十之七十二】甲得六【之四】乙得三【之一】余为丙数该若干

答曰丙得五之四

丙存　　五　之四　　　九十　之七十二法曰【先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二　次以甲分母六除原母九十得十五以甲分子四乘之得六十为甲数　又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍三十为乙数合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四　约分法详后条】约分防法　置丙存数【九十之七十二】为实以甲乙分母【六三】相乘得

数【十八】为法除之得五之四为丙存数【以十八除九十得五十八除七十二得四约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘而得者也故于还原最切】

论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣

试先减乙丙数则所存者即甲数【法同上】

甲存　【约为】六　之四　　即九十　之六十

若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣

假如有数五百○四之四百○一甲得【八之一】乙得【六之一】丙得【七之一】丁得【九之一】余者为戊数该若干　答曰戊得四之一

原数　五百○四　　　　　　　　　　之四百○　一

甲减　八　之一　　　　　　　　　　　　　六十三

乙减　六　之一　以各减母除原母得　　　　八十四

丙减　七　之一　　　　　　　　　　　　　七十二

丁减　九　之一　　　　　　　　　　　　　五十六

共减　　　　　　　　　　　　　　　　二百七十五

戊存　五百○四　　　　　　　　　　之一百二十六约为　四　之一【以所存之数除原母即得】

解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类

大分小分减法

凡大小分母并同者【谓原数之大小分母与减数之大小分母也下仿此】竟以对减不足减者借整数以分母通为分【小分不足减亦以小分之母通大分为小分　其借上位皆作防志之】若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法

假如西厯得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻

答曰壬辰日酉初二刻○六分【以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分】

日　时　分【时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十】

平朔三□○□一□【先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分实距时】　　七四□　【六十并原小分共七十六减四十余三十六　次减大分七原数一已借】实朔二□一□三□【去亦借整一通为二十四减七余十七　原数三十因借减一余二十九】凡大小分母不同者【谓大分之母与小分之母不同也】须作防以别之故借整化零之防改为直号

右系大小分母并同故竟以对减

假如有整数一又【九之四】又小分【四十之七】甲得九【之四】又小分五【之四】余为乙数该若干

答曰乙得九之八又八之三

乃重列之【小分既同即可相减】

乙存　　九　之八　二百之七十五　约为八之三法曰【先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十五减一百六十余七十五　次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通为九共十二减四余八整数借减尽】

试先减乙【用变分母法以代互乘余并同上】

原数一　九　之□又　　　　　四十　之七减乙　　九　之八又八　之三变四十　之一十五存甲　　九　之四又五　之四即四十　之三十二解曰【四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣】右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之

假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干

答曰一亩又十二分亩之十一【即六十之五十五母子各五约之为十二之十一】法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原小分一共二十之十六乃列而减之【如此则大分小分合而为一与原数无小分者类矣】

存丙一又　　　　　　　　六十　之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也

右系大分母不同故通为小分而减之

以上大分小分法为通分减法之又一类通分子母乘法

假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分

法以分子之二乘田三十六亩六分得

七十三分二以分母三收之得二两四

钱四分合问

何以知其为七十三分也曰原问毎亩

徴银三分钱之二分故于右行实数内

寻毎亩之位为定位之根以横对左行

得数即命为分则上下俱定矣

假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤

先以斤法【十六】收十二两为斤下之七分

五厘加八斤共八七五为法以乘银六

十四两得五六○○○即于右行实数

内寻毎两位以横对左行得数命法尾

厘推而上之定为五百六十斤

假如有米五石【又三分石之二】毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一

法以分母三通五石为十五分纳子二

共十七分以价之八乘之得一百三十

六又以两分母【三九】相乘得二十七收之

合问

通分子母除法

假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干

答曰三十六亩六分

法以分母【三】通二两四钱四分为七十

三分二为实以分子之二为法除之即

得三十六亩六分合问【原所设三分之二以钱为主故

四分所通为小分】

假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干

答曰九分两之八

法先以米分母【三】通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母【卄七】通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八

又防法【以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八】

假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干　答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位【即一十除也】命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二防法【以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七】通分子母三率法【即异乘同除】

假如西厯太阳毎日平行【五十九分零八秒二十微】今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微【又九十六分微之卄六】

法【先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微　不尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六】

论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百

假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干　答曰三疋

一　粟六分石之二【母子各减一倍】变为三之一

四　布五分疋之【十五】　　　收为整三疋【两粟母同为三省不用只以布分母收之】用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问

假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干

答曰十八分两之一

四　金【十八】分两之一

法以一率分母【三】互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母【六】互乘之为十八之四十八以乘金母【九】得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问

