历算全书

徧乗右行得数【较乗和也故皆命为负与乗法同名】两小句同减尽　两大句异并二十二为法　负数十九丈八尺无减就为实法除实得大句九尺　以右行大句三该二丈七尺减共三丈三尺余六尺以小二句除之得小句三尺

论曰小句互乗之后则其数同也小句数同则负数亦同而右行之负数独有十九丈八尺左则无有者以右之负数中有大句十八而左则无不惟无也其所对之正数中反有大句四是左行负数中又原少四大句也右负数多十八大句左负数少四大句是右之负数多于左之负数者共二十二大句也然则右之负数独有此十九丈八尺者正是此二十二大句之数也

此和数与适足偕也

假如有江湖两色船载物不知数但云江船五以较湖船一则江多二千八百石江船三湖船五则共载二千八百石问船力若干　畣曰江船六百石　湖船二百石

法以一和一较列位

如法左右徧乗得数

江船同减尽　湖船异并二十八为法　载物同减余五千六百石为实　法除实得二百石为湖船数以湖船数加右行异名正二千八百共三千石以

右江船五除之得江船数六百石【或以湖船五共一千石同减左行二千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石】

论曰徧乗后江船数同则其载数亦同今以两正数相减而左多五千六百者以左正数中有湖船二十五而右则无不惟无也其所对之负数中反有湖船三是右行正数中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正数多于右数者共二十八湖船也然则左之正数独多五千六百者正此二十八湖船之数也此和数偕一正也负亦同

和变交变方程例

凡方程三色以上以减余重列则有和变较较变和者不可不察也　若非和较之襍则二色方程之中物有减无并矣若非和较之变则三色四色方程和数者有减无倂矣夫和数较数非自我命之名也其下价之为和为较不可诬也

用法曰和变较者但和数减余有分在两行者兼而用之即变较数也　和既变较即以较数法列之其法以一行之余数命为正以一行之余数命为负　其下余价以与中位余物同在一行者即为同名从其正负而命之　若下价减尽无余者命为适足若减余只在一行者无变也只用和数法

较变和者但视较数减余或有一行内皆正或皆负者即变和数也即如和数法列之不立正负【其较数异并者以一行为主而以隔行之之异名从本行为同名】

若减余行内有正负者无变也只用较数法

若有两异并而一位左正右负一位右正左负亦仍为较数不变虽减余分在两行而一行余正物一行余负物亦和数也何也隔行之异名乃同名也若减余同名而分余于两行即仍为较数不变何也隔行之同名乃异名也

若两异并皆左正右负或皆左负右正亦和数也和较重列有俱变为较者有只变一行为较而余行如故者较数重列有俱变为和者有只变一行为和而其余如故者皆如上法以和较襍列之

若四色以上有和变较较复变和者有较变和和复变较者皆以前法御之

假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一十五斤问各力

畣曰大神臂弓力五十五斤　弩力六十斤　小弓力三十斤

法先以和较列位【凡三色者可任以一行为主与余二行数相乗而减并之故前后之行可互更也详见第三卷】

先以中行神臂弓二为法徧乗左右得数【此以中行为主与左右互乗取其行间易为减并之用也】

次以右行神臂三徧乗中行得数与中行对减　神臂弓中右各六对减尽　中弩二十七内减去右弩四余二十三【中行余也】　中小弓六去减右小弓十六余十【右行余也】　中力二千一百三十内减去右一千○五十余一千○八十斤【中行余也】

以上减余分在两行已变较数矣即用较数之法分正负列之而以弩与力命为同名【弩与力同在中行故也】次以左行神臂五徧乗中行得数而以中左两行对减　神臂弓各十减而尽　中弩得四十五内减去左行弩六余三十九