若用变分母法则如后式

一　银二两【又三之二】　　通为三之八乘得【七十二】为法【以金母九乘之八也】

四　金【七十二分】两之四　约为【十八】之一【子母各四约之】

解曰十八分两之一即五分五牦五五不尽畸零分子母乘法

假如以八之五乗四之三该若干

答曰三十二之十五

法以母乘母得三十二子乘子得十五即三

十二之十五为乗得数也

又法以除代乗则倒位互除之

法以五除四得八为母数以八除三得三七

五为子数是为八之三七五与乗得之数同

解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五

用法

假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若干

答曰九分两之四

一　谷一石

四　价九分两之四【因首率是一故省除即以九之四为得数】

解曰二十七分两之十六即五钱九分二牦六毫弱也谷四分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四不尽也

若用倒位除以代乘则径得九之四

法用母四除十六得四为子用子三除二

十七得九为母是为九之四也

畸零分子母除法

假如以五之四除四之三该若干

答曰八之七五

法以母除母得八子除子得七五是为八之

七半即除得数也

又法以乘代除则倒位互乗之

法以母五乘子三得【十五】为子以子四乗母四

得【十六】为母是十六之十五与除得之数同

解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同用法

假如以绢易縀绢五分丈之四换縀七分丈之四问绢毎丈该縀若干

答曰该换縀七分丈之五

一　绢五分丈之四　法以母除母得一四子除子得一○是二　縀七分丈之四　为一十四之一十子母各半之为七分

三　绢一丈　　　　之五【三率是一省乘即用縀七之四为实】

四　縀七分丈之五

解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也

若用倒位乘以代除所得亦同

法用子四乘母七得卄八为母用母互乘子

四得卄为子子母各取四之一即七之五也

论曰同文筭指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以三率列之则实数可稽而用法亦明矣

畸零乘除定位

凡乘法得数必大于原问之数若畸零乗则其数反降凡除法得数必降若畸零除则其数反陞盖即异乘同除之理诸家术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五厘该若干答曰八钱四分

此首率是单两

而三率有分厘

是单下有三位

零也故截去得

数尾三位命法

尾两两位空定所得为八钱四分

论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故省除耳试即以三率实尾位厘为单而定所得为八百四十两为实亦陞首率单两为千厘为法除实【即以实数降三位】亦仍得八钱四分合问【此条已详二巻乘法中兹以三率列之于定位之理益明】

又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视三率中所有之数即命为单数【如金银之类本以两为单今视三率中有分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其十数他仿此】则虽畸零皆可作整数筭无论乗除一以贯之矣【是为以零变整而乗除之后得数无异此所以别于通分化整为零之法也】

假如有珠三分五厘价银八钱四分问每两珠价若干答曰二十四两

【此一率首位是分即以分为单数以二率

陞两位作八十四两为实以法三分五厘

对实分位列之除毕于法上一位命

为单分推而上之定得数为二十四两合

问】

解曰二率陞二位为实者即百分乘也分原在单两下二位今既陞为单则单两亦陞二位成百分也

假如银二钱四分买稻九十六斤毎两该若干

答曰四百斤

【此以钱为单数则三率单两成十钱而二率亦陞一

位成九百六十○斤为实于是以法二钱对实○位

列之以单钱对单斤也除毕于法上一位命为单

斤即得数为四百斤合问】

假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干答曰二百五十斤

【此以斗为单数则三

率十石成百斗故二率亦陞两位作一千

二百斤为实以法四斗对实○斤位列之

亦以单斗对单斤也余亦同】

假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该豆若干

答曰七石五斗

若以斗为单则命实为四十八石三斗【以二率十斗乘之也】而以法首六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗或以升为单以合为单得数亦无不同也【以升为单法上即命为升以合为单法上即命为合】

假如钱六百五十文价四钱八分七厘半每千该价若干

【此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百

即以百为单而陞单千为十百则二率亦陞一

位作四两八钱七分五厘为实四两列之以单

百对单两也除毕于法上位命为单两两位空

定得数为七钱五分】

歴筭全书卷三十七

钦定四库全书

厯算全书巻三十八

宣城梅文鼎撰

笔算巻五

开平方法

测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其有实无法故别为一术以佐乘除之所穷

平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以自乘之积求正方之邉故西法谓之测面其邉谓之方根法先列实　依除法作两直线以所用方积列于右直线之右自上而下至单位止无单作○

次作防定位　自单位作一防起毎隔一位防之有一防则商一位【如有二防则商数有十有三防则商数有百】

次定初商　皆自原实最上一防截定为初商之实【如防在首位即以一位为初商实防在次位即合两位为初商实】以自乘数约而商之皆以防处为本位防上一位为进位【本位者单数也如一商一四商二九商三其自乘皆本位不论百与万以上皆作单数用进位者十数也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有进位不论千与万以上上皆作十数用】

又法　以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商【如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此】初商表【凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之】