中行小弓得十内减去左小弓四余六　中力得三千五百五十内减去左一千○三十余二千五百二十斤

以上减余俱在中行仍为和数也不分正负

论曰此和数方程变为一和一较也何也中右得数两大弓减尽则其力相若也弩数相减而余在中行是中行之弩力多于右行也小弓相减而余在右行是右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力右多于中而今共力相减惟中多一千○八十斤则是此一千○八十斤者非余弩余弓之共数而余弩所多于余弓之较数也虽欲不分正负不可得也如中左对减而余弩余小弓俱在中行则中行之余力二千五百二十斤者仍为余弩余小弓共数无正负之可分也故以此两减余者依和较杂法重列而求之

如前对减既于共力中清出首一色大神臂弓不与弩小弓杂矣然所余之力尚为弩小弓共数与其较数而未能分别此二色之每数也故必重测

依和较杂法以左右余弩互徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆曰正】

弩同减尽　小弓异并五百二十八为法　力同减余一万五千八百四十为实　法除实得三十斤为小弓力　以小弓力乗右行余小弓十得三百斤异如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以余弩二十三除之得六十斤为弩力【或于左行共力二千五百二十斤内同减小弓六该一百八十斤余二千三百四十斤以余弩三千九除之得六十斤亦同即此可见两减余之为一和一较】乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二弩力一百二十斤以减共力五百二十五斤余一百六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤为大神臂弓力

论曰两弩正数同而其力不同者小弓之故也左行和数也是弩偕小弓之力也右行较数也是弩力中减去小弓之力而余者也合而观之则是左行之弩力有小弓一百三十八以为之益而右行之弩力反减去小弓三百九十然则左行正数之多于右行者凡共差小弓五百二十八而左行正数所以多于右行一万五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八之力也

凡此减余之数亦可互求若更置之以小弓列上则先得弩力如后图

上　　　　中　　　　下

依法右左徧乗得数【左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆名之曰负】

小弓同减尽　弩异并得五百二十八为法　力异并得三万一千六百八十为实　法除实得六十斤为弩力　以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤同减正一千○八十斤余三百斤以小弓十除之得小弓力

论曰两小弓同名负其数既同而左行负数之力有若干右则无之而且反小于正数之力若干者何也以左行负数中有弩三百九十右则无之而其所对之正数反有弩一百三十八以为之除算则是左负数之多于右者共五百二十八弩也右负数少此五百二十八弩而正数力遂多六千四百八十斤左负数多此五百二十八弩则不但补却右行之所少而又自有力二万五千二百斤然则左行共多于右三万一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也此三色和变较例也【四色以上襍见诸卷中】

问有甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者倍乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其本数各几何　畣曰甲七　乙十七　丙廿三

法先以较数列位

先以中行甲正一遍乗右左得数皆如故【只变中行故两行之正负俱不变又是一数为乗法故数亦不变】

次以右行甲负三徧乗中行次以左行甲负四徧乗中行各得数【左右既省不变故变中行以从之首位变负下三位俱变正】

次以中右得数相减并　甲同减尽　中乙得正六同减左得正一余正五　中丙得正六异并右得负三共得正九中较数得正二百一十九异并右负七十三共得正二百九十二

次以中左得数相减并　甲同减尽　中乙得正八异并左得负四共得正十二　中丙得正八同减左得正一余七正　中较数得正二百九十二异并左负七十三共得正三百六十五以上减并之数皆同名又皆在一行知已变为和数重列之不分正负【依此显虽同名而或乙正在中丙正在左即不得变和数也何也左行之正中行之负也】

论曰此较数变为和数也以中右之得数言之中行六个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一个乙少于三个甲三个丙者七十三于是两相对较则两行之甲皆三个其数本同而中行之乙丙多于甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若右行之甲与三个丙同名是又少三个丙也夫甲股内少则乙丙股内多合而观之则是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少五个乙九个丙则不惟不多而反少于三个甲者七十三然则并此多二百一十九少七十三共二百九十二者正是此五个乙九个丙之共数而非其较数也故不分正负

又以中左之得数言之中行正数是八个乙八个丙负数是四个甲而正数多者二百九十二左行正数是一个丙负数是四个甲四个乙而正数少者七十三于是两相对勘则两行负数之甲皆四个其数本同惟中行之正数内比左正数多七个丙又加八个乙而中行之负数又比左负数少四个乙合而观之是中行之正数比左行共多十二个乙与七个丙而左行之正数比中行共少十二个乙七个丙也然则中行正数之多于负数二百九十二者以多此十二个乙七个丙而左行正数之反少于负数七十三者以少此十二个乙七个丙也则是并此多二百九十二少七十三之数共三百六十五者正是此十二个乙七个丙之共数而非其较数也故亦不分正负

如法以乙数左右互徧乗得数相减【无正负故有减无并】乙减尽　丙减余七十三为法　下位余一千六百七十九为实　法除实得二十三为丙数以丙数乗左行　丙七得一百六十一以减共三百六十五余二百○四以左乙十二除之得一十七为乙数又以乙数异加原列右行负七十三共九十内减原右行丙三该六十九余二十一以原右行甲三除之得七为甲数

论曰此同文算指所立叠借互征设问之一也原法繁重今改用方程简易如此

此所设问三色方程耳以西术求之已不胜其难况四色以往乃至多色乎此亦足见方程之不可废而古人别立一章之诚有实用也

此三色较变和例也　四色以往至于多色则其变益多要不出于和较例具后诸卷中兹不详列

厯算全书卷四十

钦定四库全书

厯算全书卷四十一

宣城梅文鼎撰

方程论卷二

极数

吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚重审之法无以穷其致故极数次之

极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术带分方程例

法曰视原问中有云防分之防者则以分母通其全数而列之或云有物防数又防分之防者以分母通其全数而纳其子如法列位遍乗减并以求一法一实既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得一分之数分母乗之则为物之全数矣

或云防分之防又防分之防者以两分母相乗为全数而列之又以两分母互乗其子为所用之分而列之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者不并也并之而所用之分反大于全数者以全数除之命为几全数又几分之几其入算乗除仍用所并之分得数后则只以全数之分乗之为全数【以上两法皆化整为零乗除竟用零分故先得一分之数】

又法

凡较数有以此之全数当彼之防分之防者则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉则其所得即为全数而非其一分也【如云乙得甲三分之二则以分母三乗乙全数得全乙者三乗甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳】若有正负之数亦以分母乗而列之【亦全数非零分也是为以零变整与化整为零之法不同故径得其全数所用乗除皆整数非分故也】得即为整【其所用分母只在本一行中如一物有两分母又分用于各行则各以其行中分母为用】凡和数中有一位带分而余只全数者亦可以分母通乗而列之其所得亦为全数而非分【如甲三乙二又三之一共十六则以分母三乗甲得九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也并得整七乗共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零为整径以整数乗除所得即为整数】

又法

凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也此外又有杂用零整之法亦所当知【如行中有几位或原带有零分者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列之但乗除得数后整列者所得即为整数零分列者所得只为零分之数仍须以分母乗之为全数】

又法

视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分秒附于整数而列之则其乗除后得数亦为所求之全数【若分母除其子不能尽者则不用此法】

今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍数则四百四十万问各若干

畣曰甲库金四十万　丁库银二百万

法以分子甲之三分丁之二分列右

以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左

依和数法互乗对减余丁之分二十二为法余八百八十万为实

法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百万为丁库银数　乃以丁库数倍之得四百万减四百四十万余四十万为甲库金数此化整从零法也【原列零分故得亦零分之数】

又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以两分母【五四】相乗得二十为甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左　乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万列右乗四百四十万得八千八百万列左【分母相乗为母母互乗子只是通分之法妙在以分共母乗其和数而零数皆为整用矣此用法之妙】

上　　　中　　　下

依法乗减余丁四百四十为法　八亿八千万为实以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千八百万余八百万以甲二十除之得四十万为甲数此变零为整法也【原列整数故所得即为整数】

又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之则其余数皆不变

左甲一乗右行皆如原数　右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒尽减　丁余一一【上一整数下一一分乃十分之一】为法共数减余二百二十万为实　法除实得二百万为丁数　以丁数倍之减共数余四十万即为甲数

此除零附整法也【零分既除为分秒则乗除之际皆以整数为主故所得亦即为整数】

今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各防何畣曰甲本数一千○七十一　乙本数一千二百六十

法以较数带分取之　本二色也却有三位以分母通之仍二位也　先以乙分母【五四】相乗得二十以当乙之全数　又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之分　是为乙二十分之十七以益甲也

次以甲分母【三七】相乗得二十一以当甲之全数　又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四并之共二十以当甲所与乙较之分　是为甲二十一分之二十以与乙较也

于是分正负列位

依较数法乗减　乙余八十分为法　负数无减就以五千○四十为实　法除实得六十三为乙之一分　以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数　乙本数同减负二百四十余一千○二十即甲与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数

乃细攷之　置乙本数【三】因【五】除之得七百五十六为五之三　又置一本数【四】除之得三百一十五为四之一　并两数共一千○七十一则与甲数同故以此益甲而甲倍也　置甲本数【二】因【三】除之得七百一十四为三之二　又置甲本数【二】因【七】除之得三百○六为七之二　并两数共一千○二十以此较乙则不及二百四十

此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较故自不同合而观之则见

今有寳泉寳源二局铸钱不知总但云取寳源五之四又四之三以益寳泉则寳泉之数倍　若取寳泉三之二以与寳源较则多于寳源四十二贯

畣曰寳泉原数一千九百五十三贯　寳源原数一千二百六十贯

法先以寳源分母【五四】相乗得二十分为全数　又以分母五互乗分子【三】得十五分母【四】互乗分子【四】得十六并之共三十一分为寳源所以益寳泉之分　全数二十分所用以益寳泉者反有三十一分是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也　其寳泉只一分母故不用乗并

乃列位

如法乗减　中位余二分为法　下位余一百二十六贯为实

法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分　以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数　以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数【置寳源数四因五除之得一千○八为五分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如寳泉数以加寳泉是为宝泉者倍也】

论曰乗得数后宝泉分数同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能与寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六贯然则此一百二十六贯者正是寳源之二分矣【知分数即知全数知寳源即知寳泉】此二则皆化整为零而分母不同也

今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼刀布七之二则如货数也　若刀布七之三兼贝六之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九百七十则如刀布也　若货数自加九之一则其数如贝也问本数各防何

畣曰货五千一百三十　泉九千六百八十

刀布一万三千七百二十　贝五千七百

法以各分母通其原数然后以正负列之　货分母九泉分母八　刀布分母七　贝分母六　【丁行货合数一】

【又九分之一共十是为九分之十凡全数帯分者准此】

先以甲行货正九分为法徧乗丁行得数　又以丁行货负十分为法徧乗甲行得数【因首位异名故变一行以相从而以丁从甲】乃以甲丁两行得数相减　货同减尽　甲行泉负十分刀布负二十分皆无对不减　丁行贝负五十四分亦无对不减　下适足无乗无减仍为适足

乃以泉刀同名在甲行者为一类　贝同名在丁行者为一类分正负重列而求之【丁行之负甲行之正也】

因余行已无货位当以泉为乗法寻乙行中有泉径用与减余相对

如法徧乗得数乃相减并　泉同减尽　刀布异并得【正】一百九十分　贝同减余负三百九十二分以减余为主命其正负而重列之

因余行又已无泉当以刀布为乗法寻丙行有刀布径用与减余相对

上　　　　　　中　　　　　　下

如法徧乗得数　刀布同减尽贝同减余一千七百九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为实　法除实得九百五十为负之一分　以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数　以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分　以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分　以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】

甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此

乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣

又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正则亦适足也于是以两者【右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正右贝减余为负】

又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣

丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也

此亦化整为零而又有整帯零【四色有空之例也】

问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干

法以分母各通其原数而正负列之　五品通为八六品通为四　七品通为十五　八品九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】

先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】　次以乙行五品五分遍乗甲行得数　乃对减　五品各八十分同名对减尽　六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类